小學數(shù)學 工程問題(一).教師版

工程問題一）

教學目熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關系與一般解法；工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理；根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單“的統(tǒng)一和轉換；工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用．知識精工程問題是小學數(shù)學應用題教學中的重點，是分數(shù)應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的用題，它具有抽象性，學生認知起來較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。一．工程問題的基本概念定義：工問題是指用分數(shù)來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題。工作總量：一般抽象成單“”工作效率：單位時間內完成的工作量三個基本公式：工作總量=工作效率×工時間，工作效=工總量工時間，工作時=工總量工效率；二、為了學好分數(shù)、百分數(shù)應用題，必須做到以下幾方面：具備整數(shù)應用題的解題能力，解決整數(shù)應用題的基本知識，如概念、性質、法則、公式等廣泛用于分數(shù)、百分數(shù)應用題；在理解、掌握分數(shù)的意義和性質的前提下靈活運用；學會畫線段示意圖．線段示意圖能直觀地揭量與“百率之的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和理；學會多角度、多側面思考問題的方法．分數(shù)、百分數(shù)應用題的條件與問題之間的關系變化多端單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法．因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路．三、利用常見的數(shù)學思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量和時間，住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉化出與所相關的工作效率，最后再利用先前的假把整個工程看成一個單，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時間．1例題精模塊一、工程問題基本題型【1一項程甲獨需28天間乙獨需天時，果、合需多時？【考點】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個單位，那么甲每天完成總量的

1，乙每天完成總量的，人合作每天能完成總量的

11，以兩人合作的話，需要天夠完成．21【答案】12【2一項程甲獨需30天時，、合作要天時，果單做要少間【考點】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個單位，那么甲每天完成總量的

，甲、乙合作每天完成總量的，12乙單獨做每天能完成總量的

11，以乙單獨做1天完成．30【答案】20【固一工，單做要21天時間甲乙作要12天時，果單做要少間【考點】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個單位，那么甲每天完成總量的

1，甲、乙合作每天完成總量的，12乙單獨做每天能完成總量的

1，以乙單獨做天能完成．28【答案】

2【】甲兩打員，字度樣，甲30分鐘了材的乙分鐘了B材的、B兩份料，（填A）內多【考點】工程問題【度2星【型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽【解析】因為人速度一樣，那同樣的時間內打的字數(shù)是一樣的，統(tǒng)一兩人的時間，甲分鐘可以打完A材，乙分鐘可以打B材的，所以B材內容多【答案】【4甲、兩共加一零件8小可完任．果單加，需12小時完．在、兩共生了2小時，被出其工，乙繼生了420個件完任務問一加零多個【考點】工程問題【度2星【型】解答2121【解析】乙單加工，每小時加甲調出后，剩下工作乙需做()時所以乙每585小時加工零件420480()．

(個)，2小時加工25個)，以乙一共加工零件＝55【答案】480【固一工，、兩合30天可以成共做天，離了由繼做天完成如這工由或單完各需多天【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】共做6天后，原來，甲做24天乙做，現(xiàn)在，甲做0天乙做（）天.說明原來甲24天的工作可由乙做16來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的。如果甲獨做所時間是需時間分別是75天天.

天果乙獨做，所需時間350天；甲或乙獨做所【答案】分別是天和50天【54工加455個零。始天中有名人事假天，結共工195個件如以無清，么要天以成務【考點】工程問題【度2星【型】解答【關鍵詞】走美杯，決賽5年【解析】每人天加工零件13(個，剩下的零件還需加工天。【答案】5【6一項程甲獨成要2天乙獨成要9天．甲做干后接做共10完，甲了天【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】根據(jù)意可知，甲的工效率為()天

，乙的工作效率為，采用雞兔籠問題的假設法，可知甲做了9【答案】4天【固一工，隊獨2天可完，甲做8天后，于有務剩的作乙單做天成問乙單完這工需少？【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】方法甲的工作效率

223甲隊天工作量為所乙隊天的工作量為，20555乙的工作效率為，以乙隊單獨成這項工作需要天方法二：此題可以用代換法解，甲天作量等于乙15天作量，乙的作效率為甲的，乙獨做的時間為20【答案】天

