《畫法幾何及土木工程制圖》(第3版)2.2 直線的投影

2.2直線的投影ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW

直線的投影

直線上的點

直線的真長及其傾角

兩直線間的相對位置一邊平行于投影面的直角投影規(guī)律畫法幾何及土建制圖HABbaCDcdEFe(f)

直線的投影特性：

一般來說，直線的投影仍然為直線。當(dāng)直線垂直于投影面時，直線的投影則積聚為一點。直線對投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線投影面平行線投影面垂直線——直線與三個投影面均傾斜?！本€平行于其中的一個投影面，傾斜于另外兩個投影面?！本€垂直于某一投影面。1、直線的投影a′b′b″a″baYHYWXZABabαβγa″b″a′b′ZXY

一般線的投影特性：

一般位置線的任何一個投影，均不反映直線的真長，也不反映直線與投影面的傾角。一般位置線直線所平行的投影面不同，投影面平行線又可分為：水平線直線平行于H面，傾斜于V、W面。正平線直線平行于V面，傾斜于H、W面。側(cè)平線直線平行于W面，傾斜于H、V面。投影面平行線投影面平行線

水平線的投影特性：1.水平線的H投影反映真長，真長投影與OX夾角為β；與OY軸的夾角為γ；α=0°。2.水平線的V投影a’b’∥OX；W投影a”b”∥OY；a’b’b”a’baβγ

反映真長TLYHYWXZaa”a’b’Bb”AβγbZXY水平線

正平線的投影特性：1、正平線的V投影反映真長，真長投影與OX夾角為α；與OZ軸的夾角為γ;β=0°。2、正平線的H投影ab∥OX；W投影a″b″∥OZ；a′b′b″a″baγα反映真長TLYHYWXZa′b′AabαBa″b″γZXY正平線a′b′b″a″baα反映真長TLβYHYWXZa′b′AabαBa″b″βZXY

側(cè)平線的投影特性：1.側(cè)平線的W投影反映真長，真長投影與OY夾角為α；與OZ軸的夾角為β；γ=0°。2.側(cè)平線的V投影a′b′∥OZ；H投影ab∥OY；側(cè)平線按直線所垂直的投影面不同，投影面垂直線又可分為：鉛垂線直線垂直于H面，平行于V、W面。正垂線直線垂直于V面，平行于H、W面。側(cè)垂線直線垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直線投影面垂直線a′b′b″a″b(a)YHYWXZa′b′A(a)bBa″b″ZXY鉛垂線投影特性：1、鉛垂線的H投影積聚為一點；2、鉛垂線的V、W投影反映直線的真長，且平行于OZ軸。鉛垂線b″a″a(b′)ba′YHYWXZa′(b′)Bb″Aaba″ZXY正垂線投影特性：1、正垂線的V投影積聚為一點；2、正垂線的H、W投影反映直線的真長，且平行于OY軸。正垂線a′b′（b″）a″baYHYWXZa′b′AabBa″(b″)ZXY側(cè)垂線投影特性：1、側(cè)垂線的W投影積聚為一點；2、側(cè)垂線的V、H投影反映直線的真長，且平行于OX軸。側(cè)垂線ABCa(b)EFDedf直線上點的投影特性:1、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。2、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于它們的投影之比，即：

ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″(c)2、直線上的點a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK點在直線AB上【例題1】判定下題中，點K是否在直線AB上？XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″K點不在直線AB上O【例題2】判斷點K是否在直線AB上。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例題3】已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。aba′b′C

′cXO【例題4】試在直線AB上確定一點C，使AC:CB=2:3，求C點的兩面投影。直角三角形法AB真長αAB真長βaba′b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△ZAB量取△ZAB△YAB量取△YAB3、一般線的實長與傾角

求解一般位置線段的實長及其與投影面的夾角，是求解畫法幾何綜合題時經(jīng)常遇到的基本問題之一。也是工程中經(jīng)常遇到的問題。而用直解三角形法求解實長、傾角又最為方便、簡捷。

一、直角三角形法的作圖要領(lǐng)：用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對應(yīng)于投影面的坐標(biāo)差作為另一直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影響面的夾角。二、直角三角形的四個要素：實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。三、解題時：直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。四、作圖

