《電路》邱關(guān)源g(第五版)第14章

第14章線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析14.1拉普拉斯變換的定義14.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)14.4運(yùn)算電路14.5用拉普拉斯變換法分析線性電路14.6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)14.8極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)14.9極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng)首頁(yè)本章重點(diǎn)重點(diǎn)

(1)拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)

(2)掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟(3)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)返回拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。14.1

拉普拉斯變換的定義1.拉氏變換法下頁(yè)上頁(yè)返回例一些常用的變換對(duì)數(shù)變換乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算相量法時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))對(duì)應(yīng)f(t)(時(shí)域原函數(shù))下頁(yè)上頁(yè)返回2.拉氏變換的定義定義[0,∞)區(qū)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s

復(fù)頻率下頁(yè)上頁(yè)返回積分下限從0

開(kāi)始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+

開(kāi)始，稱為0

+

拉氏變換。積分域注意今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區(qū)間

f(t)=(t)時(shí)此項(xiàng)

0象函數(shù)F(s)

存在的條件：下頁(yè)上頁(yè)返回如果存在有限常數(shù)M和c

使函數(shù)f(t)

滿足：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s

值使上式積分為有限值。下頁(yè)上頁(yè)象函數(shù)F(s)

用大寫字母表示,如I(s)，U(s)原函數(shù)f(t)

用小寫字母表示，如i(t),

u(t)返回3.典型函數(shù)的拉氏變換(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)返回(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)返回14.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)證返回例1解例2解根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回2.微分性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)證若足夠大0返回例解下頁(yè)上頁(yè)利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)返回推廣：解下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)3.積分性質(zhì)證應(yīng)用微分性質(zhì)0返回下頁(yè)上頁(yè)例解返回4.延遲性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)證返回例1求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)1Ttf(t)o返回求周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f1(t)為一個(gè)周期的函數(shù)例2解下頁(yè)上頁(yè)...tf(t)1T/2To返回下頁(yè)上頁(yè)對(duì)于本題脈沖序列返回14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)(3)把F(s)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合部分分式展開(kāi)法返回利用部分分式可將F(s)分解為：下頁(yè)上頁(yè)象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論返回待定常數(shù)的確定：方法1下頁(yè)上頁(yè)方法2求極限的方法令s=p1返回下頁(yè)上頁(yè)例解法1返回解法2下頁(yè)上頁(yè)原函數(shù)的一般形式返回下頁(yè)上頁(yè)K1、K2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)注意返回下頁(yè)上頁(yè)返回例解下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)返回例解下頁(yè)上頁(yè)返回

n=m

時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和由F(s)求f(t)

的步驟：求真分式分母的根，將真分式展開(kāi)成部分分式求各部分分式的系數(shù)

對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回例解下頁(yè)上頁(yè)返回14.4運(yùn)算電路基爾霍夫定律的時(shí)域表示：1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式下頁(yè)上頁(yè)根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式對(duì)任一結(jié)點(diǎn)對(duì)任一回路返回u=Ri2.電路元件的運(yùn)算形式電阻R的運(yùn)算形式取拉氏變換電阻的運(yùn)算電路下頁(yè)上頁(yè)uR(t)i(t)R+-時(shí)域形式：R+-返回電感L的運(yùn)算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運(yùn)算電路下頁(yè)上頁(yè)i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-時(shí)域形式：sL+U(s)I(s)

-返回電容C的運(yùn)算形式C的運(yùn)算電路下頁(yè)上頁(yè)i(t)+

u(t)

-C時(shí)域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+

-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)

-返回耦合電感的運(yùn)算形式下頁(yè)上頁(yè)i1**L1L2+_u1+_u2i2M時(shí)域形式：取拉氏變換,由微分性質(zhì)得互感運(yùn)算阻抗返回耦合電感的運(yùn)算電路下頁(yè)上頁(yè)+-+sL2+sM++sL1-----+返回受控源的運(yùn)算形式受控源的運(yùn)算電路下頁(yè)上頁(yè)時(shí)域形式：取拉氏變換b

i1+_u2i2_u1i1+R+__+R返回3.RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式下頁(yè)上頁(yè)u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)時(shí)域電路拉氏變換運(yùn)算電路運(yùn)算阻抗返回下頁(yè)上頁(yè)運(yùn)算形式的歐姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏變換返回下頁(yè)上頁(yè)+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返回電壓、電流用象函數(shù)形式；