（3【7有兩同的庫搬完一倉的物甲時乙需7時，需小。、同時始搬一倉的物開時丙幫搬，來去幫搬，后個庫貨物時完則幫小時幫小時?！究键c】工程問題【度2星【型】解答【關鍵詞】希望杯，六年級，二試【解析】整個運的過程，就是、乙、丙三人同時開始同時結束，共搬運了兩個倉庫的貨物，所以它們完11121成工作的總時間為2)小時．64在這段時間內，甲、乙各自在某一個倉庫內搬運，丙則在兩個倉庫都搬運過．17713甲完成的工作量是丙幫甲搬了1的貨物甲的時間為小，688814那么丙幫乙做的時間為

213?。?【答案】小【8某工先甲做天再乙獨即完；果甲乙人作需天完現(xiàn)甲單做42天，然再乙單完，么還需做少？【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】先對如下：甲做天，乙做28天甲做48，乙做48天就道甲少做63-48=15天要多做48-28=20（得乙的工效率是甲的甲單獨做42天比63天少做了63-42=21（天當乙要做21

天因，乙還要做（天還要做天.【答案】56天【9一項程甲單完需天。乙先10，下工由、兩合，需天可成如乙單完此程則______?！究键c】工程問題【度2星【型】解答【關鍵詞】希望杯，六年級，一試【解析】甲每完成做要天.

201，甲乙合作中，甲一共完成，以乙也一共完成，乙每天完成，單獨2【答案】60天【10一工，、合需2完，、丙作要天成由乙獨需30天完，么果、、合，成項程要少？【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】如果整個工程的工作看做單們容易看出：甲

1，乙，乙15

1111因此不難得到丙的工作效率為因三個人的工作效率之和為也15是說，三個人合作需要天以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效．但這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了．【答案】12天4【固一工，、合需9天成乙丙作要12天，丙獨需天成那如果、合，成項程要少？【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】法一和上題類似，我可以有：甲

1，乙，丙不難求得，乙的工作效率為11111，此甲的工作效率為，而甲丙合作的工作效率為，18183612即甲丙合作12天完成。法二然觀察上面那三個等式能否不求出每個人的工作效率過整體的運算直接得甲+的值呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：說：甲

1，以甲丙合作12天完。12【答案】天【固一工，、兩合36天完成乙丙人作天完，、兩合要天成問一獨需多天成【考點】工程問題【度2星【型】解答【解析】設這工作的工作量是1甲乙兩人合作每天完成

，甲丙兩人合作每天完成，丙兩人合作60每天完成

1，甲、乙、丙三人合作每天完成)6018030

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成

，獨做需要90天答：甲一人獨做需要天完成9090【答案】90天【固一工，、兩合天成乙丙人做9天完，、兩合18天完成那么一人做完這工需多天【考點】工程問題【度2星【型】解答1【解析】方法：對于工作效率(甲，乙乙丙－(丙，)=2乙，即+－=為倍乙的工作91872效率以的工作效率為

對工作效率有乙)－乙丙丙的工作效率為－＝

1那么丙一個人來做，完成這項工作需天4821方法二2(，乙，)甲乙)+(、)+(甲、丙＝＋＋＝，所以甲，乙，丙=1＝，甲、乙、丙3人作的工作效率為．那么丙單獨工作的工作效率為－＝，48那么丙一個人來做，完成這項工作需天．【答案】48天【11一工，、兩合天可以成乙丙人作天以成丙丁人作天可完．么、兩合多天以成【考點】工程問題【度2星【型】解答51【解析】甲乙乙丙丙丁作的工作效率依次是、、對工作效率有(甲乙)丙丁)－(乙，11丙甲?。矗?、丁合作的工作效率為．所以，甲丁兩人合作天624以完成這件工程．【答案】24天【固修一高公。甲乙丙可工若、、合作天完；丙丁作天完，甲乙天后剩的程甲乙丙丁作還多少可工【考點】工程問題【度2星【型】解答【關鍵詞】希望杯1【解析】設這工程為單的工作效率為，+丁的工作效率為。+丁的工作效率為1201111那乙的工作效率)+++丁的工作效率為9014414480此剩下的工程還需

136)60天80【答案】天【12一工做項程如能來人，那天可以成如只來人，要20天能完，么走2人后完成項程要天【考點】工程問題【度2星【型】解答【關鍵詞】2007年，人大附中【解析】設人做的量為原來有x人做這項工程果調走，需要

天)．【答案】天【13甲乙輛潔執(zhí)東西間公路掃務甲單清需1小，車獨掃15小，車時東西相開，遇甲比車清千．：東西城距少米【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】法一先求出甲、乙相遇的時間：)小時；甲清掃全長的

122，清了全部的；以東、西兩城相距米．55法二：1因為時間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時甲、乙清掃的路程比是:甲行了全程的

