matlab-線性控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

第3

章

線性控制系統(tǒng)的數(shù)學模型薛定宇著《控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用》第二版，清華大學出版社2006CAI課件開發(fā)：張望舒哈爾濱工程大學薛定宇東北大學2/4/20231控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學模型系統(tǒng)設計必須已知數(shù)學模型本課程數(shù)學模型是基礎系統(tǒng)數(shù)學模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學推導的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型辨識方法：由實驗數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學模型2/4/20232控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統(tǒng)數(shù)學模型的分類系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時變2/4/20233控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用主要內容線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型與MATLAB表示線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡系統(tǒng)模型的相互轉換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識本章要點簡介2/4/20234控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學

模型與MATLAB表示3.1.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型3.1.2線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型3.1.3線性系統(tǒng)的零極點模型3.1.4多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣模型2/4/20235控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學模型及MATLAB表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為階次，為常數(shù)，物理可實現(xiàn)2/4/20236控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數(shù)的引入

Pierre-SimonLaplace

(1749--1827)，法國數(shù)學家

Laplace變換Laplace變換的一條重要性質：若則2/4/20237控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數(shù)表示數(shù)學方式MATLAB輸入語句2/4/20238控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數(shù)輸入舉例例3-1輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語句在MATLAB環(huán)境中建立一個變量G2/4/20239控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用另外一種傳遞函數(shù)輸入方法例3-2如何處理如下的傳遞函數(shù)？定義算子，再輸入傳遞函數(shù)2/4/202310控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用應該根據(jù)給出傳遞函數(shù)形式選擇輸入方法例3-3輸入混合運算的傳遞函數(shù)模型顯然用第一種方法麻煩，所以2/4/202311控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB的傳遞函數(shù)對象2/4/202312控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數(shù)屬性修改例3-4延遲傳遞函數(shù)，即若假設復域變量為，則2/4/202313控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用傳遞函數(shù)參數(shù)提取由于使用單元數(shù)組，直接用不行有兩種方法可以提取參數(shù)這樣定義的優(yōu)點：可以直接描述多變量系統(tǒng)第i輸入對第j輸入的傳遞函數(shù)2/4/202314控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型狀態(tài)方程模型狀態(tài)變量，階次n

，輸入和輸出非線性函數(shù)：一般非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述2/4/202315控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用線性狀態(tài)方程時變模型線性時不變模型(lineartimeinvariant,LTI)2/4/202316控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用線性時不變模型的MATLAB描述MATLAB輸入方法矩陣是

方陣，為矩陣為矩陣，為矩陣可以直接處理多變量模型給出矩陣即可注意維數(shù)的兼容性2/4/202317控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-52/4/202318控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用帶時間延遲的狀態(tài)方程數(shù)學模型MATLAB輸入語句其他延遲屬性：ioDelay2/4/202319控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.3線性系統(tǒng)的零極點模型零極點模型是因式型傳遞函數(shù)模型零點、極點和增益零極點模型的

MATLAB表示2/4/202320控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-5零極點模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法2/4/202321控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.1.4多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型傳遞函數(shù)矩陣為第i輸出對第j輸入的傳遞函數(shù)可以先定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義2/4/202322控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-7多變量模型2/4/202323控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型單變量系統(tǒng)：差分方程取代微分方程主要內容離散傳遞函數(shù)離散狀態(tài)方程2/4/202324控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2.1離散傳遞函數(shù)模型數(shù)學表示（Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期）算子輸入方法：2/4/202325控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-8離散傳遞函數(shù)，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法2/4/202326控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散延遲系統(tǒng)與輸入數(shù)學模型延遲為采樣周期的整數(shù)倍MATLAB輸入方法2/4/202327控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記，則2/4/202328控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB表示方法例3-92/4/202329控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.2.2離散狀態(tài)方程模型數(shù)學形式注意兼容性MATLAB表示方法2/4/202330控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散延遲系統(tǒng)的狀態(tài)方程數(shù)學模型MATLAB表示方法2/4/202331控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3方框圖描述系統(tǒng)的化簡單環(huán)節(jié)模型前面已經(jīng)介紹了實際系統(tǒng)為多個環(huán)節(jié)互連如何解決互連問題，獲得等效模型？主要內容控制系統(tǒng)的典型連接結構節(jié)點移動時的等效變換復雜系統(tǒng)模型的簡化2/4/202332控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3.1控制系統(tǒng)的典型連接結構系統(tǒng)串、并聯(lián)串聯(lián)傳遞函數(shù)并聯(lián)傳遞函數(shù)2/4/202333控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用串、并聯(lián)狀態(tài)方程模型串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程2/4/202334控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用串、并聯(lián)系統(tǒng)的MATLAB求解若一個模型為傳遞函數(shù)、另一個為狀態(tài)方程，如何處理？將二者變換成同樣結構再計算基于MATLAB的計算方法串聯(lián)注意次序：多變量系統(tǒng)并聯(lián)優(yōu)點，無需實現(xiàn)轉換2/4/202335控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統(tǒng)的反饋連接反饋連接正反饋負反饋2/4/202336控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用狀態(tài)方程的反饋等效方法其中若2/4/202337控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用反饋連接的MATLAB求解LTI模型符號運算(置于@sym目錄)2/4/202338控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-102/4/202339控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-11控制器為對角矩陣2/4/2023403.3.2節(jié)點移動時的等效變換考慮模型難點：A點在回路間，移至輸出端2/4/202341控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用節(jié)點移動2/4/202342控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.3.3復雜系統(tǒng)模型的簡化例3-12原系統(tǒng)可以移動新支路模型2/4/202343控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出2/4/202344控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-13電機拖動模型

