振動與波動-競賽

§1.3阻尼振動和受迫振動一、阻尼振動：由于阻力作用而不斷損失能量的振動叫阻尼振動。當振子速度較小時，介質(zhì)阻力為所以振動方程為即固有角頻率阻尼系數(shù)1.當阻尼較小時，

<0，阻尼使振動頻率小于固有頻率0，xA0-A0A0e-ttO使振幅不斷減小。欠阻尼過阻尼臨界阻尼xtOA02.當阻尼過大時，

>

0，振子以非周期運動回到平衡位置。3.當阻尼使

=0時，振子剛好能做非周期運動，回到平衡位置時間最短。電流表指針止振需要這種阻尼?！鸷娮桦娭C振蕩：電能逐漸被電阻消耗而使振蕩消失。CRL二、受迫振動：對阻尼振子施加周期性外力(驅(qū)動力)，補充振子損失能量，使振子恢復等幅振動。這種振動稱為受迫振動。振動方程為其解為1.包含兩個振動，前者逐漸減弱消失，后者為振子達穩(wěn)定狀態(tài)的終解(等幅振動)。2.A

與,0,,H

有關(guān),在

<<0

情況下

=0

時,A

達極大值(共振)?！鸾涣麟娫打?qū)動的電諧振蕩CRL~二、同一直線上不同頻率簡諧振動的合成：兩矢量和在參考圓中旋轉(zhuǎn)過程中,夾角和合矢量隨時間改變，合振動不是簡諧振動。為簡單起見，設振幅相等，初相相同。所以合振動可以看成是“振幅隨時間改變的諧振動”。合振動的振幅矢量仍是勻速圓周運動，但半徑周期性變化。當兩個分振動的頻率都較大而其差較小時，合振動具有特殊的周期性。x1x2xttt因為，所以“振幅的變化”比“相位的變化”慢得多。頻率都較大但差別很小的兩個同方向振動合成時，合振動忽強忽弱的現(xiàn)象叫做拍。單位時間內(nèi)合振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻應用準確測頻率，用音叉調(diào)鋼琴三、相互垂直的同頻率振動的合成：消去t，得質(zhì)點軌道方程討論1.兩振動同相或反相則軌跡為直線，合運動為簡諧振動。2.兩振動相位差為/2，則軌跡為橢圓xyA1A2OxyA1A2OxyA1A2xyA1A2OO3.兩振動相位差為/4,3/4，則運動軌跡為橢圓，半長軸和半短軸不在坐標軸上。xyA1A2xyA1A2OOxyA1A2xyA1A2OO2–1=/4–/43

/4–3

/44.兩振動相位差為其他值時，運動軌跡仍為橢圓。四、相互垂直的不同頻率振動的合成：1.如果頻率差別很小，則近似看成同頻率振動合成，但相差緩慢變化，合運動軌跡按下面順序變化。2.如果頻率差別較大，但有簡單的整數(shù)比，則合運動具有穩(wěn)定閉合軌跡，即李薩如圖。該圖與矩形框的

x

邊和y

邊的切點數(shù)的比值等于兩方向振動周期比。Tx:Ty=1:22:33:4應用測頻率波動方程其中此微分方程的解是平面波波函數(shù)，平面簡諧波波函數(shù)是其特殊形式。任何物理量y(x,t),只要滿足上面波動方程,則這一物理量就以波的形式傳播，而且波的傳播速度可由波動方程的系數(shù)求得。固體中的橫波也滿足上述波動方程，但。同種材料的切變模量G

總小于楊氏模量E，所以同一種介質(zhì)中，橫波波速小于縱波波速。

氣體和液體沒有切應變，所以不能傳播橫波；雖然也沒有線應變，但是有體應變，所以能傳播縱波?？v波的傳播速度為，其中K

為體積模量。小結(jié)波動方程固體中縱波波速橫波波速液體氣體縱波波速§2.6駐波同一介質(zhì)中兩列頻率、振動方向、振幅都相同的簡諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時形成駐波。相加得駐波表達式x=0,y=2Acostx=

/6,y=

Acostx=

/4,y=

0x=

/3,y=

–Acost

=Acos(t

+)x=

/2,y=

–2Acost

=2Acos(t

+)

y2A–2AOx波節(jié)4波腹2.由駐波表達式得波腹波節(jié)所以相鄰兩波腹(或相鄰兩波節(jié))之間的距離為/2。討論1.駐波振幅隨x

周期性變化，同波腹內(nèi)質(zhì)元振動同相，相鄰波腹內(nèi)的質(zhì)元反相。3.駐波的平均能流密度為零。4.利用駐波可測波長：利用入射波和反射波疊加成駐波，相鄰波腹(或波節(jié))距離為半個波長。xOxL5.設入射波波函數(shù)為則由波密介質(zhì)向波疏介質(zhì)入射的反射波波函數(shù)為駐波兩種情況反射面

