數(shù)列的放縮問題

放縮法證明數(shù)列不等式常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列的求和或求積有關(guān)，基本結(jié)構(gòu)形式有如下四種：n①形如aik（k為常數(shù)）i1n②形如aifni1n③形如aifni1nk（k為常數(shù)）④形如ai1放縮目標(biāo)型——可求和n（一）形如aik（k為常數(shù)）i1例1.求證：11111nN222232n變式1.求證123n2nN222232n變式2.求證11111nN12212312n12變式3.求證123n2nN12212312n12【分析】例1：求和公式可證變式1：錯位相減法.變式2：放縮11.2n12n變式3：放縮nn1nn，然后錯位相減法.22例2.求證：11111335572n12n1nN12變式1.求證11112nN2232n2變式2.求證11117nN222243n變式3.求證11115nN2232n23【分析】例2：裂項(xiàng)后求和公式可證變式1：放縮111n2，然后裂項(xiàng)求和.n2nn變式2：放縮111n3，然后保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開始放縮.n2nn或者放縮1111n1n1n2，然后裂項(xiàng)求和.n2n2211變式3：1111n1n1n3，然后保留前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開始放縮.n2n2211小試牛刀（變式練習(xí)）求證：1111125nN32522n4111112【分析】2n24n24n4n1n1n（08遼寧卷）已知：annn1,bnn+121115.，求證：b2a1b1a2anbn12【分析】1111112anbnn12n1n2nn12nn1nn練習(xí)：已知數(shù)列an中an2，求證：aiai13.n21i1【分析】aiai12i2i2i111i212i12i12i22i12i112i112i2i1常見的裂項(xiàng)放縮技巧：1.11111n2n212n1n12.14412111n24n24n22n12n3.1111111nn1nn1n2nn1n1n4.∵2n1111Cn0Cn1Cnn1Cn1Cn2nn1n2∴12121n1n32n1nnn15.2n1n22222nn1n1nn2nnn16.2n2n2n2n1112n22n12n12n12n22n12n112n112n11例4.2012廣東卷19.求證：【分析】放縮為等比模型求和

113313n13nN323222232n2n1因?yàn)?n2n3n123n123n133所以113n2n3n1左邊111131133323n123n2變式：求證：111117nN323223323n214【分析】放縮為等比模型求和，保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始放縮。nn12n2n2n2因?yàn)?23n3127333所以111273n2n23n111131317左邊113n21n11147314314【總結(jié)】一般地，形如ananbn或ananb（這里ab1）的數(shù)列，在證明111k（k為常數(shù)）時(shí)都可以提取出an利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放所謂等a1a2an比模型.n（二）形如aifni1例5.求證：nn11223nn1nn2nN22n【分析】不等式形如gnaifn，左右兩邊的式子都是某等差數(shù)列的和，因此考i1慮將通項(xiàng)nn1放縮為等差模型后求和.思路：Tnnn1,Sn1223nn1,Rnnn222要證TnSnRn，則只需要證明bnancn故只需證明nnn11n2nnn1nn112n2nn1nn1nn2所以k1223nn1k222k1k1n【總結(jié)】形如aifn的數(shù)列不等式證明的思路：設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列an和bn的i1前n項(xiàng)和，顯然若 an bn，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有 Sn Tn.放縮目標(biāo)型——可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與上面求和類似，只不過放縮后的bn是cn1（分式型），累乘后化簡為ncn1.可求積的模型，能求積的常見數(shù)列模型是bnbicni1cnn（三）形如aifni1例6.求證：1352n111nN2462n2n【思路分析】1352n111Bnb1b2b3bn2462n2n利用bnBnn2，易得bn2n1Bn2n11因此，問題轉(zhuǎn)化為只要證2n12n12n2n12n12n12n12n4n212n1所以左邊1352n113572n+12