2020中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)培優(yōu)專題二次函數(shù)與圓綜合

.所以=x，得.所以=x，得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為2020考數(shù)學(xué)優(yōu)專題：二函數(shù)與圓綜（含答案）例1在面直角坐標(biāo)系中，拋物線y

與x軸于A兩（點(diǎn)A在點(diǎn)的側(cè)軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0)，將經(jīng)過(guò)、兩的直線ykx+b沿y軸下平移3個(gè)位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線

．（）直線AC及物線的函數(shù)達(dá)式；（果P線段AC上一點(diǎn)三角形ABP形BPC的積分別為，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)且S:3，點(diǎn)的坐標(biāo)；eq\o\ac(△,)（設(shè)的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中是否存在與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理并探究：若設(shè)半徑為r，圓心Q在物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取值時(shí)，Q與坐標(biāo)軸同時(shí)切？y1x【答案】（）為ykx+b沿y軸下平移3個(gè)位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以bC(0,3)，代入y，得解得k

．

所以直線為yx+3因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x所以，得.cba所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：x

（）圖，過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D因?yàn)?:，以APPC:3eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，PE//CO，所以APEeq\o\ac(△,).所以

PE2COAC5

.所以

26695555

.（）在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,y①當(dāng)與y軸切時(shí)，有x，x

(0,0)(4,0)(0,0)(4,0)當(dāng)x，，以Q(.當(dāng)時(shí)得，以Q，②當(dāng)Qx軸切時(shí)，有y，y當(dāng)，得x，即，得x，所以當(dāng)時(shí)得x，，解得x，以Q((2,1)綜上所述，存在符合條件的，圓心的標(biāo)分別為(1,0)Q，Q，Q(，Q(2,1)探究：設(shè)點(diǎn)的標(biāo)為x.當(dāng)Q與坐標(biāo)同時(shí)軸相切時(shí)，有y.①當(dāng)y時(shí)得x，x，此時(shí)eq\o\ac(△,)0，所以次方程無(wú)解②當(dāng)y時(shí)得xx，xx.解得

132

.∴當(dāng)Q半徑為rx

13時(shí)與坐標(biāo)同時(shí)軸相.例2

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、、

三點(diǎn).（）此拋物線的解析式；（以O(shè)A的點(diǎn)M為圓心OM的長(zhǎng)為半徑作M，（中拋物線上是否存在這的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)作M的切線，與軸的夾角為存，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理.（意：本題中的結(jié)果保留根號(hào)）1x【答案】（）拋物線的解析式為ax

bx，

29CD3b3229CD3b32232223由題意，得

2a9c816a，得.9所以拋物線的解析式為

23x.92（）在，拋物線x(999所以拋物線的頂點(diǎn)為

8

，作拋物線和M（圖）設(shè)滿足條件的切線與x軸于點(diǎn)B與M相于點(diǎn)C連接MC，過(guò)點(diǎn)C作軸點(diǎn)D.因?yàn)镸COM，CBMCMBC，所以CM.所以，以.在eq\o\ac(△,Rt)CDM中，DCMCM.所以DM，3所.設(shè)切線的解析式為y=kx+b，可得

3，解得.3所以切線BC的析式為y=

33.33由題意

y=

393x+

，解得，.3y28.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為PP因?yàn)閽佄锞€和M都于直線對(duì)，則存在切線關(guān)對(duì)稱的直線l'也滿足條件同樣得到滿足的點(diǎn)關(guān)于和P對(duì)稱，則得到2

3,P

.83綜上所述，這樣的點(diǎn)有，PP,

.1例3如物線yx2與軸于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)為點(diǎn)，4

2222對(duì)稱軸l與線BC交點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)．（1）求直線解析式．（）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心、為徑作．①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)⊙P與線BC相，值范圍；4②若r，否存在點(diǎn)使⊙與直線5存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

DOF

求r的相切？若由．l【答案】（）物線x中，1令y，0x4

，得，x；令，得；(0)，0)，3)；設(shè)直線BC的析為，有：

6kb

，解得

，1∴直線BC的析為：y2（）4)

，E2)