L

處分別為波腹和波節(jié)。若由波疏介質(zhì)向波密介質(zhì)入射，反射波波函數(shù)為(半波損失)例1(填空)長為30cm的細弦,一聲波在其中的傳播速率為157m/s。如果繩的一端固定，一端自由，則形成的駐波的頻率為

Hz；如果繩的兩端均固定，則形成的駐波的頻率為

Hz。例2平面簡諧波沿x

軸正向傳播,振幅為A,頻率為v,傳播速度為u。(1)t=0時，在原點O處的質(zhì)元由平衡位置向x

軸正向運動，寫出波函數(shù)；(2)若經(jīng)反射面反射的波的振幅和入射波振幅相等，寫出反射波波函數(shù),并求在x

軸上因兩波疊加而靜止的各點的位置。解：(1)O處質(zhì)元的振動函數(shù)(2)有半波損失，即相位突變，Ox反射面波疏波密u所以入射波的波函數(shù)為Ox反射面波疏波密u入射波和反射波疊加，此題反射點肯定是波節(jié)，另一波節(jié)與反射點相距/2，即x=/4處。已知入射波的波函數(shù)為所以反射波的波函數(shù)為§2.7多普勒效應當火車駛近時，音調(diào)變高；當其駛離時，音調(diào)變低。接收器接收到的頻率依賴于波源和接收器運動的現(xiàn)象叫多普勒效應。一、聲多普勒效應：介質(zhì)：不動，波在介質(zhì)中的傳播速度為u。波源(Source)：振動頻率為vS

。相對于介質(zhì)的運動速度為vS，當波源靠近接收器時vS>0，反之vS<0。接收器

(Receiver)：接收到頻率為vR

的波。相對于介質(zhì)的運動速度為vR，當接收器靠近波源時vR>0，反之vR<0。假設u,vS,vR

在一條直線上：uvSvRSRuvSvRSR1.vS=0,vR=0,單位時間通過接收器的完整波的個數(shù)uvR2.vS=0,vR

0,vRvRvR單位時間接收器多接收了一些完整波λλ/λ/3.vS

0,vR=0,接收器接收到的球面波是非同心的，某一時刻的波面如圖。接收器接收到的波的波長變?yōu)関S

，所以vSvS4.vS

0,vR

0,兩種機制同時存在，vSvR蝙蝠和一些鳥類利用超聲波的多普勒效應確定昆蟲的距離和飛行速度，所以能在黑暗中捕食昆蟲。海豹、海豚也能利用聲多普勒效應捕食或與同類聯(lián)系。鯨、例1一警笛發(fā)射頻率為1500Hz的聲波，并以22m/s的速度向某方向運動，一人以6m/s的速度跟蹤其后，求他聽到警笛發(fā)出聲音的頻率，以及在警笛后方空氣中聲波的波長。空氣中聲速為330m/s。解：所以人聽到聲波的頻率警笛后方空氣中聲波波長即相對于空氣靜止的觀察者聽到的聲波頻率所以空氣中聲波波長例2(習題2.27)一停在海面上的驅(qū)逐艦的聲納向一駛近的潛艇發(fā)射1.8×104Hz的超聲波。的超聲波的頻率和發(fā)射的相差220Hz，求潛艇速度。海水中聲速為1.54×103m/s。由潛艇反射回來解：設潛艇以速度向海面移動，驅(qū)逐艦發(fā)射頻率為vS

的超聲波，波速為u，則潛艇接收到的波的頻率為潛艇把這個頻率的波發(fā)射出去，驅(qū)逐艦接收到的波的頻率為二、光多普勒效應（*）：光的傳播不必需介質(zhì)；對任何慣性系，光在真空中的傳播速度相同。所以“光源向觀察者運動”和“觀察者向光源運動”是等價的，因此光多普勒效應決定于光源和觀察者的相對速度。SRθ設光源S在真空中相對于觀察者R以速度運動，與夾角θ，則其中c

為真空光速。2.時，為橫向光多普勒效應。1.時，為縱向光多普勒效應。注意橫向沒