高中數(shù)學(xué)直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系

(3).一線面成角相關(guān)概念

DD1C1CAA1BB1直線AA1和平面ABCD是什么關(guān)系?直線A1B.A1D.A1C和平面ABCD的位置關(guān)系?直線A1B.A1D.A1C與點(diǎn)B.C.D它們又如何命名呢？觀察如圖所示的長(zhǎng)方體

ＡＢＣＤ－A1B1C1D1.1.抽象出它們的位置關(guān)系如圖一條直線與一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線斜線與平面交點(diǎn)叫做斜足斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段過斜足和垂足的直線叫做斜在這個(gè)平面上的正投影(簡(jiǎn)稱射影)平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角∠ＰＱＰ１.斜線斜線段PP1αQ斜足射影.當(dāng)一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí),稱這條直線和這個(gè)平面成900的角,當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí),稱這條直線和這個(gè)平面成00的角.注意.想一想？1.平面的斜線和平面所成的角的范圍是什么?直線和平面所成的角的范圍呢?2.若平面α的斜線l和平面所成的角為θ1,平面α的斜線l和平面內(nèi)任一直線所成的角為θ2,試比較θ1和θ2的大小關(guān)系,并給以證明..例1如圖,∠BAC在平面α內(nèi)，點(diǎn)P∈α∠PAB﹦

∠PAC求證：點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．αACBPEFO分析：要證明P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上，首先應(yīng)作出點(diǎn)P在平面上的射影O，再證∠BAO﹦∠CAO即可．要證∠BAO﹦∠CAO，只需證明含這兩個(gè)角的三角形全等．.例２求證如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直．證明空間兩條直線垂直的方法有哪些？（１）定義法：若直線a和直線b所成的角為９００則a⊥b（２）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：由“線面垂直推得線線垂直”．（３）“線線垂直＝＞線面垂直＝＞線線垂直“.AaOP

如圖：已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。二．三垂線定理.三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件思考APOaα.PAOaα三垂線定理包含的垂直關(guān)系②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直.PAOaαbcd三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：

①相交直線

②異面直線思考.直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b例如：當(dāng)b⊥時(shí)，b⊥OA但

b不垂直于OP

思考.×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑶若a是平面α的斜線，直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習(xí)：1判斷下列命題是否正確：××.1．如圖，∠BAC＝900,PC⊥平面ABC，則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中:（１）與PC垂直的直線（２）與PA垂直的直線

PABC2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AD1與平面ABCD所成的角是?３.若直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)與直線垂直的直線（）A.只有一條B.有無數(shù)條C.是平