小學(xué)數(shù)學(xué) 工程問題(一).教師版

工程問題一）

教學(xué)目熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會(huì)分段處理；根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單“的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用．知識精工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一．工程問題的基本概念定義：工問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。工作總量：一般抽象成單“”工作效率：單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率×工時(shí)間，工作效=工總量工時(shí)間，工作時(shí)=工總量工效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面：具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用；學(xué)會(huì)畫線段示意圖．線段示意圖能直觀地揭量與“百率之的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和理；學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思考問題的方法．分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法．因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路．三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量和時(shí)間，住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假把整個(gè)工程看成一個(gè)單，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時(shí)間．1例題精模塊一、工程問題基本題型【1一項(xiàng)程甲獨(dú)需28天間乙獨(dú)需天時(shí)，果、合需多時(shí)？【考點(diǎn)】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個(gè)單位，那么甲每天完成總量的

1，乙每天完成總量的，人合作每天能完成總量的

11，以兩人合作的話，需要天夠完成．21【答案】12【2一項(xiàng)程甲獨(dú)需30天時(shí)，、合作要天時(shí)，果單做要少間【考點(diǎn)】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個(gè)單位，那么甲每天完成總量的

，甲、乙合作每天完成總量的，12乙單獨(dú)做每天能完成總量的

11，以乙單獨(dú)做1天完成．30【答案】20【固一工，單做要21天時(shí)間甲乙作要12天時(shí)，果單做要少間【考點(diǎn)】工程問題【度1星【型】解答【解析】將整工程的工作量看“個(gè)單位，那么甲每天完成總量的

1，甲、乙合作每天完成總量的，12乙單獨(dú)做每天能完成總量的

1，以乙單獨(dú)做天能完成．28【答案】

2【】甲兩打員，字度樣，甲30分鐘了材的乙分鐘了B材的、B兩份料，（填A(yù)）內(nèi)多【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽【解析】因?yàn)槿怂俣纫粯?，那同樣的時(shí)間內(nèi)打的字?jǐn)?shù)是一樣的，統(tǒng)一兩人的時(shí)間，甲分鐘可以打完A材，乙分鐘可以打B材的，所以B材內(nèi)容多【答案】【4甲、兩共加一零件8小可完任．果單加，需12小時(shí)完．在、兩共生了2小時(shí)，被出其工，乙繼生了420個(gè)件完任務(wù)問一加零多個(gè)【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答2121【解析】乙單加工，每小時(shí)加甲調(diào)出后，剩下工作乙需做()時(shí)所以乙每585小時(shí)加工零件420480()．

(個(gè))，2小時(shí)加工25個(gè))，以乙一共加工零件＝55【答案】480【固一工，、兩合30天可以成共做天，離了由繼做天完成如這工由或單完各需多天【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】共做6天后，原來，甲做24天乙做，現(xiàn)在，甲做0天乙做（）天.說明原來甲24天的工作可由乙做16來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的。如果甲獨(dú)做所時(shí)間是需時(shí)間分別是75天天.

天果乙獨(dú)做，所需時(shí)間350天；甲或乙獨(dú)做所【答案】分別是天和50天【54工加455個(gè)零。始天中有名人事假天，結(jié)共工195個(gè)件如以無清，么要天以成務(wù)【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽5年【解析】每人天加工零件13(個(gè)，剩下的零件還需加工天。【答案】5【6一項(xiàng)程甲獨(dú)成要2天乙獨(dú)成要9天．甲做干后接做共10完，甲了天【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】根據(jù)意可知，甲的工效率為()天

，乙的工作效率為，采用雞兔籠問題的假設(shè)法，可知甲做了9【答案】4天【固一工，隊(duì)獨(dú)2天可完，甲做8天后，于有務(wù)剩的作乙單做天成問乙單完這工需少？【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】方法甲的工作效率

223甲隊(duì)天工作量為所乙隊(duì)天的工作量為，20555乙的工作效率為，以乙隊(duì)單獨(dú)成這項(xiàng)工作需要天方法二：此題可以用代換法解，甲天作量等于乙15天作量，乙的作效率為甲的，乙獨(dú)做的時(shí)間為20【答案】天

（3【7有兩同的庫搬完一倉的物甲時(shí)乙需7時(shí)，需小。、同時(shí)始搬一倉的物開時(shí)丙幫搬，來去幫搬，后個(gè)庫貨物時(shí)完則幫小時(shí)幫小時(shí)。【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試【解析】整個(gè)運(yùn)的過程，就是、乙、丙三人同時(shí)開始同時(shí)結(jié)束，共搬運(yùn)了兩個(gè)倉庫的貨物，所以它們完11121成工作的總時(shí)間為2)小時(shí)．64在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙各自在某一個(gè)倉庫內(nèi)搬運(yùn)，丙則在兩個(gè)倉庫都搬運(yùn)過．17713甲完成的工作量是丙幫甲搬了1的貨物甲的時(shí)間為小，688814那么丙幫乙做的時(shí)間為

213?。?【答案】小【8某工先甲做天再乙獨(dú)即完；果甲乙人作需天完現(xiàn)甲單做42天，然再乙單完，么還需做少？【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】先對如下：甲做天，乙做28天甲做48，乙做48天就道甲少做63-48=15天要多做48-28=20（得乙的工效率是甲的甲單獨(dú)做42天比63天少做了63-42=21（天當(dāng)乙要做21

天因，乙還要做（天還要做天.【答案】56天【9一項(xiàng)程甲單完需天。乙先10，下工由、兩合，需天可成如乙單完此程則______?！究键c(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試【解析】甲每完成做要天.

