兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷

4兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷：匹配樣本兩總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：一個(gè)總體總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：兩個(gè)總體兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本例：兩個(gè)商場(chǎng)，一個(gè)位于市區(qū)，另一個(gè)地處某郊區(qū)購(gòu)物中心。地區(qū)經(jīng)理發(fā)現(xiàn)在一個(gè)商場(chǎng)暢銷(xiāo)的商品在另一個(gè)商場(chǎng)賣(mài)得不一定好。經(jīng)理認(rèn)為兩個(gè)地區(qū)的顧客可能在年齡、受教育程度、收入等諸方面有差異。假定經(jīng)理要求我們調(diào)查一下這兩個(gè)商場(chǎng)的顧客平均年齡的差異。兩個(gè)總體均值之差的點(diǎn)估計(jì)量

μ1

σ1總體1

σ2

μ2總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本容量n1計(jì)算抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本容量n2計(jì)算計(jì)算每一對(duì)樣本的所有可能樣本的

μ1-

μ2抽樣分布的抽樣分布的抽樣分布期望值標(biāo)準(zhǔn)差若兩個(gè)樣本容量都很大(n1≥30且n2≥30)，則的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。的區(qū)間估計(jì)：

σ1和σ2已知兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)：σ1和σ2已知式中，1-α為置信度例:取自?xún)蓚€(gè)商場(chǎng)地區(qū)的獨(dú)立隨機(jī)樣本的顧客年齡數(shù)據(jù)如下。求兩個(gè)總體均值之差的95％的置信區(qū)間。

（5±4.06）σ1=9歲σ2=10歲的區(qū)間估計(jì)：

σ1和σ2已知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量例:

（z=1.66<1.96，拒絕）的假設(shè)檢驗(yàn)：

σ1和σ2已知σ1=10σ2=10練習(xí)考慮取自?xún)蓚€(gè)總體的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本提供的資料。a.兩個(gè)總體均值之差的點(diǎn)估計(jì)量是多少？（2）b.求兩個(gè)總體均值之差的90％的置信區(qū)間。

（1.02,2.98）c.求兩個(gè)總體均值之差的95％的置信區(qū)間。

（0.83,3.17）σ1=2.2σ2=3.0例：某銀行正在其兩個(gè)分行進(jìn)行一項(xiàng)用于識(shí)別客戶(hù)經(jīng)常性帳戶(hù)余額差異的研究，賬戶(hù)余額匯總?cè)缦?/p>

（37，193）的區(qū)間估計(jì)：

σ1和σ2未知分行1分行2樣本容量2822樣本均值1025美元910美元樣本標(biāo)準(zhǔn)差150美元125美元的區(qū)間估計(jì)：

σ1和σ2未知兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)：σ1和σ2未知式中，1-α為置信系數(shù)自由度：22檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量自由度：的假設(shè)檢驗(yàn)：

σ1和σ2未知22例：開(kāi)發(fā)了一個(gè)新的計(jì)算機(jī)軟件包，想要確定新軟件包是否有助于縮短項(xiàng)目平均完成時(shí)間，抽取了兩組系統(tǒng)分析員進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下：

（t=2.27>1.721，拒絕）的假設(shè)檢驗(yàn)：

σ1和σ2未知舊軟件包新軟件包樣本容量1212樣本均值325286樣本標(biāo)準(zhǔn)差4044的統(tǒng)計(jì)推斷：兩總體方差未知但相等關(guān)于兩個(gè)總體以及來(lái)自它們的樣本的兩個(gè)假設(shè)：(1)兩個(gè)總體都服從正態(tài)概率分布。(2)兩個(gè)總體方差未知但相等（σ12=σ22=σ2）。

σ2的合并估計(jì)量σ12=σ22=σ2

時(shí)，的點(diǎn)估計(jì)量練習(xí)某城市規(guī)劃小組想要估計(jì)某大城市兩個(gè)相鄰地區(qū)平均家庭收入之差,假定兩地區(qū)總體方差相等。a.求兩個(gè)地區(qū)平均收入之差的點(diǎn)估計(jì)量。（1200）b.求兩個(gè)地區(qū)平均收入之差的95％的置信區(qū)間。