2/4/202345控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用信號單獨輸入得出另一個傳遞函數(shù)2/4/202346控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用最終得出傳遞函數(shù)矩陣2/4/202347控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4系統(tǒng)模型的相互轉換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內容連續(xù)模型和離散模型的相互轉換系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現(xiàn)狀態(tài)方程的最小實現(xiàn)傳遞函數(shù)與符號表達式的相互轉換2/4/202348控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.1連續(xù)模型和離散模型的相互轉換連續(xù)狀態(tài)方程的解析階采樣周期選擇2/4/202349控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態(tài)方程模型MATLAB函數(shù)直接求解2/4/202350控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14雙輸入模型，2/4/202351控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用輸入模型、變換模型2/4/202352控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-15時間延遲系統(tǒng)的離散化MATLAB求解零階保持器變換變換結果2/4/202353控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Tustin變換數(shù)學表示其他轉換方法FOH一階保持器matched單變量系統(tǒng)零極點不變imp脈沖響應不變準則2/4/202354控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用離散模型連續(xù)化對前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解(無需)2/4/202355控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-16對前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對結果再連續(xù)化，則

可以基本上還原連續(xù)模型2/4/202356控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則2/4/202357控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用因此可以得出傳遞函數(shù)難點基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結果由零極點模型，直接展開分子分母用MATLAB統(tǒng)一求解2/4/202358控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-17多變量模型，求傳遞函數(shù)矩陣2/4/202359控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.3控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現(xiàn)由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉換不同狀態(tài)變量選擇，結果不唯一默認變換方式，采用MATLAB函數(shù)G可以是傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程和零極點模型適用于有延遲的、離散的或多變量模型2/4/202360控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-18連續(xù)多變量模型狀態(tài)方程獲取2/4/202361控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出的狀態(tài)方程模型ioDelay矩陣2/4/202362控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用該模型可以轉換回傳遞函數(shù)矩陣得出的轉換結果2/4/202363控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用均衡實現(xiàn)（banlancedrealization）由一般狀態(tài)方程輸入輸出關系顯著程度不明顯，需要進一步變換均衡實現(xiàn)是一種很有用的方式用MATLAB直接求解得出均衡實現(xiàn)的模型得出排序的Gram矩陣2/4/202364控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例原系統(tǒng)模型引入(內部坐標變換)2/4/202365控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.4狀態(tài)方程的最小實現(xiàn)例3-19觀察傳遞函數(shù)模型未見有何特殊求取零極點模型2/4/202366控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出結果相同位置的零極點，可以對消問題：狀態(tài)方程如何處理？MATLAB解決方法2/4/202367控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-20多變量模型不能直接看出是否最小實現(xiàn)2/4/202368控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解2/4/202369控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.4.5傳遞函數(shù)與符號表達式

的相互轉換傳遞函數(shù)到符號表達式表達式到傳遞函數(shù)置于@sym目錄下2/4/202370控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5線性系統(tǒng)模型降階用低階模型近似高階模型和最小實現(xiàn)不同最早由EdwardJ.Davison提出(1966)主要內容與Routh算法時間延遲模型的近似帶有延遲的最優(yōu)降階算法狀態(tài)空間的降階算法2/4/202371控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.1降階算法

與Routh

降階算法原始模型尋求降階模型假設2/4/202372控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用展開原模型其中時間矩量可以遞推求出若已知狀態(tài)方程模型2/4/202373控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用時間矩量的MATLAB求解降階思想：保留前時間矩量2/4/202374控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用對比系數(shù)，則2/4/202375控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用這樣可以得出2/4/202376控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用降階求解函數(shù)2/4/202377控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-21原始模型Padé

近似結果2/4/202378控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-22反例零極點模型求取穩(wěn)定模型2/4/202379控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Padé

近似不穩(wěn)定降階模型Padé

不能保證降階模型的穩(wěn)定性不穩(wěn)定降階模型可能得出穩(wěn)定降階模型2/4/202380控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Routh

