第一章流體的基本屬性與流體靜力學(xué)

空氣動(dòng)力學(xué)

主講教師：北京航空航天大學(xué)

教育部流體力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

郭昊電話：010－82339592（O）手機(jī)-mail：guohao@辦公室：新主樓C1114房間空氣動(dòng)力學(xué)§緒論§第一章流體的基本屬性與流體靜力學(xué)§第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§第三章不可壓縮無(wú)粘流體平面勢(shì)流§第四章粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§第五章邊界層理論及其近似§第六章可壓縮高速流動(dòng)基礎(chǔ)流體的基本屬性與流體靜力學(xué)1.1流體屬性1.2作用在流體微團(tuán)上力的分類(lèi)1.3理想流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性1.4流體靜平衡微分方程1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣1.1流體屬性§1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念§1.1.2流體的易流性§1.1.3流體的壓縮性與彈性§1.1.4流體的粘性1.1流體屬性§1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)是從宏觀上研究流體（空氣）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和作用力（流體內(nèi)部和流體對(duì)物體）規(guī)律的學(xué)科。流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)常用“介質(zhì)”一詞表示它所處理的對(duì)象，流體包含液體和氣體。從微觀的角度而言，不論液體還是氣體其分子與分子之間都是存在間隙的，但是這個(gè)距離與我們宏觀上關(guān)心的物體（如飛行器）的任何一個(gè)尺寸L相比較都是微乎其微的。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念例如海平面條件下，空氣分子的平均自由程為l＝10-8mm，1mm3液體含3×1021個(gè)分子，1mm3氣體含2.6×1016

個(gè)分子;10-9mm3液體含3×1012個(gè)分子，10-9mm3

氣體含2.6×107個(gè)分子，從微觀方面看，這樣的體積還是非常大。在冰點(diǎn)溫度和一個(gè)大氣壓下，

每1mm3氣體分子在1秒內(nèi)碰撞1026撞，因此在10-6秒宏觀說(shuō)來(lái)很短的時(shí)間內(nèi)，即使在10-9mm3很小的體積內(nèi)的分子仍然要碰撞1017次，這個(gè)時(shí)間從微觀看來(lái)是足夠長(zhǎng)了。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念當(dāng)受到物體擾動(dòng)時(shí)，流體或空氣所表現(xiàn)出的是大量分子運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)出的宏觀特性變化，如壓強(qiáng)、密度等，而不是個(gè)別分子的行為。流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)所關(guān)注的正是這樣的宏觀特征而不是個(gè)別分子的微觀特征。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念流體質(zhì)點(diǎn)是宏觀上組成流體的最小單元：一個(gè)包含一定質(zhì)量的空間點(diǎn)；一個(gè)微觀上充分大，宏觀上充分小的分子團(tuán)。流體質(zhì)點(diǎn)是流體力學(xué)中的最小單元，是研究流體宏觀行為的出發(fā)點(diǎn)。主要標(biāo)志：從微觀分子的不均勻性、離散性、隨機(jī)性轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^行為的均勻性、連續(xù)性、確定性。流體的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：流體是由連續(xù)無(wú)間隙地充滿所占據(jù)空間的流體質(zhì)點(diǎn)組成。流體質(zhì)點(diǎn)所具有的宏觀物理量滿足一切物理定律。由連續(xù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系稱為流體微團(tuán)。

1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念一般用努生數(shù)，即分子平均自由程與物體特征尺寸之比來(lái)判斷流體是否滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè):l/L<<1

。對(duì)于常規(guī)尺寸的物體只有到了外層大氣中，l/L才可能等于甚至大于1，這時(shí)氣體分子就會(huì)像雨點(diǎn)般稀疏的流向物體。一旦定義連續(xù)介質(zhì)，就可以把流體的一切物理性質(zhì)如密度、壓強(qiáng)、溫度及宏觀運(yùn)動(dòng)速度等表為空間和時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，便于用數(shù)學(xué)分析工具來(lái)解決問(wèn)題。

在連續(xù)介質(zhì)的前提下，流體介質(zhì)的密度可以表達(dá)為:流體為均值時(shí):流體為非均值時(shí):其中為流體空間的體積，為其中所包含的流體質(zhì)量。1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念下圖為時(shí)平均密度的變化情況(設(shè)A點(diǎn)周?chē)芏容^A點(diǎn)為大)：

當(dāng)微團(tuán)體積趨于宏觀上充分小、微觀上充分大的某體積時(shí)，密度達(dá)到穩(wěn)定值，但當(dāng)體積繼續(xù)縮小達(dá)到分子平均自由程l3