1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角

2．求直線的實長及對正面投影面的夾角角

3．求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角角

例題1一般位置線段的實長及其與投影面夾角的求解在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另一條直角邊為直線的坐標(biāo)差，則斜邊即為該直線的真長；真長與投影長之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長（TL)坐標(biāo)差△Z、△Y、△XH、V、W投影長α、β、γ

直角三角形法|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB||yA-yB|AB|yA-yB|3．求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例題5】已知線段實長AB，且A點在B點前方，求它的水平投影。【例題6】試在直線AB上其一點C，使AC=25mm，求點C的投影

aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例題7】已知直線AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取△YABR=40mm△YABa′b′ab【例題8】已知直線AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例題9】已知直線AB的V投影，且α=30°,求AB的

H投影。a′b′abαΔzAB直線的H投影長以直線的H投影長為半徑，作圓弧直線AB真長兩直線的相對位置兩直線交叉兩直線相交兩直線平行

4、兩直線的相對位置

兩直線平行的投影特性：兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即AB∥CD，則：ab∥cd；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d″。xob′aa′d′bbcc′xob′a′abdc′d′cABCD兩直線平行abcdcabd對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①【例題10】判斷圖中兩條直線是否平行bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？【例題11】判斷圖中兩條直線是否平行ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k兩直線相交的投影特性：兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影的交點符合點的投影規(guī)律。兩直線相交●●cabbacdkkd先作正面投影【例題12】過C點作水平線CD與AB相交Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

兩直線交叉的投影特性：

既不滿足兩直線平行的投影特性,也不滿足兩直線相交的投影特性，均屬于兩直線交叉.兩直線交叉dbaabcdc’1(2)3(4)投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？交叉兩直線的投影特性：交叉兩直線重影點投影的可見性判斷(3)41(2)43341212【例題13】判斷兩直線的相對位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ兩直線交叉【例題14】判斷兩直線的相對位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′兩直線交叉【例題15】作直線KL與AB、CD相交，且平行于EF直線。d′e′

f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef【例題16】已知水平線AB的兩面投影及點C的兩面投影，求作直線CD，使其與直線AB相交且與H面成30o夾角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影長CD真長α以CD水平投影長為半徑作弧d有兩解dˊAHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影規(guī)律：

空間兩直線互相垂直，當(dāng)其中一條直線為投影面的平行線時，則在該直線所平行的投影面內(nèi)，兩直線的投影反映直角關(guān)系。

5、一邊平行于投影面的直角投影直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。兩直線交叉垂直O(jiān)Xb′a′bamnnmBHACcbaMNnmZZ距離注意：距離直線只有平行于投舉例求作點到直線的距離【例題17】求點K到直線AB的距離。kk′aba′b′ll′垂線KL的實長△ZKL△ZKL【例題18】已知直角三角形ABC，其一直角邊BC在EF線上，長30mm，試完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例題19】求兩直線AB、CD之間的距離。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm兩交叉線間距離(n)ffee

【例題20】過點E作線段AB、CD公垂線EF

兩平行直線的距離投影面垂直線badca(b)c(d)ef距離efabcda(b)c(d)ef投影面平行線

eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距離實距兩平行直線的距離（e）【例題21】求直線AB和CD間的最短距離。

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdfH因為ABH,EFAB,所以EF//H；又因為EFCD,EF//H所以efcd。Xcd（b）baacdo因為EF//H,所以e'f'//OX；EFAB,EFCDABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例題22】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且

BCAB=23。dbbXOaccadABCD有abbc分析：

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。因為ABBC,且ABH根據(jù)直角投影定理【例題23】已知長方形ABCD中BC邊的兩投影和AB邊的面

投影（a'b'//OX)，求作長方形的兩投影?！纠}24】已知正方形ABCD的對角線位于側(cè)平線EF上，試完成該正方形的正面、側(cè)面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半對角線長f

0【例題25】已知菱形ABCD的對角線AB的兩投影，另一對角線CD

長為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。e’ef’fZFEZFELc0cc’dd’ABC