201，甲乙合作中，甲一共完成，以乙也一共完成，乙每天完成，單獨(dú)2【答案】60天【10一工，、合需2完，、丙作要天成由乙獨(dú)需30天完，么果、、合，成項(xiàng)程要少？【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】如果整個(gè)工程的工作看做單們?nèi)菀卓闯觯杭?/p>

1，乙，乙15

1111因此不難得到丙的工作效率為因三個(gè)人的工作效率之和為也15是說，三個(gè)人合作需要天以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效．但這樣做比較麻煩，事實(shí)上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了．【答案】12天4【固一工，、合需9天成乙丙作要12天，丙獨(dú)需天成那如果、合，成項(xiàng)程要少？【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】法一和上題類似，我可以有：甲

1，乙，丙不難求得，乙的工作效率為11111，此甲的工作效率為，而甲丙合作的工作效率為，18183612即甲丙合作12天完成。法二然觀察上面那三個(gè)等式能否不求出每個(gè)人的工作效率過整體的運(yùn)算直接得甲+的值呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：說：甲

1，以甲丙合作12天完。12【答案】天【固一工，、兩合36天完成乙丙人作天完，、兩合要天成問一獨(dú)需多天成【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【解析】設(shè)這工作的工作量是1甲乙兩人合作每天完成

，甲丙兩人合作每天完成，丙兩人合作60每天完成

1，甲、乙、丙三人合作每天完成)6018030

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成

，獨(dú)做需要90天答：甲一人獨(dú)做需要天完成9090【答案】90天【固一工，、兩合天成乙丙人做9天完，、兩合18天完成那么一人做完這工需多天【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答1【解析】方法：對于工作效率(甲，乙乙丙－(丙，)=2乙，即+－=為倍乙的工作91872效率以的工作效率為

對工作效率有乙)－乙丙丙的工作效率為－＝

1那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需天4821方法二2(，乙，)甲乙)+(、)+(甲、丙＝＋＋＝，所以甲，乙，丙=1＝，甲、乙、丙3人作的工作效率為．那么丙單獨(dú)工作的工作效率為－＝，48那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需天．【答案】48天【11一工，、兩合天可以成乙丙人作天以成丙丁人作天可完．么、兩合多天以成【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答51【解析】甲乙乙丙丙丁作的工作效率依次是、、對工作效率有(甲乙)丙丁)－(乙，11丙甲?。矗?，甲、丁合作的工作效率為．所以，甲丁兩人合作天624以完成這件工程．【答案】24天【固修一高公。甲乙丙可工若、、合作天完；丙丁作天完，甲乙天后剩的程甲乙丙丁作還多少可工【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯1【解析】設(shè)這工程為單的工作效率為，+丁的工作效率為。+丁的工作效率為1201111那乙的工作效率)+++丁的工作效率為9014414480此剩下的工程還需

136)60天80【答案】天【12一工做項(xiàng)程如能來人，那天可以成如只來人，要20天能完，么走2人后完成項(xiàng)程要天【考點(diǎn)】工程問題【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】2007年，人大附中【解析】設(shè)人做的量為原來有x人做這項(xiàng)工程果調(diào)走，需要

天)．【答案】天【13甲乙輛潔執(zhí)東西間公路掃務(wù)甲單清需1小，車獨(dú)掃15小，車時(shí)東西相開，遇甲比車清千．：東西城距少米【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】法一先求出甲、乙相遇的時(shí)間：)小時(shí)；甲清掃全長的

122，清了全部的；以東、西兩城相距米．55法二：1因?yàn)闀r(shí)間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時(shí)甲、乙清掃的路程比是:甲行了全程的

2，乙行了全程的，全程就是2千．35【答案】千米【14一工，單做天成，單做60完．在人作中甲因休了干，所經(jīng)了27天才完．甲息幾？6【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】十三分，入學(xué)測試【解析】法一在整個(gè)過程中，沒有休息，所以乙一共干了60天完成了全部工程的，有

11111是做的，所以甲干了天息了22天2040法二：假設(shè)中間甲沒有休息，則兩人合作天，應(yīng)完成全部工程的(

1)，過了單位60“1的

11，則甲休息了（天88【答案】5天【固一工，單做20天完，單做30天完．、乙作幾后乙事假甲續(xù)做從工完任共了1天．請多天？【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】法一甲一共干了16，完成了全部工程的

