數(shù)學(xué)史期末作業(yè)

圓面積公式的推導(dǎo)數(shù)學(xué)史12小教數(shù)學(xué)班左琴1246111062劉徽割圓術(shù)求面積法開普勒無限次分割求面積法有限次分割得到圓的面積古代求解方法探索圓面積求法的歷程卡瓦利里近代求解方法積分求面積法化圓為方蒙特卡羅算法蒙特卡羅算法

圓在生活中的應(yīng)用拓撲法

現(xiàn)在小學(xué)圓面積的教法目錄

1、歷史上求解圓的面積的方法的過程圓是最重要的曲邊圖形，古埃及人把它看成是神賜予人的神圣圖形，怎樣求圓的面積，怎樣化曲為直，以直代曲是數(shù)學(xué)對人類智慧的一次考驗。我國古代的數(shù)學(xué)家祖沖之，從圓內(nèi)接正六邊形入手，讓邊數(shù)成倍增加，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積。

古希臘的數(shù)學(xué)家，從圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數(shù)，從里外兩個方面去逼近圓面積。古印度的數(shù)學(xué)家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。眾多的古代數(shù)學(xué)家煞費苦心，巧妙構(gòu)思，為求圓面積作出了十分寶貴的貢獻。為后人解決這個問題開辟了道路。

返回①古代的求解方法：化圓為方

化圓為方問題，實際上就是用直尺圓規(guī)作出線段π的問題。標尺作圖問題曾吸引許多人研究，但無一成功。1882年法國數(shù)學(xué)家林德曼（1852－1939）證明了π是超越數(shù)，同時證明了圓為方問題是標尺作圖不可能的問題。因為十九世紀有人證明了若設(shè)任意給定長度單位，則標尺可作的線段長必為代數(shù)數(shù)

。而化圓為方問題相當(dāng)于求作長為√π的線段，但√π并非代數(shù)數(shù)，故此線段不可作。化圓為方這條路行不通，人們不得不開動腦筋，另找出路。

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②有限次分割得到圓的面積歐幾里得的《幾何原本》指出圓與圓的面積之比等于以其直徑為邊的正方形的面積之比。這一命題沒有回答如何計算圓的面積，但從命題的結(jié)論可以看出，圓的面積與直徑有關(guān)，且與直徑的平方成正比，這對進一步求圓的面積具有指引作用與啟發(fā)意義，于是人們想到既然正方形的面積容易求，只要作出一個正方形，使它的面積恰好等于圓的面積就行了，這就是“化圓為方”數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，與三等分角、倍立方一樣，要徹底地化圓為方，就得使用直線和圓以外的其他曲線，僅用直尺和圓規(guī)是不行的，在化圓為方的過程中，歐多克斯發(fā)現(xiàn)了窮竭法。這對阿基米德求圓周率有重要影響，圓周率是圓的周長和直徑之比，也是圓的面積與半徑的平方之比，因為(πr^2)’=2πr，∫故從邏輯上，圓的周長和圓的面積等價，求圓周率的方法就是求圓的面積的方法。阿基米德分別用邊數(shù)不斷增多的圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長，得到了阿基米德數(shù)22/7阿基米德又給出了圓的面積公式：圓的面積等于以圓周長為底、半徑為高的三角形面積，這就是劉徽所說的“半圓乘半徑為圓冪”。r02πxdx=πr^2返回

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽認為對圓“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”他在割圓的過程中，得到了劉徽不等式：然后采取“割之又割，以至于不可割”的方法得到圓的面積公式S=Cr。古印度的數(shù)學(xué)家采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去近似代替圓的面積，眾多古代數(shù)學(xué)家煞費苦心，巧妙構(gòu)思，為求圓的面積做出了十分寶貴的貢獻，為后人解決這個問題開辟了道路。S2n〈S〈S2n+（S2n－Sn）圖：設(shè)圓面積為S0，半徑為r，圓內(nèi)接正n邊形邊長為ln，周長為Ln，面積為Sn.將邊數(shù)加倍后，得到圓內(nèi)接正2n邊形，其邊長、周長、面積分別為l2n，L2n，S2n