量級(jí)時(shí)，其密度就不可能保持為常數(shù)。因此流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)中所說(shuō)的微團(tuán)，在數(shù)學(xué)上可以看成一個(gè)點(diǎn)，但在物理上具有宏觀上充分小，微觀上足夠大的特征。Axyz1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念1.1.1連續(xù)介質(zhì)的概念流動(dòng)性：流體在任意小的剪切力作用下，將發(fā)生連續(xù)不斷地變形，剪切力消失，變形停止。壓縮性：流體的密度或容積隨壓力或溫度變化的性質(zhì)。流體都是可壓縮的。傳輸性：相鄰兩流層之間發(fā)生的物理量的輸運(yùn)，如動(dòng)量輸運(yùn)、熱量輸運(yùn)、質(zhì)量輸運(yùn)。

粘性熱傳導(dǎo)性擴(kuò)散性

流體與固體在力學(xué)特性上最本質(zhì)的區(qū)別在于：二者承受剪應(yīng)力和產(chǎn)生剪切變形能力上的不同。如圖所示，固體能夠靠產(chǎn)生一定的剪切角變形量θ來(lái)抵抗剪切應(yīng)力θ＝τ/G。其中剪切應(yīng)力τ=F/A,A為固體與平板相連接的面積，G為剪切彈性模量（上式即固體的剪切虎克定律）

流體與固體的宏觀差別：固體－可保持一定體積和形狀液體－可保持一定體積不能保持形狀氣體－既不能保持體積也能不保持形狀θF固體θ1Fθ2t2t1流體1.1.2流體的易流性然而如果對(duì)流體（例如甘油）也作類(lèi)似實(shí)驗(yàn)將發(fā)現(xiàn)，流體的角變形量不僅將與剪切應(yīng)力τ大小有關(guān)，而且與剪切應(yīng)力τ的持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)。因此，不論所加剪切應(yīng)力τ多么小，只要不等于零，流體都將在剪應(yīng)力作用下持續(xù)不斷的產(chǎn)生變形運(yùn)動(dòng)（流動(dòng)），這種特性稱為流體的易流性。θ1Fθ2t2t1流體1.1.2流體的易流性流體在受壓時(shí)其體積發(fā)生改變的性質(zhì)稱為流體的壓縮性，而流體抵抗壓縮變形的能力和特性稱為彈性。類(lèi)似于材料力學(xué)，用彈性模量（這里是體積彈性模量）度量流體的彈性。體積彈性模量定義為產(chǎn)生單位相對(duì)體積變化所需的壓強(qiáng)增高：其中E為體積彈性模量，v為流體體積，負(fù)號(hào)是因?yàn)楫?dāng)受壓時(shí)dp>0體積減小dv<0。考慮到一定質(zhì)量的流體m=ρv=

常數(shù),其密度與體積成反比:1.1.3流體的壓縮性與彈性1.1.3流體的壓縮性與彈性壓縮性系數(shù)定義為單位壓強(qiáng)差所產(chǎn)生的體積改變量（相對(duì)）：后面講到高速流動(dòng)時(shí)會(huì)證明，即音速的平方等于壓強(qiáng)對(duì)密度的變化率。所以氣體的彈性決定于它的密度和聲速：當(dāng)E較大，則流體不容易被壓縮，反之當(dāng)E較小則流體容易被壓縮。液體的E一般較大，通?？梢暈椴豢蓧嚎s流體，氣體的E通常較小，且與熱力過(guò)程有關(guān)，故氣體具有壓縮性。對(duì)具體流動(dòng)問(wèn)題是否應(yīng)考慮空氣壓縮性要看流動(dòng)產(chǎn)生的壓強(qiáng)變化是否引起密度顯著變化，一般情況下，當(dāng)空氣流動(dòng)速度較低時(shí)，壓強(qiáng)變化引起的密度變化很小，可不考慮空氣壓縮性對(duì)流動(dòng)特性的影響。1.1.3流體的壓縮性與彈性對(duì)于水：在常溫常壓下：對(duì)于空氣，在T=15Co、一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下：飛行器的飛行速度u