降階方法與實例Routh算法（較煩瑣，從略）2/4/202381控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用Routh算法的最大特色：穩(wěn)定系統(tǒng)降階后能保證降階模型穩(wěn)定性例3-23仍考慮穩(wěn)定模型2/4/202382控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.3時間延遲模型的Padé

近似純延遲的Padé近似方法近似函數(shù)純滯后逼近2/4/202383控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用編寫MATLAB函數(shù)其中r/m任意選擇可以選擇0/m，以避免非最小相位模型2/4/202384控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-24純延遲模型MATLAB求解擬合結果2/4/202385控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-25已知帶有延遲的線性模型可以得出近似模型2/4/202386控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.4帶有時間延遲系統(tǒng)的

次最優(yōu)降階算法降階模型的降階效果誤差定義ISE準則2/4/202387控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用原模型降階模型降階誤差定義2/4/202388控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用參數(shù)向量誤差MATLAB實現(xiàn)（從略）調用格式2/4/202389控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-26對給出的傳遞函數(shù)進行降階研究可以給出下面的語句得出的降階模型為2/4/202390控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-27已知高階模型可以給出如下命令得出的降階模型2/4/202391控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.5.4狀態(tài)方程模型的降階算法均衡實現(xiàn)模型的降階算法2/4/202392控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解函數(shù)例3-282/4/202393控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于Schur

均衡實現(xiàn)模型的降階算法MATLAB求解函數(shù)例3-29高階傳遞函數(shù)思路：先轉換成狀態(tài)方程，再降階2/4/202394控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用模型輸入與降階Schur

降階模型2/4/202395控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用最優(yōu)Hankel

范數(shù)的降階模型近似MATLAB求解函數(shù)例3-30仍采用前面模型2/4/202396控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用降階算法綜述狀態(tài)方程方法不能任意選擇分母分子階次，而很多傳遞函數(shù)方法可以降階效果比較，下章給出時域響應比較頻域響應比較降階模型的應用仿真應用（用途越來越小）控制器設計應用2/4/202397控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6線性系統(tǒng)的模型辨識模型辨識由已知實測數(shù)據(jù)獲得系統(tǒng)模型的方法實測數(shù)據(jù)時域響應數(shù)據(jù)、頻率響應數(shù)據(jù)主要內容離散系統(tǒng)辨識方法辨識信號生成多變量系統(tǒng)辨識離散系統(tǒng)在線辨識2/4/202398控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.1離散系統(tǒng)的模型辨識離散傳遞函數(shù)模型對應的差分方程模型2/4/202399控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用已知實測信號輸入輸出由數(shù)據(jù)可以得出2/4/2023100控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用矩陣形式定義殘差最小指標最小二乘解2/4/2023101控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用系統(tǒng)辨識工具箱求解T為結構體變量，T.a,T.b,tf(T)當然由前面的公式也能直接求解2/4/2023102控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-31實測數(shù)據(jù)2/4/2023103控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用基于MATLAB的求解2/4/2023104控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用數(shù)學形式辨識模型的提取還可以寫成2/4/2023105控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用還可以由下面語句求解辨識結果2/4/2023106控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用直接辨識方法辨識結果辨識界面：ident2/4/2023107控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.2離散系統(tǒng)辨識信號的生成問題：什么樣信號激勵系統(tǒng)，辨識效果最好？有豐富頻率信息的信號最好，如PRBS偽隨機二進制序列pseudo-randombinarysequence頻率豐富值為可重復構建MATLAB直接生成2/4/2023108控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用例3-32生成63個點的PRBS信號辨識效果殘差明顯減小2/4/2023109控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用連續(xù)系統(tǒng)的辨識可以考慮的方法連續(xù)頻率擬合方法，不惟一離散方法，再轉換成連續(xù)模型例3-332/4/2023110控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用正弦信號激勵辨識結果問題原因：輸入頻率單一2/4/2023111控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.3多變量離散系統(tǒng)的辨識離散傳遞函數(shù)矩陣模型其中例3-342/4/2023112控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用MATLAB求解2/4/2023113控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用得出的高階模型應該最小實現(xiàn)辨識結果2/4/2023114控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用3.6.4離散系統(tǒng)的遞推最小二乘辨識在系統(tǒng)運行過程中實時獲取系統(tǒng)參數(shù)，而不是象前面介紹的方法那樣一次性獲得模型，適合于變參數(shù)模型的實時控制廣泛應用于自適應控制漸近地逼近參數(shù)真值這里介紹算法，仿真研究將在后面介紹2/4/2023115控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用遞推最小二乘辨識傳遞函數(shù)模型差分方程模型待辨識參數(shù)2/4/2023116控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語言與應用遞推初值和加權矩陣輸入輸出數(shù)據(jù)向量遞推公式2/4/2023117控制系統(tǒng)計算機輔助設計---MATLAB語