（1200±762）4兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷：匹配樣本兩總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：一個(gè)總體總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：兩個(gè)總體獨(dú)立樣本：組成其中一個(gè)樣本的元素與組成其他樣本的元素是相互獨(dú)立選取的、來(lái)自?xún)蓚€(gè)（或兩個(gè)以上）總體的樣本。匹配樣本：一個(gè)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)值與另一個(gè)樣本的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)值相匹配的樣本。數(shù)據(jù)的形式觀察序號(hào)樣本1樣本2差值1x11x21D1=x11-x212x12x22D1=x12-x22…………ix1ix2iD1=x1i

-x2i…………nx1nx2nD1=x1n-x2n假設(shè)的形式假設(shè)研究的問(wèn)題沒(méi)有差異有差異總體1總體2總體1<總體2總體1總體2總體1>總體2H0μD=0μD0μD0H1μD

0μD<0μD

>0匹配樣本的檢驗(yàn)差值的樣本均值差值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差例：

（t=2.20<2.571，不能拒絕）練習(xí)取自?xún)煽傮w的匹配樣本數(shù)據(jù)，考慮下面假設(shè)檢驗(yàn)。對(duì)α=0.05檢驗(yàn)假設(shè)，結(jié)論如何？

（t=2.236>2.132，拒絕）練習(xí)某市場(chǎng)研究機(jī)構(gòu)用一組被調(diào)查者樣本來(lái)給某特定商品的潛在購(gòu)買(mǎi)力打分。樣本中每個(gè)人都分別在看過(guò)該產(chǎn)品的新的電視廣告之前與之后打分。零假設(shè)認(rèn)為“看后”平均得分小于或等于“看前”平均得分。拒絕該假設(shè)就表明廣告提高了平均潛在購(gòu)買(mǎi)力得分。對(duì)α=0.05，用下列數(shù)據(jù)檢驗(yàn)該假設(shè)，并對(duì)該廣告給予評(píng)價(jià)。（

t=1.36<1.895，不能拒絕）4兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷：匹配樣本兩總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：一個(gè)總體總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：兩個(gè)總體的抽樣分布的抽樣分布分布形式：如果樣本容量較大的抽樣分布可由正態(tài)概率分布來(lái)逼近兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)：例：求90%置信區(qū)間

（0.05±0.045）的區(qū)間估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)練習(xí)考慮假設(shè)檢驗(yàn)：a.對(duì)α=0.05，您的假設(shè)檢驗(yàn)有何結(jié)論？（z=1.69>1.645，拒絕）b.p-值是多少？

（0.0455）練習(xí)《商業(yè)周刊對(duì)大公司的資深經(jīng)理關(guān)于未來(lái)經(jīng)濟(jì)展望的觀點(diǎn)進(jìn)行了一次問(wèn)卷調(diào)查。一個(gè)問(wèn)題是“您認(rèn)為您的公司在未來(lái)12個(gè)月內(nèi)，全日制雇員的數(shù)目會(huì)增加嗎？”在1997年5月，400名經(jīng)理中有220個(gè)回答“是”，而在1996年12月，400名經(jīng)理中有192個(gè)回答“是”。求兩個(gè)時(shí)點(diǎn)比率之差的95％的置信區(qū)間。您對(duì)該區(qū)間估計(jì)有何解釋?zhuān)浚?/p>

0.0009，0.1391）4兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷：匹配樣本兩總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：一個(gè)總體總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：兩個(gè)總體樣本方差的抽樣分布(n-1)s2/

σ2的抽樣分布若容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本取自正態(tài)分布，則的抽樣分布為自由度為

(n-1)的2分布2分布的性質(zhì)和特點(diǎn)分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，為不對(duì)稱(chēng)的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱(chēng)期望值：E(2)=n，方差：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的2分布隨機(jī)變量，U~2(n1)，V~2(n2)，則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的2分布c2分布圖示

選擇容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本計(jì)算樣本方差S2計(jì)算卡方值2=(n-1)S2/σ2計(jì)算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=2n=5n=10n=20ms總體總體方差的區(qū)間估計(jì)例：估計(jì)產(chǎn)品灌裝過(guò)程的總體方差。設(shè)抽取了20個(gè)容器組成一個(gè)樣本并且求得灌裝量的樣本方差s2=0.0025。

（0.0014，0.0053）自由度為19的

2分布

總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)例：某城市汽車(chē)公司最近通過(guò)鼓勵(lì)其司機(jī)遵守時(shí)間，規(guī)定到達(dá)各汽車(chē)站時(shí)間的方差小于或等于4分鐘。公司定期在各個(gè)車(chē)站收集到達(dá)時(shí)間數(shù)據(jù)以確定是否遵守守時(shí)制度。假定在某個(gè)特定的市中心車(chē)站抽取了由24輛公共汽車(chē)到達(dá)時(shí)間組成的樣本，樣本方差為s2=4.9。H0：σ2

