2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)北京四中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2S期中考試試卷2S北京市西區(qū)北京四中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期中考試試（卷分100分，試間100分鐘一選題11.正棱錐底面邊長變?yōu)樵瓉淼?倍高變?yōu)樵瓉淼?，體積（）A.不

B.變原來的C.變原來的

12

D.變原來的

『案』B『析』設(shè)正三棱錐底面面積為，高為，原來的體積為

VSh新的體積為

2ShSh

，即體積變?yōu)樵瓉淼?倍故選：2.設(shè)球半徑為，P、Q是地球上兩點(diǎn)，在緯、經(jīng)，在緯、東經(jīng)140°，P、

兩點(diǎn)截北緯圈的劣弧長為（）A.

B.C.

D.

『案』A『析』如圖所示：設(shè)地球北緯緯圓的圓心為，1

，rst，即E期中考試試卷，rst，即E因?yàn)镻在緯30°、經(jīng)，

在北緯30°、東經(jīng)，所以

PCQ20

2

，

OQR在直角

OCQ

中，

，所以

R，所以北緯緯的半徑為，所以

、

兩點(diǎn)截北緯圈的劣弧長為

333

，故選：3.正20面有個(gè)點(diǎn)、條，個(gè)，則（）A.C.

rr

B.D.

rr『案』A『析』對于凸多面體面，面數(shù)頂點(diǎn)數(shù)棱，所以

tr

，故選：4.棱為2的直平行六面體

ABD1

，

BAD60

，則

AC1

與平面

1所成角的正弦值為（）1

A.

2

B.

C.

D.

『案』D『析』作

1

，垂足為，，

AE1

，

AC1

，ABA111直平行六面體，

平面

，

就是對角線

AC1

與側(cè)面

1所角，

DE平面1，12

，aababababcac，aababababcac//aaaacbc棱長都為2的平行六面體

ABD1

中，

，E603

，

3

，

ACCE13

，在Rteq\o\ac(△,A)

1

EC

中，

AE3ACEA

．故選：．5.設(shè)、是面直線，給出下列命題：①經(jīng)過直線有僅有一個(gè)平面平行于直線；②經(jīng)過直線有僅有一個(gè)平面垂直于直線；③存在分別經(jīng)過直線和線的兩個(gè)平行平面；④存在分別經(jīng)過直線和線的兩個(gè)互相垂直的平面．其中錯(cuò)誤的命題為（）A.①②

B.②③

C.②④

D.僅『案』D『析對于①，選一條直線與平行，且與相交，則由公理的推論可知，通過與有僅有一個(gè)平面，時(shí)，故①正確；對于②，若與不直，則直線不可能垂直于直線所在的平面，故②錯(cuò)；

a對于③，取平面與面

，且使

，若，

b

，且與不行，則

,

異面，故③正確；對于④，若、異，則存在一條直線，使得，，由、所定的平3

MM111OAOBOC期中考試試卷MM111OAOBOC面為，一定可以過直線作個(gè)平面

，使得

，故④正確故選：6.在長為的方體

BCD1

中，是

1的中點(diǎn)，則點(diǎn)

到平面

MBD

的距離是（）A.

B.

C.

D.

『案』A『析』以D空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，

,DC,DD1

分別為

,y,

軸建立空間直角坐標(biāo).由于是

1中，故

Ma

，且

A,0M0,0,2

，設(shè)

z

是平面BDM的法向量

1n2n

可，故

平面

BDM

的距離

Mdn

10,0,26

6a6

.故選A.7.在兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線上各取不是交點(diǎn)的一點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)構(gòu)成的三角形是（）A.銳三角形C.鈍三角形

B.直三角形D.以情況皆有可能『案』A『析』如圖所示，設(shè)，，兩兩垂直且相交于一點(diǎn)，4

ABCEFEFAMABCEFEFAMAB設(shè)OA，OC，則

，

b

，

a

，則

BC2

，則角為銳角，同理可證故選：

,CBA

為銳角，則為銳角三角形8.