；∴EFDE，BF；①過(guò)D作DGG，△∽△BEF；∴DE::EF，GERt△DGE中，設(shè)GE，DGx，由勾股定理，得：22DE2即：

255，得；；54故D、重合時(shí)，若⊙P與直線相，則r，r；5②存在符合條件的P點(diǎn)且點(diǎn)坐標(biāo)為：P，P3)；過(guò)點(diǎn)作于M；17,

，

，∵DEEF，△≌FME；FMDGr

45

；分別過(guò)D、作直線m、平于直線，則直線m與線、直線n與線之的距離都等于x；所以P點(diǎn)為直線m、與物線的交點(diǎn)；設(shè)直線m的解析式為：，1由于直線m與線m與線BC平，則；21∴，h，即直線的析式為y；21同理可求得直線的解析式為：x；2聯(lián)立直線m與物線的解析式，

2222，，圖1得：，得，；1∴P，P3)；同理，聯(lián)立直線n與物線的解析式可求得：

A

CO

G

DEF

M

B

17,

；

l故存在符合條件的點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P，P3)

，P

P17,

．例4已如圖4-1拋線

y2bx

經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,0)Bx0)

其點(diǎn)為D．為徑的M交y軸點(diǎn)E、，點(diǎn)E作M的切線交x軸于點(diǎn)NONE

x|

．（）拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（）圖4-2，為EBF上的動(dòng)點(diǎn)Q不與E、重結(jié)AQ交軸點(diǎn)H，：否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．E

E

QN

O

N

HA

M

Bx

AO

M

BF

C

D

F

C

D圖4-1

圖4-圖【答案】（1）圓的半徑AB8r．22連接ME，∵是線，∴⊥NE．在△中，ONEMA．

y∴，∴OM

N

M

x∴，OB．∴點(diǎn)、的標(biāo)分別為(0)、0)

F

C

D∵拋物線過(guò)A兩點(diǎn)以可設(shè)拋物線解

析式為：

3128231282y2)(x6)，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴2)(0，得

．12∴拋物線解析為：(x2)(xx，632∴當(dāng)x時(shí)．1636即拋物線頂點(diǎn)的標(biāo)2,．3（）接AF、，在AQF和AFH中由垂徑定理易知：AE∴，，∴AFH，∴

AH

，∴AH

在

中，AF

(23)

（或利用AFAO）∴AH即AH為值．

或y或y例5如，已知點(diǎn)的標(biāo)是(，B的坐標(biāo)是,，AB為徑作O，交y的負(fù)半軸于點(diǎn)，連接AC，，，，三作拋物線．（）拋物線的解析式；（）E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的分線交O'點(diǎn)D，接，直線的解析式；（））的條件下，拋物線是否存在點(diǎn)，得PDB？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的標(biāo)；如果不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（）接'C因?yàn)锳(，B(9,0)，1所以'BOCAB，OA，'A，2由勾股定理，得OC所以C設(shè)拋物線的解析式為y2

，則

a，得b

8，18所以拋物線的解析式為x；3（）接D，由圓周角定理，ACB又CD分BCE，所以DBCD所以可以得到，B(9,0)，以直線BD的析式為：y（）在，①當(dāng)DP//CB時(shí)能使CBD，又可得k

，1所以，點(diǎn)D(4,，以直線DP的析式為y，33由題意

19x833

，解得

41941xx241416

（舍去）

61486148MMMMM414129所以此時(shí)點(diǎn)P,

.②過(guò)點(diǎn)作BD的行線，交O'

于點(diǎn)，此時(shí)有，GDBGCB.又可得，，以直線CG的析式為：y設(shè)點(diǎn)G(m，GHx軸交x軸于點(diǎn)H，連接

，則在O'中，由勾股定理可得，m，以此時(shí)，所以直線DG的析式為：yx，y由題意，得x所以此時(shí)點(diǎn)(14,25).

x或y

（舍去4129綜上所述，,

，(14,25)．例6如所示物線與x交于點(diǎn)A0)