≤

4

H1：σ2

>

4

（

χ2=28.18<35.172，不能拒絕）總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于一個(gè)總體方差的單邊檢驗(yàn)H0：σ2

≤

σ02

H1：σ2

>

σ02檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕法則總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于一個(gè)總體方差的單邊檢驗(yàn)H0：σ2

≥

σ02

H1：σ2

<

σ02檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕法則總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于一個(gè)總體方差的雙邊檢驗(yàn)H0：σ2=σ02

H1：σ2

≠

σ02檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕法則總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)例：歷史上，申請(qǐng)駕駛執(zhí)照的個(gè)人考試分?jǐn)?shù)的方差為σ2=100?，F(xiàn)在推出一種采用新型考題的考試。機(jī)動(dòng)車(chē)輛管理處的官員希望新型考試的考分的方差保持歷史水平。為評(píng)價(jià)新型考試考分的方差，提出下面的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)。H0：σ2=100

H1：σ2

≠

100一個(gè)由30名駕駛執(zhí)照的申請(qǐng)者組成的樣本將接受這種新型考試，樣本方差為s2=162。顯著性水平為0.05。

（χ2=46.98>45.722，拒絕）練習(xí)一個(gè)樣本由20項(xiàng)組成，其樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5。a.計(jì)算總體方差的90％的置信區(qū)間。

（15.76，46.95）b.計(jì)算總體方差的95％的置信區(qū)間。

（14.46，53.33）c.計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差的95％的置信區(qū)間。（3.8，7.3）練習(xí)為使顧客能接受，某種零件尺寸允許的公差非常窄。產(chǎn)品規(guī)格要求該零件長(zhǎng)度的最大方差為0.0004。假設(shè)30個(gè)零件的樣本方差為s2=0.0005。取α

=0.05，檢驗(yàn)總體方差是否違背規(guī)格。

（χ2=36.25<42.56，不能拒絕）4兩個(gè)總體的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷兩總體均值的統(tǒng)計(jì)推斷：匹配樣本兩總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：一個(gè)總體總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷：兩個(gè)總體兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布當(dāng)σ12=σ22時(shí)，s12/s22的抽樣分布當(dāng)樣本容量為n1和n2的獨(dú)立簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本分別取自?xún)蓚€(gè)方差相等的正態(tài)總體時(shí)，s12/s22的抽樣分布，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1)的

F分布，即2F分布的性質(zhì)F分布并不對(duì)稱(chēng)。F值永遠(yuǎn)不取負(fù)數(shù)。任何給定的F分布，其形狀依賴(lài)于分子和分母的自由度。兩個(gè)總體方差比的檢驗(yàn)(F

檢驗(yàn))例：用到達(dá)或運(yùn)送時(shí)間的方差作為公共汽車(chē)公司服務(wù)質(zhì)量的基本量度。較低的方差說(shuō)明服務(wù)質(zhì)量比較穩(wěn)定而且比較高。對(duì)應(yīng)的假設(shè)如下，取α

=0.10。H0：σ12=σ22

H1：σ12

≠

σ22得到總體1的26個(gè)到達(dá)時(shí)間組成的樣本，以及總體2的16個(gè)到達(dá)時(shí)間組成的樣本，樣本方差為s12=48，s22=20。

（F=2.4>2.28，拒絕）兩個(gè)總體方差比的檢驗(yàn)(F

檢驗(yàn))0不能拒絕H0Fα/2α/2拒絕H0拒絕H0兩個(gè)總體方差比的檢驗(yàn)(F

檢驗(yàn))一般應(yīng)用中進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算時(shí)僅僅需要上側(cè)F值通過(guò)用總體1表示樣本方差較大的總體，我們可以保證拒絕域只可能發(fā)生在上側(cè)。雖然下側(cè)臨界值仍然存在，我們不需知道它的值，因?yàn)橛脴颖痉讲钶^大的總體作為總體1的轉(zhuǎn)換，通常使s12/s22比值位于上側(cè)。兩個(gè)總體方差比的檢驗(yàn)(F

檢驗(yàn))兩個(gè)總體方差的雙邊檢驗(yàn)H0：σ12=σ22