、是三角形的、的點(diǎn)把正三角形折成60°的二面如圖的切值為（）3

A.

B.

C.D.以答案均不對『案』B『析』如圖所示，取BC的點(diǎn)，連接'M，交EF于N，連接，，，.5

則，ANEF，所以為邊三角形ABCa則，ANEF，所以為邊三角形ABCaABADOO因?yàn)槿切螢槿切危瑒t

A'BC

，又點(diǎn)、F是的邊、AC的中點(diǎn)，MN'NEF

，所以，可證得EF面，則

EFAM，以AMBC.所以二面角

的平面角為

，'AMN而設(shè)等邊三角形的長為，

AMAN2

，所以

AM3tanABCBM

.故選：9.三錐ABC中PA、、PC兩互相垂直，（）A.有大值B.有小值2C.有大值2D.既最大值也無最小值

PB

，，則其體積『案』C『析』因?yàn)槿忮FP中PA、PC兩互相垂直，所以

V

1PA因?yàn)?/p>

PAPB2

，所以

PA

，當(dāng)且僅當(dāng)故選：

PA

時(shí)等號(hào)成立，所以，10.長體

ABD1

中，，

此方體內(nèi)接于球，則球的面積為（）A.

2

B.

2

C.

50

D.

2006

ACMACBABCD在上點(diǎn)在上MNACMACBABCD在上點(diǎn)在上MNMN『案』C『析』

長方體

BCD1

中，，AD，

1

，

長方體的對角線

AB3

，長方體

AC111

的各頂點(diǎn)都在同一球面上，

AC球的一條直徑為1，得半徑

2

，因此，該球的表面積為

52

)50

，故選：．11.平行六面體

ABD1

的六個(gè)面都是菱形，那么點(diǎn)

1在

上的射影一定是

1（）A.重B.垂C.內(nèi)D.外『案』B『析』設(shè)點(diǎn)

1在面

D中的射影為點(diǎn)，接11DM則

面

，可得

AC1

，AC/AC該平行六面體各個(gè)表面都是菱形，，

BAC111AC

BDBM，所以平面1，

，同理可證

AMC

，

CMAB

，點(diǎn)是1的心，故選：．12.如圖，正四面體中點(diǎn)

AMCNMABND

，

，與成為與成為設(shè)

f

，當(dāng)

時(shí)，

f

是（）7

MBFDNDEBMENF△ABDBDMBFDNDEBMENF△ABDBDBDCOAOAOCCOAOC//AC//FNENA.單增函數(shù)C.先調(diào)遞增后單調(diào)遞減

B.單減函數(shù)D.常數(shù)『案』D『析』如圖所示，過點(diǎn)M作//，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作NE//，BC于點(diǎn)E，AMAFMF則，，可得出，即四邊形是平行四邊形.MNF

，

MNE

，所以

f

.取的中點(diǎn)，連接OA,OC，由正四面體的特點(diǎn)可知，為等邊三角形，所以，，又

CO

，且平面，平面，所以BD面AOC，BDAC，又，，以，所以

f

.故當(dāng)

時(shí)，

f

是常函數(shù)故選：8

ABFC面，期中考試試卷ABFC面，二填題13.正形與方形ABEF有共邊，面ABCD與面所角為60°，則異面直線與所角大小等_．『案』45°『析』

面

ABCD

面，且

BCBE

，AB連接，如圖所示，則

BCEF

，又

EF/AB

，則EF面，

EF

，即是腰直角三角形，

CFE45

，則異面直線與FC所成角大小等于故答案為：.14.若ABC的邊長分別是、、，平面ABC外點(diǎn)P到三距離都是2則點(diǎn)P到面ABC的離是．『案』

『析』如圖，點(diǎn)在面上的垂足O，PE、PF、PD分是頂點(diǎn)P到角形各邊的距離，9

ABCABCx到平面的離為aABCABCx到平面的離為aaa由三垂線定理的逆定理可知，OE、OF、OD分是三角形各邊的垂線，因?yàn)槿龡l側(cè)高相等，所以

OEOFOD，OD

，因?yàn)榈倪呴L分別是3、、5，所以是角三角形，

2

，由面積相等可以得出：

12

34

113x5222

，解得，故答案為：

P.

