山東省青島市膠南第一中學高一數(shù)學理期末試卷含解析

山東省青島市膠南第一中學高一數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下面有四個命題：（1）集合中最小的數(shù)是；（2）若不屬于，則屬于；（3）若則的最小值為；（4）的解可表示為；其中正確命題的個數(shù)為（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：A

解析：（1）最小的數(shù)應該是，（2）反例：，但（3）當,（4）元素的互異性2.若函數(shù)，則等于（

）

A．3

B．3x

C．6x+3

D．6x+1參考答案：B略3.（5分）三個數(shù)a=30.5，b=0.53，c=log0.53的大小順序為（） A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． b＜c＜a D． a＜b＜c參考答案：A考點： 對數(shù)值大小的比較．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答： ∵a=30.5＞1，0＜b=0.53＜1，c=log0.53＜0，∴a＞b＞c．故選；A．點評： 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．4.直線l：8x﹣6y﹣3=0被圓O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的長度為，則實數(shù)a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣參考答案：B【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】把圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，利用點到直線的距離公式求出弦心距，再利用弦長公式求得a的值．【解答】解：圓O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圓心（1，0）、半徑為．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故選：B．5.在等差數(shù)列{an}中，，且，Sn為其前n項和，則使的最大正整數(shù)n為（

）A.202 B.201 C.200 D.199參考答案：D【分析】根據(jù)條件判斷出等差數(shù)列中正負項的分界點，然后再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式和下標和的性質(zhì)求解即可．【詳解】由條件得，等差數(shù)列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整數(shù)為．故選D．【點睛】解答類似問題的關鍵是找到數(shù)列的項或和的正負值的分界點，其中利用等差數(shù)列中項的下標和的性質(zhì)和前項和的結(jié)合是解題的突破口，考查靈活運用知識解決問題和分析能力，屬于中檔題．6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，則直線PB與平面PCD所成角的大小為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】取中點，中點，連接，先證明為所求角，再計算其大小.【詳解】取中點，中點，連接.設易知：平面平面易知：四邊形為平行四邊形平面，即為直線與平面所成角故答案選A【點睛】本題考查了線面夾角，先找出線面夾角是解題的關鍵.7.一個三棱錐的棱長均為2，四個頂點都在同一個球面上,若過該球球心的一個截面如圖,則圖中三角形(三棱錐的截面)的面積是

（

)

參考答案：8.給出下列命題：（1）若，則；

（2）向量不可以比較大?。唬?）若，則；（4）其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)向量不能比較大小，故可判斷（1），（2），根據(jù)共線和向量的模即可判斷（3），（4）．【解答】解：（1）若，則，故錯誤（2）向量不可以比較大小，故正確，（3）若，則；故正確，（4），故錯誤，其中真命題的個數(shù)為2個，故選：B．9.偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則與的大小關系是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.三個數(shù)大小的順序是

（

）A．

B.C．

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在下列四個正方體中,能得出AB⊥CD的序號是

▲

參考答案：①12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k=_________.參考答案：4【分析】模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件即可.【詳解】第一次循環(huán)，，；第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，；此時.故退出循環(huán)，輸出.【點睛】本題考查程序框圖，解題時只要模擬程序運行，觀察其中變量值的變化情況，進行判斷．13.在邊長為1的正三角形紙片ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，使沿線段DE折疊三角形紙片后，頂點A正好落在邊BC（設為P），在這種情況下，AD的最小值為。

參考答案：

14.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

參考答案：略15.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC的面積為，則a的值為．參考答案：【考點】HP：正弦定理．【分析】根據(jù)三角形的面積公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面積為，∴S△=，即，解得c=4，則由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×=13，即a=，故答案為：16.在空間直角坐標系中，點在平面yOz上的射影為點B，在平面xOz上的射影為點C，則|BC|=

．參考答案：因為點在平面yOz上的射影為點,在平面xOz上的射影為點，所以由兩點間距離公式可得.

17.已知點（1，﹣1，2）關于x軸對稱點為A，則點A的坐標為．參考答案：（1，1，﹣2）【考點】空間中的點的坐標．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用．【分析】一個點關于x軸對稱的點的坐標是只有橫標不變，縱標和豎標改變符號．【解答】解：∵點（1，﹣1，2）關于x軸對稱點為A，一個點關于x軸對稱的點的坐標是只有橫標不變，縱標和豎標改變符號，∴點（1，﹣1，2）關于x軸對稱的點的坐標為（1，1，﹣2），∴A（1，1，﹣2）．故答案為：（1，1，﹣2）．【點評】本題考查點的坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對稱性質(zhì)的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=3cosωx+sinωx（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點．B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．（1）求ω的值及f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin，由題意可求BC，由周期公式可求ω，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．（2）由已知及（1）可求sin，結(jié)合范圍x0∈，得+∈，可求cos，故f（x0+1）=2sin=2sin利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．【解答】解：（1）由已知可得f（x））=3cosωx+sinωx=2sin…易得正三角形ABC的高為2，則BC=4，所以函數(shù)f（x）的周期為4×2=8，即=8，解得ω=．所以函數(shù)f（x）的值域為[﹣，]…（2）因為f（x0）=，由（1）有f（x0）=2sin=，即sin=，由x0∈，得+∈．即cos==，故f（x0+1）=2sin=2sin===．…19.已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，且AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．(1)證明：CM⊥SN；(2)求SN與平面CMN所成角的大?。畢⒖即鸢福?1)設PA＝1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖所示，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．因為·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.(2)＝(－，1,0)，設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．因為|cos〈a，〉|＝＝＝，所以SN與平面CMN所成的角為45°.20.函數(shù)的定義域為，且滿足對于定義域內(nèi)任意的都有等式(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)判斷的奇偶性并證明；(Ⅲ)若，且在上是增函數(shù)，解關于的不等式.參考答案：解：(Ⅰ)∵對于定義域內(nèi)任意的都有等式∴令

(Ⅱ)令

再令

∵函數(shù)的定義域關于原點對稱∴為偶函數(shù)

(Ⅲ)令再令∵

∴

又∵在上是增函數(shù)，且為偶函數(shù)∴

∴

略21.已知各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為，，．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設數(shù)列{bn}滿足：，，數(shù)列的前n項和求證：．(3)若對任意恒成立，求的取值范圍．參考答案：（1）；（2）證明見解析；（3）．試題分析：（1）由和項求數(shù)列通項，注意分類討論：當，得，當時，，得數(shù)列遞推關系式，因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義得數(shù)列通項公式（2）因為，所以利用疊加法求通項公式：，因此，從而利用裂項相消法求和得，即證得（3）不等式恒成立問題，一般先變量分離，轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)最值問題：由得，而有最大值，所以試題解析：（1）時，是以為首項，為公差的等差數(shù)列…4分（2），，即…9分（3）由得，當且僅當時，有最大值，………………14分考點：等差數(shù)列定義，疊加法求通項，裂項相消法求和【方法點睛】裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如（其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和（如本例），還有一類隔一項的裂項求和，如或.22.已知數(shù)列{an}中，，，數(shù)列{bn}滿足，.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）證明：；（3）證明：.參考答案：（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）代入可求得；利用可整理得，從而得到，采用累乘法可得，驗證后可得；（2）由可知數(shù)列是正項單調(diào)遞增數(shù)列，利用整理可得結(jié)論；（3）當時，結(jié)論顯