劉徽認為，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形與圓是合體的極限狀態(tài)時，“則表無余徑.表無余徑，則冪不外出矣.”就是說，余徑消失了，余徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積.于是內(nèi)外兩側(cè)序列都趨向于同一數(shù)值，即，圓面積

l2n=AD=√(AC^2+CD^2)=√（1/2ln)^2+

[r-√r^2-(1/2ln)^2]^2知道了內(nèi)接正n邊形的周長Ln，又可求得正2n邊形的面積S2n=n(1/2AB*OD)=n*lnr/2=1/2Ln*r得S2n＜S0

＜S2n+（S2n﹣Sn）劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”也就是說將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當(dāng)邊數(shù)不能再加的時候，圓內(nèi)接正多邊形的面積的極限就是圓面積.劉徽考察了內(nèi)接多邊形的面積，也就是它的“冪”，同時提出了“差冪”的概念.“差冪”是后一次與前一次割圓的差值.同時，它與兩個小三角形的面積和相等.劉徽指出，在用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑.以余徑乘正多邊形的邊長，即2倍的“差冪”，加到這個正多邊形上，其面積則大于圓面積.這是圓面積的一個上界序列。

劉徽再把與圓周合體的這個正多邊形，就是不可再割的這個正多邊形，進行無窮小分割，再分割成無窮多個以圓心為頂點，以多邊形每邊為底的無窮多個小等腰角形，這個底乘半徑為小三角形面積的兩倍，把所三有這些底乘半徑加起來，應(yīng)該是圓面積的兩倍.那么就等于圓周長乘半徑等于兩個圓面積.所以一個圓面積等于半周乘半徑，所以劉徽說故半周乘半徑而為圓冪.那么他的原話就是“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍.故以半周乘半徑而為圓冪”.最后完全證明了圓面積公式.返回3、近代的求解方法：

無限次分割得到圓的面積16世紀德國天文學(xué)家開普勒，對求面積問題非常感興趣，曾進行過深入的研究!他認為古代數(shù)學(xué)家用分割法求圓的面積，所得到的結(jié)果都是近似值!為了提高近似程度，就要不斷地增加分割的次數(shù)。但是，不管分割多少次，幾千次甚至上萬次，只要是有限次，所求出來的總是圓的面積的近似值，要想求出圓的面積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形!不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形，并果敢地斷言：無窮小的扇形面積，與對應(yīng)的無窮小的三角形面積相等!圓的面積等于無窮多個小扇形面積之和，各段小弧之和就是圓的周長2πr，所以圓的面積是S=1/2(2πr)×r=πr^2開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積1615年，他將自己創(chuàng)造的這種求圓的面積的新方法，發(fā)表在《葡萄酒桶的立體幾何》中。數(shù)學(xué)家們高度評價開普勒的工作，稱贊這本書是人們創(chuàng)造求圓的面積和體積新方法的靈感源泉。開普勒的計算過程：假定把圓分為n個扇形，它們都是全等的等腰三角形．由于這些等腰三角形是來自同一個圓，因而它們的高都等于圓的半徑．當(dāng)將它們?nèi)鐖D放在一起時，就構(gòu)成了平行四邊形的樣子．一個平行四邊形的面積可由底乘以高求得，在這種情況下，底為圓周長的一半即1/2的直徑乘以π或1/2dπ=1/2*2r*π=rπ.該平行四邊形的高與等腰三角形的高一樣，即r．因而圓的面積=平行四邊形的面積=(rπ)·r＝πr^2返回初生之物，其形必陋。開普勒求面積的新方法，也引起了一些人的懷疑。如，開普勒分割出來的無窮多個小扇形，它的面積是否為零？如果為零，半徑OA和半徑OB就會重合，小扇形OAB就不存在了；如果不為零，小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等，把兩者看做相等就不對了。卡瓦利里是意大利物理學(xué)家伽利略的學(xué)生，他研究了開普勒的求圓的面積方法中存在的問題。開普勒把圓分成無窮多個小扇形，每個小扇形的面積到底是多少，就不好確定了。但是，只要小扇形還是圖形，它是可以再分的。開普勒為什么不再繼續(xù)分下去了呢？要是真的再細分下去，那分到什么程度為止呢？這些問題，使卡瓦利里陷入了沉思之中。有一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上，他靈機一動：布可以看成為面積！布是由棉線織成的，要是把布拆開的話，拆到棉線就為止了，要是把面積像布一樣拆開，拆到哪兒為止呢？應(yīng)該拆到直線為止。幾何學(xué)規(guī)定直線沒有寬度，把面積分到直線就應(yīng)該不能再分了。于是，他把不能再細分的東西叫做“不可分量”棉線是布的不可分量，直線是平面面積的不可分量?？ㄍ呃锞o緊抓住自己的想法，反復(fù)琢磨，提出了求圓的面積和體積的新方法1635年，當(dāng)《葡萄酒桶的立體幾何》問世20周年之時，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量幾何學(xué)》在這本書中，卡瓦利里把點、線、面分別看成是直線、平面、立體。不可分量，把直線看成是點的總和，把平面看成是直線的總和，把立體看成是平面的總和。卡瓦利里還根據(jù)不可分量的方法指出，兩本書的外形雖然不一樣，但是，只要頁數(shù)相同，厚薄相同，而且每一頁的面積也相等，那么，這兩本書的體積就應(yīng)該相等。他認為這個道理適用于所有的立體，并且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的“卡瓦利里原理”事實上，我國數(shù)學(xué)家祖暅最先提出這個原理，比卡瓦利里早1000多年，所以又稱之為“祖暅原理”。返回