ABC22

3

，15.一球的外切正方體的全面積是，則此球體積_．『案』

『析』設(shè)正方體的棱長為

a)

，正方體的全面積為6，所以

6a

，所以該正方體的內(nèi)切球的半徑

r

13，因此正方體內(nèi)切球的體積為.故答案為：.16.設(shè)、是線，、、為平面，有如下命題：①

，

//

；②內(nèi)不共線三點(diǎn)到

距離相等，則

；③a，，a//，

b//

；④若、異，，

b

且

//

，，

；其中正確命題的序號(hào)_．10

aaM//bABADBC『案』④『析』①，正方體一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)平面，滿足兩個(gè)平面垂直第三個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面不平行，故錯(cuò)誤；②中兩平面相交時(shí)也可以一個(gè)平面找到不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等錯(cuò)誤；③中，直線a，b，ab//，若兩直線平行，兩平面也可相交，故錯(cuò)誤；④中圖示，、異，，

，

//

直a的面與

的交線

，且必然與相，設(shè)交于，理，由知，過直線的平面與的線

，且必然與相，設(shè)交于P，此

，

a//

，且

b

a

，均在內(nèi)故.故正確故答案為：.三解題17.已線段面，B為足，BCCD且CD與面角CD

．求：（）面直線與間距離；（）、兩點(diǎn)間的距離．『解）面，∴，又，是面直線與的垂線段，11

CDDDOOOCOCCDDDOOOCOCDCODC中，矩形中，，∴中//PCDMNBC由題，以與間的距離為．（）作于，接，∴是在平面內(nèi)射影，由CD，CO，且是與所成角，由題知

DCO

，又連接，過D作DE//交AB于，由OB，，DEABRt△DCODODC

，

3

．Rt△BCO

中，

BO

7

．DE

，Rt△

AE2222

．18.已四邊形ABCD是形，PD面，NPB點(diǎn)，M是點(diǎn)，二面角

PBC

大小是．求證）平面；（）；（）面平．12

NEDEABCDDEMNNEDEABCDDEMNBC⊥PDC∴是面角的平面角，△DEPCDEMNPCMNMNBPBCAMC『解）中，，．∵、N是中點(diǎn)，是形，∴

NE//DM//BC

且

NEDMBC

，∴四邊形是平行四邊，∵M(jìn)N面PCD，DE面PCD，∴//平PCD（）ABCD，PDBC∵是形，∴，∵

DCD

，∴BC面PDC，∵PDC，DE，∵，∴．（）面，PCDPBCPCD45

，∴是腰直角三角形，，∵，∴，∵M(jìn)N，BCPC，PBC，∵面，平面平面．19.已正三棱柱底面邊長為，是上一點(diǎn)，1是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．13

MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112MC的MABCBBCCABCMAMAMCD112（）明是中；（）點(diǎn)到面

1

距離；（）二面角

AC1

大?。航猓?/p>

AMC

為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴

AMMC1

，∵

ABC1是三棱柱，∴

CC

面，

CCAM1

，∵

MCCC11，

AM

面1，∴AMBC∵是正三角形，∴是中．BBCC（）面1，面

1，∴面

1

面

BBCC11，如圖所示：作

CDMC1，

D

為垂足，則為求距離，∵ABa，∴

a2AMMCaCCa，，，aCDa6∴．（）圖所示：作

AC1，

E

為垂足，連，14

6Rt△CDEO1:DCACOD6Rt△CDEO1:DCACODCD2OAC由三垂線定理知

CEAC1，

DEC

為所求二面角．在

△C1

中，

a2

，

C11

a3

，6a2a∴在中，∴二面角

AC1

的大小為45°四、附加題20.如，球的面