高中數(shù)學(xué) 平面向量的數(shù)量積 新人教A必修4

2.4平面向量的數(shù)量積.已知兩個(gè)非零向量a和b

，作OA=a

，

OB=b

，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點(diǎn)的.我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移（如圖）θ從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。力所做的功W可用下式計(jì)算

W=|

||

|cosθ其中θ是

與

的夾角.定已知兩個(gè)非零向量

與

，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|

||

|cosθ叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·

·=|

||

|cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量（實(shí)數(shù)）。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。.注意：

數(shù)量積

a·b=|a||b|cos

注意公式變形，知三求一.

“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”一種新的運(yùn)算.向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積的大小的因素有哪些？思考1：向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果還是向量，但向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量（實(shí)數(shù)）。（這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的模及其夾角有關(guān)）.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考2：

·=|

||

|cosθararbrbr當(dāng)θ=90°時(shí)

為零。arbr·當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)

為負(fù)。arbr·當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)

為正；arbr·.解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。.典型例題分析進(jìn)行向量數(shù)量積計(jì)算時(shí),既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個(gè)向量方向確定其夾角。例2、.方法技巧：(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0°,180°]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ.溫馨提示：a∥b時(shí)，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中的一種情況..小結(jié)已知兩個(gè)非零向量

與

，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|

||

|cosθ叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·

·=|

||

|cosθararararararbrbrbrbrbrbr（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的定義（2）向量的數(shù)量積的物理模型是力做功（3）a?b的結(jié)果是一個(gè)