第六章多個(gè)多元均值向量的比較

二、成對(duì)試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量設(shè)(xi,yi)，i=1,2,?,n(n>p)是成對(duì)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，令di=xi?yi，i=1,2,?,n

又設(shè)d1,d2,?,dn獨(dú)立同分布于Np(δ,Σ)，其中Σ>0，δ=μ1?μ2，μ1和μ2分別是總體x和總體y的均值向量。希望檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

等價(jià)于H0：δ=0，H1：δ≠0

這樣，兩個(gè)總體的均值比較檢驗(yàn)問(wèn)題就可以化為一個(gè)總體的情形。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中

當(dāng)原假設(shè)H0：δ=0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

對(duì)給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中例6.1法律要求重復(fù)測(cè)量設(shè)計(jì)中各種處理的等效性檢驗(yàn)設(shè)樣本

取自總體Np(μ,Σ)，C為對(duì)比矩陣，我們希望檢驗(yàn)H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中S是Σ的無(wú)偏估計(jì)?！?.5兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本

和

分別取自總體Np(μ1,Σ)和總體Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2?2≥p，我們希望檢驗(yàn)H0：C(μ1?μ2)=φ，H1：C(μ1?μ2)≠φ

其中C為一已知的k×p矩陣，k＜p,rank(C)=k，φ為一已知的k維向量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中Sp是Σ的聯(lián)合無(wú)偏估計(jì)。當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0其中例4.5.1某種產(chǎn)品有甲、乙兩種品牌，從甲產(chǎn)品批和乙產(chǎn)品批中分別隨機(jī)地抽取5個(gè)樣品，測(cè)量相同的5個(gè)指標(biāo)，數(shù)據(jù)列于表4.5.1。在多元正態(tài)性假定下，試問(wèn)甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的每個(gè)指標(biāo)間的差異是否有顯著的不同。該題就是要檢驗(yàn)H0：C(μ乙?μ甲)=0，H1：C(μ乙?μ甲)≠0

其中表4.5.1 甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的指標(biāo)值指標(biāo)12345樣品甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610均

值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均

值24.821.824.623.220.4

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

經(jīng)計(jì)算

所以

由于

，所以在α=0.05下拒絕原假設(shè)H0(p=0.044)。兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本

和

分別取自總體Np(μ1,Σ)和總體Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2?2≥p，我們希望檢驗(yàn)H0：μ1?μ2=φ，H1：μ1?μ2≠φ

φ為一已知的k維向量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中Sp是Σ的無(wú)偏估計(jì)。兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本

和

分別取自總體Np(μ1,Σ1)和總體Np(μ2,Σ2)，n1+n2?2≥p，我們希望檢驗(yàn)H0：μ1?μ2=φ，H1：μ1?μ2≠φ

φ為一已知的k維向量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中Sp是Σ的無(wú)偏估計(jì)。§5.6多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)（多元方差分析）設(shè)有k個(gè)總體π1,π2,?,πk，它們的分布分別是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ), ?,Np(μk,Σ)，今從這k個(gè)總體中各自獨(dú)立地抽取一個(gè)樣本，取自總體πi的樣本為

，i=1,2,?,k?，F(xiàn)欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2=?=μk，H1：μi≠μj,至少存在一對(duì)i≠j

記

則SST=SSE+SSTR

稱(chēng)SST、SSE和SSTR分別為總平方和及交叉乘積和、誤差(或組內(nèi))平方和及交叉乘積和和處理(或組間)平方和及交叉乘積和，它們分別具有自由度(n?1)、(n?k)和(k?1)。采用似然比方法可以得到威爾克斯（Wilks）Λ統(tǒng)計(jì)量

