充分條件與必要條件同步練習(xí)（含答案）2

充要條件1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．(√)(2)若peq\o(?,/)q和qeq\o(?,/)p有一個(gè)成立，則p一定不是q的充要條件.(√)(3)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件．(√)題型1充要條件的判斷2．“b2＝ac”是“eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)成立”的(C)A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：b2＝aceq\o(?,/)eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，如b＝0，c＝0時(shí)，b2＝ac，而eq\f(a,b)，eq\f(b,c)無意義．但eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)?b2＝ac，所以“b2＝ac”是“eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)”的必要不充分條件．3．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(C)A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a與b異號(hào)且負(fù)數(shù)絕對(duì)值大時(shí)，也有a＋b<0，所以“a＋b<0”eq\o(?,/)“a<0，b<0”；顯然“a<0，b<0”?“a＋b<0”，所以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分條件．4．點(diǎn)P(x，y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是(B)A．x<0，y<0 B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0解析：第二象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0，所以點(diǎn)P(x，y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是x<0，y>0.5．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：①“a＝b”是“ac2＝bc2”的充要條件；②“b－2是無理數(shù)”是“b是無理數(shù)”的充要條件；③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件．其中真命題的序號(hào)是__②④__.解析：①中由“a＝b”可得ac2＝bc2，但由“ac2＝bc2”得不到“a＝b”，所以不是充要條件，所以①是假命題；②是真命題；③中a>b時(shí)，a2>b2不一定成立，所以③是假命題；④中由“a<5”得不到“a<3”，但由“a<3”可以得出“a<5”，所以“a<5”是“a<3”的必要條件，所以④是真命題．題型2充要條件的證明6．已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．證明：①充分性：因?yàn)閍＋b＝1，所以b＝1－a，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.②必要性：因?yàn)閍3＋b3＋ab－a2－b2＝0，所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.因?yàn)閍b≠0，所以a≠0且b≠0，所以a2－ab＋b2≠0.所以a＋b－1＝0，所以a＋b＝1.綜上可知，當(dāng)ab≠0時(shí)，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．7．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.證明：①充分性：如果xy＝0，那么x＝0，y≠0或x≠0，y＝0或x＝0，y＝0，則|x＋y|＝|x|＋|y|顯然成立．如果xy>0，則x>0，y>0或x<0，y<0，當(dāng)x>0，y>0時(shí)，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；當(dāng)x<0，y<0時(shí)，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|.總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.綜上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．題型3由充分、必要、充要條件求參數(shù)范圍8．設(shè)集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么點(diǎn)P(2,3)∈A∩(?UB)的充要條件是(A)A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5解析：由題意知P(2,3)∈A且P(2,3)?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3＋m>0，,2＋3－n>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－1，,n<5.))故選A.9．已知p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6，q是p的必要條件，但q不是p的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(B)A．3<m<5 B．3≤m≤5C．m<3或m>5 D．m≤3或m≥5解析：因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以由p能得到q，而由q得不到p，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥2，,m＋1≤6，))所以3≤m≤5.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是3≤m≤5.10．求方程x2＋kx＋1＝0與x2＋x＋k＝0有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件．解：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x2＋xx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x3＝0，,x2＋x＋k＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,k＝－2.))所以兩方程有一個(gè)公共實(shí)根的充要條件為k＝－2.易錯(cuò)點(diǎn)1混淆必要不充分、充要條件的含義11．一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限的必要不充分條件是(D)A．m>0，n>0 B．mn<0C．m<0，n<0 D．mn>0解析：一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限，所以－eq\f(m,n)<0，且eq\f(1,n)>0，解得m>0，n>0.故由一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限可以推出mn>0.