2，乙行了全程的，全程就是2千．35【答案】千米【14一工，單做天成，單做60完．在人作中甲因休了干，所經(jīng)了27天才完．甲息幾？6【考點】工程問題【度3星【型】解答【關鍵詞】十三分，入學測試【解析】法一在整個過程中，沒有休息，所以乙一共干了60天完成了全部工程的，有

11111是做的，所以甲干了天息了22天2040法二：假設中間甲沒有休息，則兩人合作天，應完成全部工程的(

1)，過了單位60“1的

11，則甲休息了（天88【答案】5天【固一工，單做20天完，單做30天完．、乙作幾后乙事假甲續(xù)做從工完任共了1天．請多天？【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】法一甲一共干了16，完成了全部工程的

441，有是乙做的，所以乙干了55(天)休息了(天)請假天數(shù)為：(天)．法二：假設乙沒有請假，則兩人合作16天應完成部工程的(11的，乙請假(天)33

)，超過了單位1”3【答案】10天【固有條路甲獨需天，乙獨需天丙獨需天．在3個合，中途隊出到外地結用天把條路完當隊出，、丙隊共合修多天完?【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】甲、、丙三個隊合修工作效率為

116天成的工程量為，而實際151完成了的工程量為1即甲隊少做了，隊完成超單位“”，沒有干的天數(shù)22(天，即當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又合修了6-1=5天【答案】5【15一水甲乙管時5小灌；、丙管時，4小灌．現(xiàn)先乙小，還甲丙管時2小才灌滿乙獨幾時以滿【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】由于、乙和乙、丙的作效率之和都知道了，根現(xiàn)先開乙管小，還需甲、丙兩管同時開時灌滿，們可以把乙管的時分成3個2時，第一個小時和甲同時開，第二個時和丙同時開，第三個2小乙管單獨開．這樣就變成了甲、乙同時開2小，乙、丙同時開2小，11乙單獨開小時正灌滿一池水可計算出乙單獨灌水的工作量為所乙4的工作效率為：

12)，以整池水由乙管單獨灌水，需7

20（時【答案】小【16某池以甲乙個管水單開管12小注，開管24小時注，要小注水池且乙管時開時盡少那么乙少同開時【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】要想時開的時間最小則根據(jù)工效，讓滿負荷”地做，才可能使得同時開放的時間最小．所以，1乙開放的時間為1(時)，即甲、乙最少要同時開4?。敬鸢浮?時【17一蓄池每鐘入4立方水如果開個水龍，小半把池放，果開8個龍，1小時就水水空現(xiàn)在開個龍，要少時才把放？【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】先計1個龍頭每分鐘放出水.2時半比1小半多60分多流入水4×60=240（立方米時間都用分鐘作單位個水龍頭每分鐘放水量是÷（5×8×）8（方米個龍頭1個小時放出的量是×，其中90分內流入水量是4×90因此原來水池中存有水×90-4×90=（立方米.打開個龍頭每分鐘可以放出水8×13除每分鐘流入，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400（8×13-（分鐘.以打開13個頭，放空水池要54分鐘水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.在題目中卻是隱含著【答案】54分鐘【18有10根小同的水給、B兩水注，計用根水給水池水其6根給池水那小可時滿因發(fā)水以定速漏，以為用根進管水注，果是時滿(1)如用根水給水

水注，要少鐘滿如增4根同樣進管A

水仍漏，且求在水程每水的水管數(shù)保不，么把個池滿少要少鐘結四五到位【考點】工程問題【度4星【型】解答【解析】設每進水管的工效為1，那么A池量為，池量為．當用5根進水管給B池灌水時需30÷5=6小，而在小時內其水管給也是灌有30的，所以漏了30，因此漏水的工效為10.(1)用10根進水管給漏池灌水那(10)2.4小144.(2)設A池根B池根():(14)2:3,所以有28化解得x所A池7根6根進水管時對應所需時間別：3①池用7根水時：7根水管，需時間20)小=225分：7根管，需時間小分鐘．此時要把兩個水池注滿最需要分；60②池用6根水時A6根水管，需時)小

鐘8根水管，需時間30÷8=

小時分此要把兩個水池注滿最少需分所要兩個水管都注滿，最少需257分鐘，7根水管注池，根水管注B池【答案】257分8【19有項程甲獨需36天完，單做要天完，單做要天完．在由、、三同做在作間丙息整天而和乙直作完，后成這工也了數(shù)．么休了天【考點】工程問題【度3星【型】解答【解析】設甲工了天工了