和擾動(dòng)的傳播速度a

的比值稱為馬赫數(shù)：由于氣體的彈性決定于聲速，因此馬赫數(shù)的大小可看成是氣體相對(duì)壓縮性的一個(gè)指標(biāo)。當(dāng)馬赫數(shù)較小時(shí)，可認(rèn)為此時(shí)流動(dòng)的彈性影響相對(duì)較大，即壓縮性影響相對(duì)較?。ɑ蛞欢ㄋ俣取簭?qiáng)變化條件下，密度的變化可忽略不計(jì)），從而低速氣體有可能被當(dāng)作不可壓縮流動(dòng)來(lái)處理。1.1.3流體的壓縮性與彈性反之當(dāng)馬赫數(shù)較大之后，可以認(rèn)為此時(shí)流動(dòng)的彈性影響相對(duì)較小，即壓縮性影響相對(duì)較大（或一定速度、壓強(qiáng)變化條件下，密度的變化不能忽略不計(jì)），從而氣體就不能被當(dāng)作不可壓縮流動(dòng)來(lái)處理，而必須考慮流動(dòng)的壓縮性效應(yīng)。因此盡管一般我們認(rèn)為氣體是可以壓縮的，但在考慮其流動(dòng)時(shí)按照其速度快慢即馬赫數(shù)大小將其區(qū)分為不可壓流動(dòng)和可壓縮流動(dòng)?？梢宰C明，當(dāng)馬赫數(shù)小于0.3時(shí)，氣體的壓縮性影響可以忽略不計(jì)。

1.1.3流體的壓縮性與彈性實(shí)際流體都有粘性，不過(guò)有大有小，空氣和水的粘性都不算大，日常生活中人們不會(huì)理會(huì)它，但觀察河流岸邊的漂浮物可以看到粘性的存在。下述直勻流流過(guò)平板表面的實(shí)驗(yàn)突出表明了粘性的影響：

1.1.4流體的粘性yu由于粘性影響，原來(lái)是均勻的氣流流至平板后直接貼著板面的一層速度降為零，稱為流體與板面間無(wú)滑移。稍外一層的氣流受到層間摩擦作用速度也下降至接近于零，但由于不緊挨板面多少有些速度，層間的互相牽扯作用一層層向外傳遞，離板面一定距離后，牽扯作用逐步消失，速度分布變?yōu)榫鶆颉Ｈ∑渲邢噜彽亩恿黧w來(lái)看，慢層對(duì)快層有向后的牽扯而使其有變慢的趨勢(shì)，而快層對(duì)慢層有向前的牽扯使其有變快的趨勢(shì)。1.1.4流體的粘性u(píng)u+duτdytt+dtΔ1.1.4流體的粘性流體粘性的微觀機(jī)理

粘性作為流體的一種宏觀物理屬性，本質(zhì)上源于流體分子間的相互作用以及分子熱運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)量輸運(yùn)。

1.1.4流體的粘性在均勻的速度場(chǎng)中，兩層相鄰流體的分子由于熱運(yùn)動(dòng)而相互交換位置時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生動(dòng)量的輸運(yùn)。如果流體作剪切運(yùn)動(dòng)，相鄰兩層流體的速度不一致。當(dāng)分子由于隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)從速度較慢的一層進(jìn)入速度較快的一層時(shí)，動(dòng)量輸運(yùn)產(chǎn)生了使快層流體減速的阻力；反之，當(dāng)快層內(nèi)的分子進(jìn)入慢層后，對(duì)慢層流體產(chǎn)生了加速的動(dòng)力。這種由于分子熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)量輸運(yùn)引起快層流體速度變慢和慢層流體速度變快的現(xiàn)象，從宏觀上表現(xiàn)為流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)呈現(xiàn)出抵抗剪切變形的特性。流體相鄰層間存在著抵抗層間相互錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)這一特性稱為流體的粘性，層間的這一抵抗力即摩擦力或剪切力，單位面積上的剪切力稱為剪切應(yīng)力τ。以前述流體剪切實(shí)驗(yàn)為例，牛頓（1686）發(fā)現(xiàn)，流體作用在平板上的摩擦力正比于速度U