441，有是乙做的，所以乙干了55(天)休息了(天)請假天數(shù)為：(天)．法二：假設(shè)乙沒有請假，則兩人合作16天應(yīng)完成部工程的(11的，乙請假(天)33

)，超過了單位1”3【答案】10天【固有條路甲獨(dú)需天，乙獨(dú)需天丙獨(dú)需天．在3個(gè)合，中途隊(duì)出到外地結(jié)用天把條路完當(dāng)隊(duì)出，、丙隊(duì)共合修多天完?【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】甲、、丙三個(gè)隊(duì)合修工作效率為

116天成的工程量為，而實(shí)際151完成了的工程量為1即甲隊(duì)少做了，隊(duì)完成超單位“”，沒有干的天數(shù)22(天，即當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又合修了6-1=5天【答案】5【15一水甲乙管時(shí)5小灌；、丙管時(shí)，4小灌．現(xiàn)先乙小，還甲丙管時(shí)2小才灌滿乙獨(dú)幾時(shí)以滿【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】由于、乙和乙、丙的作效率之和都知道了，根現(xiàn)先開乙管小，還需甲、丙兩管同時(shí)開時(shí)灌滿，們可以把乙管的時(shí)分成3個(gè)2時(shí)，第一個(gè)小時(shí)和甲同時(shí)開，第二個(gè)時(shí)和丙同時(shí)開，第三個(gè)2小乙管單獨(dú)開．這樣就變成了甲、乙同時(shí)開2小，乙、丙同時(shí)開2小，11乙單獨(dú)開小時(shí)正灌滿一池水可計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為所乙4的工作效率為：

12)，以整池水由乙管單獨(dú)灌水，需7

20（時(shí)【答案】小【16某池以甲乙個(gè)管水單開管12小注，開管24小時(shí)注，要小注水池且乙管時(shí)開時(shí)盡少那么乙少同開時(shí)【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】要想時(shí)開的時(shí)間最小則根據(jù)工效，讓滿負(fù)荷”地做，才可能使得同時(shí)開放的時(shí)間最?。?，1乙開放的時(shí)間為1(時(shí))，即甲、乙最少要同時(shí)開4?。敬鸢浮?時(shí)【17一蓄池每鐘入4立方水如果開個(gè)水龍，小半把池放，果開8個(gè)龍，1小時(shí)就水水空現(xiàn)在開個(gè)龍，要少時(shí)才把放？【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】先計(jì)1個(gè)龍頭每分鐘放出水.2時(shí)半比1小半多60分多流入水4×60=240（立方米時(shí)間都用分鐘作單位個(gè)水龍頭每分鐘放水量是÷（5×8×）8（方米個(gè)龍頭1個(gè)小時(shí)放出的量是×，其中90分內(nèi)流入水量是4×90因此原來水池中存有水×90-4×90=（立方米.打開個(gè)龍頭每分鐘可以放出水8×13除每分鐘流入，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400（8×13-（分鐘.以打開13個(gè)頭，放空水池要54分鐘水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.在題目中卻是隱含著【答案】54分鐘【18有10根小同的水給、B兩水注，計(jì)用根水給水池水其6根給池水那小可時(shí)滿因發(fā)水以定速漏，以為用根進(jìn)管水注，果是時(shí)滿(1)如用根水給水

水注，要少鐘滿如增4根同樣進(jìn)管A

水仍漏，且求在水程每水的水管數(shù)保不，么把個(gè)池滿少要少鐘結(jié)四五到位【考點(diǎn)】工程問題【度4星【型】解答【解析】設(shè)每進(jìn)水管的工效為1，那么A池量為，池量為．當(dāng)用5根進(jìn)水管給B池灌水時(shí)需30÷5=6小，而在小時(shí)內(nèi)其水管給也是灌有30的，所以漏了30，因此漏水的工效為10.(1)用10根進(jìn)水管給漏池灌水那(10)2.4小144.(2)設(shè)A池根B池根():(14)2:3,所以有28化解得x所A池7根6根進(jìn)水管時(shí)對應(yīng)所需時(shí)間別：3①池用7根水時(shí)：7根水管，需時(shí)間20)小=225分：7根管，需時(shí)間小分鐘．此時(shí)要把兩個(gè)水池注滿最需要分；60②池用6根水時(shí)A6根水管，需時(shí))小

鐘8根水管，需時(shí)間30÷8=

小時(shí)分此要把兩個(gè)水池注滿最少需分所要兩個(gè)水管都注滿，最少需257分鐘，7根水管注池，根水管注B池【答案】257分8【19有項(xiàng)程甲獨(dú)需36天完，單做要天完，單做要天完．在由、、三同做在作間丙息整天而和乙直作完，后成這工也了數(shù)．么休了天【考點(diǎn)】工程問題【度3星【型】解答【解析】設(shè)甲工了天工了