Ch3-5 曲線的凹凸性與函數(shù)作圖

第五節(jié)二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲線的凹凸性與函數(shù)作圖第三章一、曲線的凹凸性定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱(chēng)圖形是凹的;(2)若恒有則稱(chēng)連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說(shuō)明(1)成立;(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)漸近線.點(diǎn)M

與某一直線L的距離趨于0,二、曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點(diǎn)M

沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱(chēng)直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.斜漸近線斜漸近線若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱(chēng)性及周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o(wú)對(duì)稱(chēng)性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.描繪方程的圖形.解:1)定義域?yàn)?)求關(guān)鍵點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無(wú)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又因即5)求特殊點(diǎn)為斜漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)定義例5.描繪函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)閳D形對(duì)稱(chēng)于

y

軸.2)求關(guān)鍵點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線5)作圖4)求漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束水平漸近線;垂直漸近線;

內(nèi)容小結(jié)2.曲線漸近線的求法斜漸近線按作圖步驟進(jìn)行3.函數(shù)圖形的描繪機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)

.1.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;

;第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)

2.

曲線(A)沒(méi)有漸近線;(B)僅有水平漸近線;(C)僅有鉛直漸近線;(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束拐點(diǎn)為

,凸區(qū)間是

,3.

曲線的凹區(qū)間是

,提示:及漸近線

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4

求笛卡兒葉形線的漸近線.

解:

令

y=t

x,代入原方程得曲線的參數(shù)方程

:因所以笛卡兒葉形線有斜漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束笛卡兒葉形線參數(shù)的幾何意義