對(duì)給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α，則拒絕H0

其中臨界值Λp,k?1,n?k,α滿(mǎn)足：當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，P(Λp,k?1,n?k≤Λp,k?1,n?k,α)=α Λp,m,r,α常通過(guò)查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。例4.6.1為了研究銷(xiāo)售方式對(duì)商品銷(xiāo)售額的影響，選擇四種商品（甲、乙、丙和?。┌慈N不同的銷(xiāo)售方式（Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ）進(jìn)行銷(xiāo)售。這四種商品的銷(xiāo)售額分別為x1,x2,x3,x4,其數(shù)據(jù)見(jiàn)表4.6.1。表4.6.1 銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)編

號(hào)銷(xiāo)售方式Ⅰ銷(xiāo)售方式Ⅱ銷(xiāo)售方式Ⅲx1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x411256033821066544553106533480260211980233330824540321010034468295363512602036565312280656341626546551429150405147728011748468250513065403205675448129311463395380669453501903850468210553054623574660585200424535119064515073208146662732501134039031011090442225987545852408055520200606244024810110775072707660507189110693772601110760364200943326028088782993601213061391200605142919073633903201380454292705540390295114554942401460504421906548481177103544163101581542602806948442225100332733121613587507260125633122701406131234517574840028512056416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260該題中，我們需要檢驗(yàn)H0：μ1=μ2=μ3，H1：μ1,μ2,μ3中至少有兩個(gè)不相等

其中μ1,μ2,μ3分別為銷(xiāo)售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量。假定這三個(gè)總體均為多元正態(tài)總體，且它們的協(xié)差陣相同。p=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60

于是

由附錄4?3中的(4?3.4)式可得

查F分布表得，F(xiàn)0.01(8,108)=2.68＜3.039，從而在α=0.01的水平下拒絕原假設(shè)H0，因此可認(rèn)為三種銷(xiāo)售方式的銷(xiāo)售額有十分顯著的差異(p=0.004)。為了解這三種銷(xiāo)售方式的顯著差異究竟是由哪些商品引起的，我們對(duì)這四種商品分別用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)分析。利用SSTR和SSE這兩個(gè)矩陣對(duì)角線上的元素有

查表得，F(xiàn)0.05(2,57)=3.16，F(xiàn)0.01(2,57)=5.01，故甲商品有顯著差異(p=0.041)，丁商品有十分顯著的差異(p=0.001),而乙和丙商品無(wú)顯著差異(p=0.208和p=0.848)。如果剔除丁商品，然后再對(duì)其他三種商品用Λ統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，則有

F0.05(6,110)=2.18>1.328，不顯著，因此說(shuō)明對(duì)甲、乙、丙這三種商品，銷(xiāo)售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量之間無(wú)顯著差異(p=0.251)?！?.7總體相關(guān)系數(shù)的推斷設(shè)x1,x2,?,xn是取自總體Np(μ,Σ)的一個(gè)樣本，樣本協(xié)方差矩陣S=(sij)。一、簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的推斷二、復(fù)相關(guān)系數(shù)的推斷三、偏相關(guān)系數(shù)的推斷一、簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的推斷欲檢驗(yàn)H0：ρij=0，H1：ρij≠0

當(dāng)H0：ρij=0為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

服從t(n?2)分布，其中

是樣本相關(guān)系數(shù)。

對(duì)于給定的顯著性水平α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0如果希望檢驗(yàn)H0：ρij=ρij0，H1：ρij≠ρij0

則可以使用一種近似的方法。在n很大的情況下，

近似服從

。利用這一結(jié)論可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)原假設(shè)H0：ρij=ρij0為真時(shí)，它近似地服從N(0,1)，對(duì)于給定的α，拒絕規(guī)則為：

若

，則拒絕H0 二、復(fù)相關(guān)系數(shù)的推斷將x,Σ,S剖分如下：

樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方為欲檢驗(yàn)H0：ρ1·2,?,p=0，H1：ρ1·2,?,p≠0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

當(dāng)H0：ρ1·2,?,p=0為真時(shí)，它服從F(p?1,n?p)分布。對(duì)于給定的顯著性水平