、B點(diǎn)軸交于點(diǎn)C以為徑作，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作的線，點(diǎn)為，并與的切線相于點(diǎn)E，結(jié)并延長(zhǎng)于點(diǎn)N，結(jié)、．（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（）四邊形的積為3，直線PD的數(shù)關(guān)系式；（拋物線上是否存在點(diǎn)P使得四邊形EAMD的積于DAN的面積？若存在求出點(diǎn)的標(biāo)；若不存，說(shuō)明理由．y

yP

E

D

DAM

B

OMFBxN【答案】（）為拋物線與軸于點(diǎn)A(1,0)，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：x3)，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，∴(0，∴所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：x2x又yx

，因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).（）結(jié)EM，EAED是的兩條切線，

MM∴EAEAED，∴△≌EDM，又四邊形EAMD的積為3，∴S

3，∴

12

3，又AM，∴AE3，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為(23)或E(當(dāng)點(diǎn)第二象限時(shí)切點(diǎn)D在一象限．

.在直角三角形EAM中，tan

2EMA，AM2∴

∴過(guò)切點(diǎn)D作DFAB垂足為點(diǎn)F，∴MF，DF.因此，切點(diǎn)的標(biāo)為(2,3)，設(shè)直線PD的數(shù)關(guān)系式為

ykx

，將(23)、D3)的坐標(biāo)代入得

32

33解之，得所以，直線PD的數(shù)關(guān)系式為y

3x3當(dāng)點(diǎn)第三象限時(shí)切點(diǎn)D在四象限．同理可求：切點(diǎn)D的標(biāo)為，線PD的數(shù)關(guān)系式為y

33x3因此，直線PD的數(shù)關(guān)系式為y

3353x或x.333（）四邊形的積等于DAN的積又

S2，S∴∴D兩到x軸距離相等，∵與相切，∴點(diǎn)D與點(diǎn)在同側(cè)，∴切線PD與x平行，此時(shí)切線PD的數(shù)系式為

或

當(dāng)

時(shí)，由yx

x得x6；當(dāng)

時(shí)，由yx

x得x.故滿足條件的點(diǎn)P的置有4個(gè)分別是P

、6,、P2)、2,2)

.

133133例7.

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(為心，以23為徑的圓與軸交于B、C兩，與y軸于D、兩.（）出B、、D三的標(biāo)；（2）若、C、D三在拋物線y

這個(gè)拋物線的解

析式；（圓的切線交x軸半軸于點(diǎn)負(fù)半軸于點(diǎn)N，切點(diǎn)P且線MN是否經(jīng)物線的頂點(diǎn)？說(shuō)明理.【答案】（）B(，，

，交y軸過(guò)所求拋（）題意得，

1a27a3b，解得，所以拋物線的解析式為yx233（）接AP，則AP，

，在eq\o\ac(△,)中，AMP

，則AM3，以(5所以直線MN解式為3

，13又（）拋物線x(x，333所以拋物線的頂點(diǎn)為4)得頂點(diǎn)在直線MN上

，將頂點(diǎn)代入直線MN驗(yàn)，例8.

已知拋物線yax與y軸交點(diǎn)為，點(diǎn)為M，直線的析式為y，且線段CM的為22；（）拋物線的解析式；（設(shè)物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn),0)、x,0)且在B的側(cè)求線段的；（）以為徑作N，請(qǐng)判斷直線CM與

的置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（為直線CM的析式為y以2)線CM的為22以

或M(，以拋物線的解析式可得

x或y2

x.（為拋物線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(,0)(x,0)以時(shí)拋物線為y

x，令y，x和是程x

x=的根，且x，則由韋達(dá)定理得，，，所以xx32，以x（相由意拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)為x

所(作CM于點(diǎn)P設(shè)直線CM與x軸相交于點(diǎn)D，則

，且D(2,0)，

，所以得NP，AB為N直徑，且AB，點(diǎn)直線CM的離等于N的徑，所以直線與N相切

yaxB(6,0)yaxB(6,0)例9如，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C(0,23)．兩點(diǎn)，交軸點(diǎn)

交x軸，（）此拋物線的解析式；（若拋物線的對(duì)稱軸與直交點(diǎn)作F兩點(diǎn)，求劣弧所對(duì)圓心角的度數(shù)；（