和平板面積

A，反比于高度h，而μ是與流體介質(zhì)屬性有關(guān)的比例常數(shù)：其中比例系數(shù)μ是反映粘性大小的物性參數(shù)，稱為動(dòng)力粘性系數(shù)。1.1.4流體的粘性F=μAU/hθ1Fθ2t2t1流體hUA設(shè)表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性剪切應(yīng)力），則對(duì)于一般的粘性剪切層，速度分布不是直線而是前述的曲線，則粘性剪切應(yīng)力可寫(xiě)為這就是著名的牛頓粘性應(yīng)力公式，它表明粘性剪切應(yīng)力與速度梯度有關(guān)，與物性有關(guān)。1.1.4流體的粘性或動(dòng)力粘性系數(shù)μ的單位是：帕秒：Ns/m21.1.4流體的粘性從牛頓粘性公式可以看出：1.流體的剪應(yīng)力與壓強(qiáng)p無(wú)關(guān)。2.當(dāng)τ≠0時(shí)，，即無(wú)論剪應(yīng)力多小，只要存在剪應(yīng)力，流體就會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)，因此牛頓粘性公式可看成是易流性的數(shù)學(xué)表達(dá)。3.當(dāng)時(shí)，τ＝0，即只要流體靜止或無(wú)變形，就不存在剪應(yīng)力，流體不存在靜摩擦力。4.由于流體與固體表面無(wú)滑移，故壁面處的速度梯度為有限值，所以壁面處剪應(yīng)力τ0

也為有限值。1.1.4流體的粘性速度梯度du/dy

物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形速度或角變形率dθ/dt。如圖所示：

u+du

dy

du

dudt

∴

d

=dudt/dy

d/dt=du/dy1.1.4流體的粘性流體內(nèi)部的剪切力τ與流體的角變形率成正比（注意對(duì)于固體而言，τ與θ成正比）綜上所述：流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)（例如流體層間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)）流體的粘性是指流體抵抗剪切變形或質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能力流體的粘性力是抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)（例如流體層間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的剪應(yīng)力或摩擦力在靜止?fàn)顟B(tài)下流體不能承受剪力；但是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，剪切力大小與流體變形速度梯度有關(guān)，而且與流體種類(lèi)有關(guān)。1.1.4流體的粘性液體和氣體產(chǎn)生粘性的物理原因不同，液體分子結(jié)構(gòu)緊密，液體的粘性主要來(lái)自于液體分子間的內(nèi)聚力；氣體分子結(jié)構(gòu)松散，氣體粘性主要來(lái)自于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)，因此液體和氣體的動(dòng)力粘性系數(shù)隨溫度的變化趨勢(shì)剛好相反，但粘性系數(shù)與壓強(qiáng)基本無(wú)關(guān)。液體與氣體動(dòng)力粘性系數(shù)隨溫度變化的趨勢(shì)為：

液體：溫度升高，動(dòng)力粘性系數(shù)變小，反之變大。氣體：溫度升高，動(dòng)力粘性系數(shù)變大，反之變小。液體和氣體的動(dòng)力粘性系數(shù)隨溫度變化的關(guān)系可查閱相應(yīng)表格或近似公式，如氣體動(dòng)力粘性系數(shù)的薩特蘭公式，等等。1.1.4流體的粘性在許多空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題里，粘性力和慣性力同時(shí)存在，在式子中μ和ρ往往以（μ/ρ）的組合形式出現(xiàn)，用符號(hào)ν表示因?yàn)棣土烤V只包含長(zhǎng)度和時(shí)間，為運(yùn)動(dòng)學(xué)量，稱為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。對(duì)于小粘性系數(shù)的流體，在某些流動(dòng)中可忽略粘性作用。定義不考慮粘性的流體稱為理想流體。1.1.4流體的粘性1.1.4流體的粘性按物理意義劃分：慣性力、重力、彈性力、摩擦力等。按作用方式劃分：表面力和質(zhì)量力(徹體力，體積力)。質(zhì)量力：外力場(chǎng)作用于流體微團(tuán)質(zhì)量中心，大小與微團(tuán)質(zhì)量成正比的非接觸力，例如重力，慣性力和磁流體具有的電磁力等都屬于質(zhì)量力，也有稱為體積力或徹體力。1.2作用在流體微團(tuán)上的力的分類(lèi)由于質(zhì)量力與質(zhì)量成正比，故一般用單位質(zhì)量力表示，其向量形式為：其中是微團(tuán)體積，ρ為密度，為作用于微團(tuán)的質(zhì)量力，i

