Linear System Theory-Lec 5-1-第五章-系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

1LinearSystemTheory

Lecture6北京交通大學(xué)先進(jìn)控制系統(tǒng)研究所張嚴(yán)心講授電話：51683974辦公室：9號(hào)樓西503xxxtll2015zyx@126.com密碼：xxxtll2015第五章系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性Lyapunov意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性（針對(duì)一般非線性系統(tǒng)）線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系為什么要研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題概述一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ?。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動(dòng)地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱(chēng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問(wèn)題。在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性,未研究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)。對(duì)于非線性或時(shí)變系統(tǒng),雖然通過(guò)一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應(yīng)用,但是難以勝任一般系統(tǒng)。Lyapunov穩(wěn)定性定理控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。經(jīng)典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性

。內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。本節(jié)討論的Lyapunov穩(wěn)定性即為內(nèi)部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。1892年,俄國(guó)學(xué)者Lyapunov發(fā)表題為“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題”的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。Lyapunov理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學(xué)、力學(xué)、控制理論、機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Lyapunov把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類(lèi)。第一類(lèi)方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過(guò)討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點(diǎn))分布及穩(wěn)定性來(lái)討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這是一種較簡(jiǎn)捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱(chēng)為間接法,亦稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov第一法。第二類(lèi)方法不是通過(guò)解方程或求系統(tǒng)特征值來(lái)判別穩(wěn)定性,而是通過(guò)定義一個(gè)叫做Lyapunov函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱(chēng)為直接法,亦稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov第二法。5.1Lyapunov穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征，不隨系統(tǒng)變換而改變,可通過(guò)系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。在經(jīng)典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產(chǎn)生有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問(wèn)題。從經(jīng)典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動(dòng)都無(wú)關(guān),而非線性系統(tǒng)則不然。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)系統(tǒng)的平衡態(tài)而言,我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。對(duì)于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所以只有對(duì)線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。Lyapunov穩(wěn)定性理論討論的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問(wèn)題。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論,不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。首先討論Lyapunov穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)--Lyapunov穩(wěn)定性定義。5.1.1系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與平衡點(diǎn)沒(méi)有外輸入作用時(shí)的系統(tǒng)通常稱(chēng)這類(lèi)系統(tǒng)為自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述：其中，x為

維狀態(tài)向量；f(…)為n維向量函數(shù)。系統(tǒng)為線性由初始狀態(tài)x0所引起的運(yùn)動(dòng)為稱(chēng)其為系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng),如果存在

某個(gè)狀態(tài)

，滿足

則稱(chēng)為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)或平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)即是系統(tǒng)方程的常數(shù)解，或系統(tǒng)的一種靜止的運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)也可有非零平衡狀態(tài)。

對(duì)于孤立平衡狀態(tài)，總是可以通過(guò)移動(dòng)坐標(biāo)系而將其轉(zhuǎn)換為空間的原點(diǎn)，所以在許多情形下常可以假定平衡狀態(tài)

為原點(diǎn)。由于非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性具有局部性特點(diǎn),因此在討論穩(wěn)定性時(shí),通常還要確定平衡態(tài)的穩(wěn)定鄰域(區(qū)域)。例1

定常線性系統(tǒng)容易求得其平衡點(diǎn)集為從定義可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)向量為零向量的點(diǎn)(狀態(tài))。由于導(dǎo)數(shù)表示的狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),如右圖所示。Lyapunov穩(wěn)定性研究的平衡態(tài)附近(鄰域)的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題。若平衡態(tài)附近某充分小鄰域內(nèi)所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)最后都趨于該平衡態(tài),則稱(chēng)該平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;若發(fā)散掉則稱(chēng)為不穩(wěn)定的,若能維持在平衡態(tài)附近某個(gè)鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)變化則稱(chēng)為穩(wěn)定的,如圖所示。顯然,對(duì)于線性定常系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當(dāng)矩陣A為非奇異時(shí),線性系統(tǒng)只有一個(gè)孤立的平衡態(tài)xe=0;而當(dāng)A為奇異時(shí),則存在無(wú)限多個(gè)平衡態(tài),且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài),而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個(gè)子空間。對(duì)于非線性系統(tǒng),通常可有一個(gè)或幾個(gè)孤立平衡態(tài),它們分別為對(duì)應(yīng)于式f(x,t)0的常值解。例如,對(duì)于非線性系統(tǒng)其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組的解,即下述狀態(tài)空間中的三個(gè)狀態(tài)為其孤立平衡態(tài)。5.1.2Lyapunov意義下的穩(wěn)定性先引入如下幾個(gè)數(shù)學(xué)名詞和符號(hào)：范數(shù)球域然后介紹Lyapunov意義下的穩(wěn)定性的定義。范數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為度量n維空間中的點(diǎn)之間的距離。對(duì)n維空間中任意兩點(diǎn)x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應(yīng)有各種具體范數(shù)的定義。在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。2)