元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示；電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下頁(yè)上頁(yè)電路的運(yùn)算形式小結(jié)例給出圖示電路的運(yùn)算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0時(shí)開(kāi)關(guān)打開(kāi)uc(0-)=25ViL(0-)=5A時(shí)域電路返回注意附加電源下頁(yè)上頁(yè)1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-++-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t>0

運(yùn)算電路返回14.5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路由換路前的電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)

；畫運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用；應(yīng)用前面各章介紹的各種計(jì)算方法求象函數(shù)；反變換求原函數(shù)。下頁(yè)上頁(yè)1.運(yùn)算法的計(jì)算步驟返回例1(2)

畫運(yùn)算電路解(1)

計(jì)算初值下頁(yè)上頁(yè)電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回(3)

應(yīng)用回路電流法下頁(yè)上頁(yè)1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回下頁(yè)上頁(yè)(4)反變換求原函數(shù)返回下頁(yè)上頁(yè)例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運(yùn)算電路1/sC+Uc(s)R返回下頁(yè)上頁(yè)1/sC+Uc(s)R返回t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)

,求電感電流和電壓。例3下頁(yè)上頁(yè)解計(jì)算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運(yùn)算電路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回下頁(yè)上頁(yè)10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23注意返回UL1(s)下頁(yè)上頁(yè)10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回3.75ti1520下頁(yè)上頁(yè)uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返回下頁(yè)上頁(yè)注意由于拉氏變換中用0-初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中，故不需先求t=0+時(shí)的躍變值。兩個(gè)電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個(gè)回路中無(wú)沖擊電壓。滿足磁鏈?zhǔn)睾?。返回下?yè)上頁(yè)返回14.6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。下頁(yè)上頁(yè)返回

零狀態(tài)電路在單一電源作用下，其響應(yīng)r(t)的象函數(shù)R(s)與激勵(lì)e(t)的象函數(shù)E(s)之比，定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。

)()()(SESRsH=零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)由于激勵(lì)E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下頁(yè)上頁(yè)注意返回1.策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)（驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)）策動(dòng)點(diǎn)阻抗策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納2.轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù))轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比U2(s)零狀態(tài)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)I2(s)U1(s)I1(s)零狀態(tài)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)U(s)I(s)*網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式下頁(yè)上頁(yè)注意若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng)h(t)。返回意義:若e(t)=(t),E(s)

=1，則R(s)=H(s)即：對(duì)于零狀態(tài)下的電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)為此電路的沖激響應(yīng)。)(th)(L1sH-=)(L1sR-=零狀態(tài)(t)h(t)e(t)r(t)例下頁(yè)上頁(yè)1/4F2H2i(t)u1++--u21解畫運(yùn)算電路返回2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2++--1返回例下頁(yè)上頁(yè)解畫運(yùn)算電路電路激勵(lì)為，求沖激響應(yīng)GC+ucissC+Uc(s)G返回下頁(yè)上頁(yè)3.應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)結(jié)論可以通過(guò)求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。

返回K1=3,K2=-3例解下頁(yè)上頁(yè)圖示電路

，沖激響應(yīng)，求uC(t)。線性無(wú)源電阻網(wǎng)絡(luò)+-usCuc+-返回14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)1.極點(diǎn)和零點(diǎn)下頁(yè)上頁(yè)當(dāng)

s=zi

時(shí)，H(s)=0，

稱

zi

為零點(diǎn)，zi

為重根，稱為重零點(diǎn)；當(dāng)

s=pj

時(shí)，H(s)∞，

稱

pj

為極點(diǎn)，pj

為重根，稱為重極點(diǎn)；返回2.復(fù)平面（或s平面）在復(fù)平面上把H(s)的極點(diǎn)用‘’表示，零點(diǎn)用‘o’表示。零、極點(diǎn)分布圖下頁(yè)上頁(yè)zi

，

Pj

為復(fù)數(shù)joo返回例繪出其極零點(diǎn)圖。解下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)24-1jooo返回14.8極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵(lì)響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)零狀態(tài)δ(t)h(t)

1R(s)沖激響應(yīng)H(s)和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)。結(jié)論返回H0=-10例已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)為s=0、s=-1，一個(gè)單零點(diǎn)為s=1，且有，求H(s)和h(t)解由已知的零、極點(diǎn)得：下頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)上頁(yè)2.極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為：討論當(dāng)pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)；極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中自由分量的變化規(guī)律。注意返回下頁(yè)上頁(yè)jo不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返回下頁(yè)上