、j、k

分別是三個(gè)坐標(biāo)方向的單位向量，fx

、fy

、

fz

分別是三個(gè)方向的單位質(zhì)量力分量。1.2作用在流體微團(tuán)上的力的分類(lèi)表面力：相鄰流體或物體作用于所研究流體團(tuán)塊外表面，大小與流體團(tuán)塊表面積成正比的接觸力。由于表面力按面積分布，故用單位面積上的接觸力即接觸應(yīng)力表示，由于接觸應(yīng)力一般與表面法線方向并不重合，故又可以將接觸應(yīng)力分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。指向作用面內(nèi)法向應(yīng)力稱為壓強(qiáng)。定義為與作用面相切的應(yīng)力稱為切向應(yīng)力。上述畫(huà)出的表面力對(duì)整個(gè)流體而言是內(nèi)力，對(duì)所畫(huà)出的流體微團(tuán)來(lái)說(shuō)則是外力。1.2作用在流體微團(tuán)上的力的分類(lèi)ΔAΔTΔPn流體中的內(nèi)法向應(yīng)力稱為壓強(qiáng)

p（注），其指向沿著表面的內(nèi)法線方向。（注：關(guān)于有粘性的運(yùn)動(dòng)流體，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)壓強(qiáng)指的是三個(gè)互相垂直方向的法向力的平均值，加負(fù)號(hào)）1.2作用在流體微團(tuán)上的力的分類(lèi)壓強(qiáng)的量綱和單位表示方法：（1）壓強(qiáng)的量綱；（2）單位面積的力表示N/m2(Pa)或kPa；（3）用液柱高度表示。h=p/(m,cm,mm)；（4）用大氣壓來(lái)表示Mpa。（氣壓表）；（5）用氣象學(xué)中的單位ba,mba表示。1ba=100000Pa=1000mba大氣壓強(qiáng)分標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)和工程大氣壓強(qiáng)。

patm=101325Pa=101.325kPa=1.01325ba=1013.25mba

pa=98000Pa=98kPa=980mb（相當(dāng)于海拔200m處正常大氣壓）1.2作用在流體微團(tuán)上的力的分類(lèi)在靜止流體中，因?yàn)椴荒艹惺苋我饧羟袘?yīng)力，無(wú)論是理想流體還是粘性流體，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力只有內(nèi)法向應(yīng)力，即壓強(qiáng)。盡管一般壓強(qiáng)是位置的函數(shù)P=P(x,y,z),但在同一點(diǎn)處壓強(qiáng)不因受壓面方位不同而變化，這個(gè)結(jié)果稱為靜止流體內(nèi)壓強(qiáng)是各向同性的。在理想（無(wú)粘）流體中，不論流體處于靜止還是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因?yàn)檎承韵禂?shù)為零，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力也只有內(nèi)法向應(yīng)力，即壓強(qiáng)（各向同性）。對(duì)于粘性流體，在靜止?fàn)顟B(tài)下，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力只有內(nèi)法向應(yīng)力，即壓強(qiáng)；在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力除內(nèi)法向應(yīng)力外，還有切向應(yīng)力。其壓強(qiáng)，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)壓強(qiáng)指的是三個(gè)互相垂直方向的內(nèi)法向應(yīng)力的平均值。1.3靜止流體內(nèi)任一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性特征如討論P(yáng)點(diǎn)處壓強(qiáng)，在周?chē)∪鐖D微元4面體ABCO,作用在各表面的壓強(qiáng)如圖所示，理想流體無(wú)剪切應(yīng)力，由于dx、dy、dz的取法任意，故面ABC的法線方向n方向也是任意的。靜止流體壓強(qiáng)性質(zhì)：1、方向垂直指向作用面；2、大小與作用面的方位無(wú)關(guān)，任意一點(diǎn)的壓強(qiáng)僅是坐標(biāo)位置的連續(xù)函數(shù)。即yxzdxdydzpzpxpypnnABCo·P分別沿x、y、z三個(gè)方向建立力的平衡關(guān)系：x方向合外力＝質(zhì)量×加速度（x方向）因?yàn)閳D中的n方向?yàn)槿稳。矢飨蛲缘米C。（這與固體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不同的）1.3靜止流體內(nèi)任一點(diǎn)的壓強(qiáng)及其各向同性特征下面我們研究壓強(qiáng)在平衡流體中的分布規(guī)律。在平衡流體（靜止或相對(duì)靜止）中取定一笛卡兒坐標(biāo)系oxyz，坐標(biāo)軸方位任意。在流體內(nèi)取定一點(diǎn)P（x,y,z）,然后以該點(diǎn)為中心點(diǎn)沿坐標(biāo)軸三個(gè)方向取三個(gè)長(zhǎng)度dx,dy,dz,劃出一微元六面體作為分析對(duì)象:1.4流體靜力平衡方程xyz·Pdxdydz假設(shè)：六面體體積：dτ=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：x,y,z中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p=p（x,y,z）中心點(diǎn)密度：ρ=ρ（x,y,z）中心點(diǎn)處三個(gè)方向的單位質(zhì)量力:fx,fy,fz