球域以n維空間中的點(diǎn)xe為中心,在所定義的范數(shù)度量意義下的長(zhǎng)度為半徑內(nèi)的各點(diǎn)所組成空間體稱(chēng)為球域,記為S(xe,),即S(xe,)包含滿足||x-xe||的n維空間中的各點(diǎn)x。5.1.2

Lyapunov意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性定義所謂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個(gè)有限鄰域內(nèi)。

注1：穩(wěn)定性不是直接對(duì)系統(tǒng)而言的，而是針對(duì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的。對(duì)一般的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，“系統(tǒng)穩(wěn)定與否”是沒(méi)有意義的。注2：穩(wěn)定性定義中的初始時(shí)刻---一致性問(wèn)題

穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性以至于全局漸近穩(wěn)定性的定義都與初始時(shí)刻有關(guān)。同一系統(tǒng)不同起始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)完全可能有著不同的穩(wěn)定性。初始時(shí)刻的影響決定了穩(wěn)定性是否一致的問(wèn)題。注3：穩(wěn)定性定義中的吸收域定義中表征了穩(wěn)定平衡狀態(tài)所允許的初值擾動(dòng)范圍，稱(chēng)為平衡狀態(tài)的吸收域。它決定了穩(wěn)定的全局性和局部性。Lyapunov第一法又稱(chēng)間接法,它是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一次近似數(shù)學(xué)模型(線性化模型)穩(wěn)定性的方法。它的基本思路是:首先,對(duì)于非線性系統(tǒng),可先將非線性狀態(tài)方程在平衡態(tài)附近進(jìn)行線性化,即在平衡態(tài)求其一次Taylor展開(kāi)式,然后利用這一次展開(kāi)式表示的線性化方程去分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。其次,解出線性化狀態(tài)方程組或線性狀態(tài)方程組的特征值,然后根據(jù)全部特征值在復(fù)平面上的分布情況來(lái)判定系統(tǒng)在零輸入情況下的穩(wěn)定性。下面將討論Lyapunov第一法的結(jié)論以及在判定系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性中的應(yīng)用。設(shè)所討論的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x)其中f(x)為與狀態(tài)向量x同維的關(guān)于x的非線性向量函數(shù),其各元素對(duì)x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。欲討論系統(tǒng)在平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性,先必須將非線性向量函數(shù)f(x)在平衡態(tài)附近展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù),即有其中A為nn維的向量函數(shù)f(x)與x間的雅可比矩陣;R(x-xe)為T(mén)aylor展開(kāi)式中包含x-xe的二次及二次以上的余項(xiàng)。雅可比矩陣A定義為如果用該一次近似式來(lái)表達(dá)原非線性方程的近似動(dòng)態(tài)方程,可得如下線性化的狀態(tài)方程:x’=A(x-xe)由于對(duì)如上式所示的狀態(tài)方程總可以通過(guò)n維狀態(tài)空間中的坐標(biāo)平移,將平衡態(tài)xe移到原點(diǎn)。因此,上式又可轉(zhuǎn)換成如下原點(diǎn)平衡態(tài)的線性狀態(tài)方程:x’=Ax判別非線性系統(tǒng)平衡態(tài)xe穩(wěn)定性的Lyapunov第一法的思想即為:通過(guò)線性化,將討論非線性系統(tǒng)平衡態(tài)穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換到討論線性系統(tǒng)x’=Ax的穩(wěn)定性問(wèn)題。Lyapunov第一法的基本結(jié)論是:1.若線性化系統(tǒng)的狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階項(xiàng)R(x)無(wú)關(guān)。2.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定,而且該平衡態(tài)的穩(wěn)定性與高階項(xiàng)R(x)無(wú)關(guān)。3.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A除有實(shí)部為零的特征值外,其余特征值都具有負(fù)實(shí)部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性由高階項(xiàng)R(x)決定。由上述Lyapunov第一法的結(jié)論可知,該方法與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性判據(jù)的思路一致,需求解線性化狀態(tài)方程或線性狀態(tài)方程的特征值,根據(jù)特征值在復(fù)平面的分布來(lái)分析穩(wěn)定性。值得指出的區(qū)別是:經(jīng)典控制理論討論的是輸出穩(wěn)定性問(wèn)題,而Lyapunov方法討論狀態(tài)穩(wěn)定性問(wèn)題。由于Lyapunov第一法需要求解線性化后系統(tǒng)的特征值,因此該方法也僅能適用于非線性定常系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng),而不能推廣至?xí)r變系統(tǒng)。試確定系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。解：由狀態(tài)方程知,原點(diǎn)為該系統(tǒng)的平衡態(tài)。將系統(tǒng)在原點(diǎn)處線性化,則系統(tǒng)矩陣為例