首先要用到拓撲等價原則，這是比較容易理解的拓撲性質(zhì)。在拓撲學(xué)里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，他們都是等價圖形。換句話講，就是從拓撲學(xué)的角度看，他們是完全一樣的。在一個球面上任選一點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成很多塊，在拓撲變換下，點、線、塊的數(shù)目和原來的數(shù)目是一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲線只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。拓撲法返回

4、近代的求解方法：①卡瓦利里原理降格成了定理當(dāng)微積分成熟之后，卡瓦利里原理降格成了一個定理。求圓的面積、甚至不規(guī)則圖形的面積可以程序化地操作（如下圖）。分割求和局部近似取極限整體近似精確值積分求圓面積只需要求四分之一個圓就行，如下圖，只需要求第一象限的面積，然后乘以4就可以了。如下圖，對于半徑為R的圓，分割成無數(shù)個微元，陰影部分那個微元的微面積是dS=xdx

xyxydxx所以圓的面積是S（圓）=4S=πR^2返回

②一種求圓的面積的另類方法：蒙特卡羅算法蒙特卡羅算法是以概率和統(tǒng)計方法為基礎(chǔ)的一種計算方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。它的基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)以及管理等方面的問題，首先建立一個概率模型或隨機過程，求它們的參數(shù)，如概率分布或數(shù)學(xué)期望等問題的解；然后通過對模型或過程的觀察或抽樣試驗來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征，并用算術(shù)平均值作為所求解的近似值。對于隨機性問題，有時還可以根據(jù)實際物理背景的概率法則，用電子計算機直接進行抽樣試驗，從而求得問題的解答。這也就是MC算法的基本運用路線。比如，已知直徑，要求一個圓的面積。蒙特卡羅算法可以這樣做：設(shè)圓的半徑是r，作圓的外切正方形，顯然正方形的面積是S1=4r^2.然后在這個正方形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生大量的隨機點，記錄下總點數(shù)N和落在圓中的點數(shù)M，就可以得到圓的面積近似值S=M/N×S1，當(dāng)N足夠大時，近似值就會滿足精度要求。返回

現(xiàn)在的教法：把圓平均分成若干份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等于圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）的平方乘以周長C，S=πr×r。

返回圓在生活中的應(yīng)用：草原上的蒙古包是圓形的蒙古包為天穹式，呈圓形，木架外邊用白羊毛氈覆蓋。因為它是圓形的，所以立在草原上，大風(fēng)雪中阻力小，再大的地震中也不會變形，頂上又不積雨雪，寒氣不易侵入，是非常安全的住所。大多數(shù)植物的根和莖的橫截面是圓形的，因為在周長相等的情況下，圍成圓的面積最大，所以絕大多數(shù)植物的根和芝的橫面的圓形的，這使收水分和養(yǎng)料的面積更大。

用最小的材料得到最大的表面積。植物就能更多地吸取養(yǎng)分。下水道陰井蓋子，也是圓的。1.是掉不下去。2.是相同材料，做的面積最大。（水每秒通過速度也最大）3.隨便哪個角度都能放好。

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