微元六面體的表面力可以用中心點(diǎn)處壓強(qiáng)的一階泰勒展開(kāi)表示,如圖為x方向質(zhì)量力，其他方向同理可得。由于流體靜止故無(wú)剪應(yīng)力。xyz·Pdxdydz1.4流體靜力平衡方程x方向的表面力為：x方向的質(zhì)量力為：流體靜止，則x方向的合外力為零：1.4流體靜力平衡方程兩邊同除以dτ=dxdydz并令dτ

趨于零，可得x方向平衡方程：y,z方向同理可得：流體平衡微分方程這三個(gè)式子表明當(dāng)流體平衡時(shí)，壓強(qiáng)沿某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)，等于單位體積的質(zhì)量力在該方向的分量。1.4流體靜力平衡方程將上三個(gè)式子分別乘以dx，dy，dz，然后相加起來(lái)，得到：此式左端是個(gè)全微分：平衡要求右端括號(hào)也是某函數(shù)Ω=Ω（x,y,z）的全微分dΩ

，稱Ω為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)，或稱質(zhì)量力有勢(shì)。1.4流體靜力平衡方程如果沿著任意封閉曲線積分，得到說(shuō)明單位質(zhì)量力積分與路徑無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，單位質(zhì)量力是有勢(shì)力。由此得到，在靜止?fàn)顟B(tài)下，所受的質(zhì)量力必須是有勢(shì)力?；蛘撸褐挥性谟袆?shì)力作用下流體才有可能達(dá)到平衡。重力、慣性力和電磁力均為有勢(shì)力。設(shè)單位質(zhì)量力的力勢(shì)函數(shù)為Ω＝Ω(x,y,z)，其與單位質(zhì)量力的分量關(guān)系為1.4流體靜力平衡方程用有勢(shì)的質(zhì)量力表示，平衡微分方程可寫(xiě)為：有勢(shì)力滿足的條件：如果我們知道某一點(diǎn)的壓強(qiáng)值pa

和質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)Ωa的值,則任何其它點(diǎn)的壓強(qiáng)和勢(shì)函數(shù)之間的關(guān)系便可表為：1.4流體靜力平衡方程等壓面的概念：流場(chǎng)中壓強(qiáng)相等的空間點(diǎn)組成的幾何曲面或平面······p=c等壓面在等壓面上滿足：上式積分后為一幾何曲面或平面，該曲面上滿足dp=0，上方程稱為等壓面方程。或：1.4流體靜力平衡方程等壓面方程還可寫(xiě)為：其中：

為質(zhì)量力向量。為等壓面上的向徑等壓面上式表明：等壓面處處與質(zhì)量力相正交。1.4流體靜力平衡方程例如：1.在重力場(chǎng)下靜止液體等壓面必然為水平面。gaa3.在水平向右加速容器中的液體，合成的徹體力向左下方，因此等壓面是向右傾斜的平面。2.在加速上升電梯中的液體除了受到重力之外，還受到向下的慣性力，二者合成的質(zhì)量力均為向下，因此等壓面也是水平面。1.4流體靜力平衡方程在重力場(chǎng)中，設(shè)封閉容器自由面處壓強(qiáng)為p0，如圖建立坐標(biāo)系，考慮距水平軸高度為y

處的某單位質(zhì)量流體，其質(zhì)量力可表示為：p0。xygy其中g(shù)為重力加速度。1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律積分得（注意重度γ＝ρg）：此式稱為重力作用下平衡基本方程。上式表明，重力作用下，平衡流體中

p/γ與y

之和為常數(shù)。顯然，靜止流體中等壓面為水平面y＝c代入平衡微分方程得：1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律

的幾何意義為:y----代表所研究流體質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)系中所處高度，稱為高度水頭p/γ---代表所研究流體質(zhì)點(diǎn)在真空管中上升高度，稱為壓力水頭H----由于方程量綱為高度，該積分常數(shù)代表上述二高度之和稱為總水頭，如下圖所示：1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律對(duì)于不同高度上的1、2兩點(diǎn)，平衡基本方程可以寫(xiě)為:表明平衡流體中不同高度處，壓力水頭與高度水頭可以互相轉(zhuǎn)換，但總水頭保持不變。y2。11yxp0。yH真空1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律