某裝置的動(dòng)力學(xué)特性用下列常微分方程組來(lái)描述:因此,系統(tǒng)的特征方程為|I-A|=2+K1+K2=0Lyapunov第二法由Lyapunov第一法的結(jié)論可知,該方法能解決部分弱非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定問(wèn)題,但對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定則無(wú)能為力,而且該方法不易推廣到時(shí)變系統(tǒng)。下面我們討論對(duì)所有動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的穩(wěn)定性分析都適用的Lyapunov第二法。Lyapunov第二法又稱(chēng)為直接法。它是在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)經(jīng)激勵(lì)后,其儲(chǔ)存的能量將隨著時(shí)間推移而衰減。當(dāng)趨于平衡態(tài)時(shí),其能量達(dá)到最小值。反之,若平衡態(tài)不穩(wěn)定,則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量,其儲(chǔ)存的能量將越來(lái)越大?；谶@樣的觀點(diǎn),只要能找出一個(gè)能合理描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù),通過(guò)考察該函數(shù)隨時(shí)間推移是否衰減,就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。下面是幾個(gè)在由變量x1和x2組成的2維線性空間中的正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)等的例子。1)正定函數(shù)2)負(fù)定函數(shù)3)非負(fù)定函數(shù)4)非正定函數(shù)5)不定函數(shù)Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義右圖所示動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)。對(duì)該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動(dòng)能+勢(shì)能)函數(shù)如下:其中x為位移,x’為速度,兩者且選為狀態(tài)變量。在圖中所示狀態(tài),v=-x’,由牛頓第二定律可知,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程:m(-x’’)=mgcos-fmgsin其中f為摩擦阻尼系數(shù)。因此,有mx’’=-mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(shì)(導(dǎo)數(shù))為V’=mx’x’’+mgx’cos=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos

=mgx’fsinLyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義當(dāng)取值為[0,90],由于v的方向與x相反，x’為負(fù),因此上式恒小于零。即漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),其正定的能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(變化趨勢(shì))為負(fù)。對(duì)小球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)亦可作同樣分析。從直觀物理意義的角度,也非常易于理解。由于物體運(yùn)動(dòng)所受到的摩擦力作負(fù)功,由能量守恒定律可知,物體的能量將隨物體運(yùn)動(dòng)減少,即其導(dǎo)數(shù)(變化趨勢(shì))為負(fù)。Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義再如右圖所示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),其平衡態(tài)在一定范圍內(nèi)為不穩(wěn)定的平衡態(tài)。對(duì)該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動(dòng)能+勢(shì)能)函數(shù)如下:Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義由牛頓第二定律可知,其運(yùn)動(dòng)滿足如下方程:ma=mgcos-fmgsin因此,有mx’’=mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(shì)(導(dǎo)數(shù))為L(zhǎng)yapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義V’=mx’x’’-mgx’cos=mgx’(cos-fsin)-mgx’cos=-mgx’fsin當(dāng)取值為[0,90],由于x