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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知集合A,則集合()A. B. C. D.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-14.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.5.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.6.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,若,,則實數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.8.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.9.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.10.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復數(shù),則復數(shù)z等于()A. B. C. D.011.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.12.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,雙曲線的焦距為,若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.14.圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為_____.15.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張,要支付貳佰壹拾玖(219)元的貨款,則有________種不同的支付方式.16.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對任意,若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當_________時,為的幾何平均數(shù).(只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.18.(12分)設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設(shè),,求證:為定值.19.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.20.(12分)已知函數(shù).⑴當時,求函數(shù)的極值;⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.22.(10分)2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募,僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬,其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中,按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試,所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個單位后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解析】
化簡集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數(shù)列的通項公式.4、D【解析】
先計算集合,再計算,最后計算.【詳解】解:,,.故選:.【點睛】本題主要考查了集合的交,補混合運算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
首先求得兩曲線的交點坐標,據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.6、B【解析】
對分類討論,當,函數(shù)在單調(diào)遞減,當,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點睛】本題考查復數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】
整理復數(shù)為的形式,由復數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復數(shù)的除法運算.9、C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)復數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.12、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為,過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點,則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.14、【解析】
求出圓心關(guān)于直線的對稱點,即可得解.【詳解】的圓心為,關(guān)于對稱點設(shè)為,則有:,解得,所以對稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對稱圓方程,關(guān)鍵在于準確求出圓心關(guān)于直線的對稱點坐標.15、1【解析】
按照個位上的9元的支付情況分類,三個數(shù)位上的錢數(shù)分步計算,相加即可.【詳解】9元的支付有兩種情況,或者,①當9元采用方式支付時,200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;②當9元采用方式支付時:200元的支付方式為,或者或者共3種方式,10元的支付只能用1張10元,此時共有種支付方式;所以總的支付方式共有種.故答案為:1.【點睛】本題考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,屬于中檔題.做題時注意分類做到不重不漏,分步做到步驟完整.16、【解析】
由定義可知三點共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式,考查了推理能力,考查了運算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點共線.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當且僅當時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關(guān)鍵,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達定理得,,由,,用橫坐標表示出,然后計算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動圓圓心,由拋物線定義知:點軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【點睛】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點坐標,設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.19、(1)乙同學正確(2)分布列見解析,【解析】
(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點代入驗證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個回歸方程,驗證乙同學正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計算估計數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個,故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.20、(1)當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)【解析】試題分析:(1),通過求導分析,得函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2),所以,通過求導討論,得到的取值范圍是.試題解析:(1)函數(shù)的定義域為當時,,所以所以當時,,當時,,所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)設(shè)函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同,則所以所以,代入得:設(shè),則不妨設(shè)則當時,,當時,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,代入可得:設(shè),則對恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又所以當時,即當時,又當時因此當時,函數(shù)必有零點;即當時,必存在使得成立;即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同.又由得:所以單調(diào)遞減,因此所以實數(shù)的取值范圍是.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.
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