的物理意義為:y----代表單位重量流體的重力勢(shì)能簡(jiǎn)稱勢(shì)能

p/γ---代表單位重量流體的壓力勢(shì)能簡(jiǎn)稱壓力能H----代表平衡流體中單位重量流體的總能量平衡基本方程表明:平衡流體中勢(shì)能與壓力能可以互相轉(zhuǎn)換，但總能量保持不變1.4流體靜力平衡方程假設(shè)自由液面距水平軸距離為H’，則自由面與y

處流體滿足：。xygp0yH’h其中h=H’-y是所論液體距自由面的深度1.4流體靜力平衡方程式表明：

平衡流體中距自由面深h

處的壓強(qiáng)來(lái)自于兩部分的貢獻(xiàn)：一是上方單位面積上的液重γh，因此壓強(qiáng)隨距自由面的淹沒(méi)深度而線性增加二是自由面上的壓強(qiáng)貢獻(xiàn)p0，而該貢獻(xiàn)處處相同與深度無(wú)關(guān)當(dāng)自由面為大氣壓

pa

時(shí)，距自由面深h處的壓強(qiáng)可表為：1.4流體靜力平衡方程壓強(qiáng)的計(jì)量：以真空為壓強(qiáng)參考值計(jì)量的壓強(qiáng)稱為絕對(duì)壓強(qiáng)，如上式中的p以大氣壓pa為參考?jí)簭?qiáng)，高出大氣壓部分的壓強(qiáng)稱為相對(duì)壓強(qiáng)pb=p-pa以大氣壓pa為參考?jí)簭?qiáng)，不足大氣壓部分的壓強(qiáng)稱為真空度pv=pa-p對(duì)于同一個(gè)壓強(qiáng)值p，其相對(duì)壓強(qiáng)pb

與其真空度pv之間的關(guān)系為pb=-pv

1.4流體靜力平衡方程濕式大氣壓力計(jì)

例：濕式大氣壓力表的工作原理有一種大氣壓力表是用汞柱的高度來(lái)表達(dá)大氣壓的數(shù)值的。一根上端封閉的長(zhǎng)玻璃管和一個(gè)盛汞的底盒，玻管豎立。玻管中有汞與底盒中的汞連通。玻管中汞柱的上端是真空的。參看右圖，把坐標(biāo)平面xy放在管中汞柱的上表面，該處的1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律按式，玻管下面與盒中汞面等高的A處(距上表面的深度為h)的壓強(qiáng)pA

是而pA

和大氣壓pa

相等，即：這樣，要計(jì)算大氣壓的值的話，只要把氣壓表上讀下來(lái)的汞柱高度米乘以汞的重度就是了，大氣壓的讀數(shù)往往只說(shuō)汞柱高就行了，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)氣壓是760毫米汞柱。1.5重力場(chǎng)靜止液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律在以勻加速運(yùn)動(dòng)或勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)平衡流體中，如果將坐標(biāo)系固連在以勻加速運(yùn)動(dòng)或勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的容器上，對(duì)液體引入慣性力(達(dá)朗伯原理)，則同樣可以利用平衡微分方程求解問(wèn)題。如圖圓筒作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，求其中液體的等壓面形狀和壓強(qiáng)分布規(guī)律。yzg1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題將坐標(biāo)系固連于轉(zhuǎn)筒，并建如圖坐標(biāo)系?？紤]距底壁為z,半徑為r

處單位質(zhì)量流體，會(huì)受到一個(gè)向下的質(zhì)量力大小為g,此外還受到一個(gè)向外的慣性力大小為ω2r。在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)方向的質(zhì)量力可表為：

yxrω2rθω2yω2xyzg1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題求等壓面：由等壓面方程可得：積分得：即：為旋轉(zhuǎn)拋物面族yzgH1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題特別地，設(shè)自由面最低點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)高H

時(shí)，可定出自由面對(duì)應(yīng)的常數(shù)：r=0時(shí)，c=z=H，故自由面方程為：其中稱為超高，即液面高出拋物線頂點(diǎn)的部分。yzgH1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題求壓強(qiáng)分布：將質(zhì)量力代入平衡微分方程可得：積分得：由自由面條件定出積分常數(shù)：x=y=0，z=H時(shí),p=pa，定得積分常數(shù)c=pa+ρgH，帶入上述積分結(jié)果，得：1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題如果令方括號(hào)等于H’，則上式可以寫(xiě)為：其中H’

即為從自由面向下的淹沒(méi)深度，等于超高加上距頂點(diǎn)的深度。yzgHH’上述壓強(qiáng)分布表明，在旋轉(zhuǎn)平衡液體中，壓強(qiáng)隨深度線性增加，隨半徑呈平方增加。即A點(diǎn)處壓強(qiáng)大于自由面頂點(diǎn)處壓強(qiáng)，而B(niǎo)點(diǎn)處壓強(qiáng)又大于A點(diǎn)處壓強(qiáng)，C點(diǎn)處壓強(qiáng)又大于B點(diǎn)處壓強(qiáng)。1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題

此外壓強(qiáng)分布還與旋轉(zhuǎn)角速度的平方ω2

成正比，如旋轉(zhuǎn)角速度很大，這個(gè)質(zhì)量力可以很大，從而一定半徑處的壓強(qiáng)會(huì)很大。由于隨半徑不同各處的慣性離心力不同，因此合成的慣性力方向隨半徑而變化，在外側(cè)慣性力較大故合質(zhì)量力方向趨于水平，在圓心附近慣性力較小故合質(zhì)量力方向趨于垂直，這是旋轉(zhuǎn)平衡液體的等壓面成為拋物面形狀的原因。

旋轉(zhuǎn)液體的特點(diǎn)在在工程中也有很重要的應(yīng)用，例如旋轉(zhuǎn)鑄造或離心鑄造等，對(duì)于鑄造薄壁容器、列車(chē)車(chē)輪等有重要意義。1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題如圖為旋轉(zhuǎn)液體壓強(qiáng)分布演示：1.6液體的相對(duì)平衡問(wèn)題包圍整個(gè)地球的空氣總稱為大氣。在大氣層內(nèi)溫度、壓強(qiáng)等隨高度發(fā)生變化。按其變化特征，可將大氣分為若干層。（1）對(duì)流層------從海平面起算的最低一層大氣，高度8-12km。在這一層內(nèi)密度最大，所含空氣質(zhì)量約占整個(gè)大氣質(zhì)量的3/4。空氣存在上下流動(dòng)，雷雨和風(fēng)暴等氣象變化均發(fā)生在這一層內(nèi)，溫度隨高度直線下降。1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣（2）平流層----高度從12—32km，所含空氣質(zhì)量占整個(gè)大氣的1/4。大氣只有水平方向的運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有雷雨等氣象變化。從12-20km，溫度不變T=216.65K（同溫層）；從20-32km，溫度隨高度而上升。（3）中間大氣層---高度從32-80km，在這一層溫度先是隨高度上升，在53km處達(dá)到282.66K，以后下降，在80km處降低到196.86K。這一層的空氣質(zhì)量約占總質(zhì)量的1/3000。（4）高溫層---高度80-400km，溫度隨高度上升，到400km處達(dá)1500-1600K。在150km以上，由于空氣過(guò)分稀薄，可聞聲已經(jīng)不存在。（5）外層大氣—高度400—1500-1600km，空氣分子有機(jī)會(huì)逸入太空而不與其它分子碰撞?？諝赓|(zhì)量占總質(zhì)量的10-11。1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣空氣主要成分：N2占78%，O2占21%。普通飛機(jī)主要在對(duì)流層和平流層里活動(dòng)。飛機(jī)最大高度39km，探測(cè)氣球44km，人造衛(wèi)星100-1000km。大多數(shù)隕石消滅在40-60km。1.7標(biāo)準(zhǔn)大氣氣象條件逐日都有些變化，更不用說(shuō)不同的季節(jié)了,并且不同地區(qū)氣象也不相同。無(wú)論做飛行器設(shè)計(jì)，還是做實(shí)驗(yàn)研究，都要用到大氣的條件，為了便于比較，工程上需要規(guī)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是按中緯度地區(qū)的平均氣象條件定出來(lái)的。這樣做計(jì)算時(shí)，都依此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算；做實(shí)驗(yàn)時(shí)，也都換算成標(biāo)準(zhǔn)條件下的數(shù)據(jù)。

標(biāo)準(zhǔn)大氣規(guī)定在海平面上，大氣溫度為15℃

或T0=288.15K，壓強(qiáng)p0=760毫米汞柱=101325牛/米2，密度ρ0=1.225千克/米31.7標(biāo)準(zhǔn)大氣

從基準(zhǔn)面到11km的高空稱為對(duì)流層，在對(duì)流層內(nèi)大氣密度和溫度隨高度有明顯變化，溫度隨高度增加而下降，高度每增加1km，溫度下降6.5K，即：

從11km到21km

的高空大氣溫度基本不變，稱為同溫層或平流層，在同溫層內(nèi)溫度保持為216.5K。普通飛機(jī)主要在對(duì)流層和平流層