而由mn>0不一定能得到一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以mn>0是一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、二、四象限的必要不充分條件．[誤區(qū)警示]本題易因混淆必要不充分條件與充要條件，直接由－eq\f(m,n)<0，且eq\f(1,n)>0，解得m>0，n>0，而錯(cuò)選的必要不充分條件是q，即q是p的必要不充分條件，則qeq\o(?,/)p，且p?q，故本題應(yīng)題干?選項(xiàng)，且選項(xiàng)eq\o(?,/)題干．易錯(cuò)點(diǎn)2弄反充分、必要條件12．使不等式2x－4≥0成立一個(gè)充分不必要條件是(C)A．x<2 B．x≤0或x≥2C．x∈{2,3,5} D．x≥2解析：由2x－4≥0得x≥2，所以選項(xiàng)中只有{2,3,5}{x|x≥2}，故只有C選項(xiàng)中的條件是使不等式2x－4≥0成立的一個(gè)充分不必要條件．[誤區(qū)警示]本題易錯(cuò)的地方是顛倒充分性和必要性，根據(jù){x|x≥2}{x|x≥2或x≤0}，誤選B.事實(shí)上，“不等式2x－4≥0成立”為結(jié)論q，我們只需找到條件p，使p?q且qeq\o(?,/)p即可．在解答問題時(shí)務(wù)必看清設(shè)問方式，明確哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后根據(jù)充分、必要、充要條件的概念做出準(zhǔn)確的判斷．(限時(shí)30分鐘)一、選擇題1．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(D)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：已知a，b是實(shí)數(shù)，則若a<0，且b<0，則不一定有ab(a－b)>0，比如當(dāng)a<b<0時(shí)，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，則a－b和ab同號(hào)，當(dāng)a>b>0時(shí)滿足ab(a－b)>0，當(dāng)b<a<0時(shí)也滿足ab(a－b)>0，故不能確定a和b的正負(fù)．故“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的既不充分也不必要條件．2．設(shè)集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)镹M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分條件．3．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)椤癮≠1或b≠2”包括三種情況，即a≠1，b＝2，或a＝1，b≠2，或a≠1且b≠2，所以a≠1或b≠2eq\o(?,/)a＋b≠3，a＋b≠3?a≠1或b≠2，所以“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分條件．4．若實(shí)數(shù)x，y∈R，則甲：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>4，,xy>4))是乙：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1))時(shí)，甲成立，但乙不成立，所以充分性不成立；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))時(shí)，顯然eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>4，,xy>4))成立，所以必要性成立．故選B.5．x2<4的一個(gè)必要不充分條件是(C)A．0<x≤2 B．－2<x<0C．－2≤x≤2 D．1<x<3解析：由x2<4得－2<x<2，因?yàn)椋?<x<2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2<x<2，所以x2<4的一個(gè)必要不充分條件是－2≤x≤2.6．設(shè)a是實(shí)數(shù)，則a<5成立的一個(gè)必要不充分條件是(A)A．a(chǎn)<6 B．a(chǎn)<4C．a(chǎn)2<25 D．eq\f(1,a)>eq\f(1,5)解析：因?yàn)閍<5?a<6，a<6eq\o(?,/)a<5，所以a<6是a<5成立的一個(gè)必要不充分條件．故選A.7．(多選題)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，p：“開關(guān)S閉合”；q：“燈泡L亮”，則p是q的充要條件的電路圖是(BD)解析：由題知，電路圖A中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關(guān)S閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則開關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．故選BD.8．已知p：x>1或x<－3，q：x>a.若q是p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．{a|a≥1} B．{a|a≤1}C．{a|a≥－3} D．{a|a≤－3}解析：因?yàn)閜：x>1或x<－3，q：x>a，且q是p的充分不必要條件，所以{x|x>a}是{x|x>1或x<－3}的真子集，即a≥1.故選A.9．設(shè)全集為U，在下列條件中，是B?A的充要條件的有(D)①A∪B＝A；②(?UA)∩B＝?；③?UA??UB；④A∪(?UB)＝U.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：畫出Venn圖可知，B?A?A∪B＝A；B?A?(?UA)∩B＝?；B?A??UA??UB；B?A?A∪(?UB)＝U.故選D.10．(多選題)已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列結(jié)論正確的是(ABD)A．Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充要條件B．Δ＝b2－4ac＝0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件C．Δ＝b2－4ac>0是這個(gè)方程有實(shí)根的必要條件D．Δ＝b2－4ac<0是這個(gè)方程沒有實(shí)根的充要條件解析：A項(xiàng)，Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根，故A正確；B項(xiàng)，Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根，故B正確；C項(xiàng)，Δ＝b2－4ac>0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)根，故D正確．二、填空題11．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝__3或4__.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有實(shí)根?(－4)2－4n≥0?n≤4.又n∈N*，則n＝4時(shí)，方程x2－4x＋4＝0有整數(shù)根2；n＝3時(shí)，方程x2－4x＋3＝0有整數(shù)根1,3；n＝2時(shí)，方程x2－4x＋2＝0無整數(shù)根；n＝1時(shí)，方程x2－4x＋1＝0無整數(shù)根．所以n＝3或n＝4.12．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__{m|m>2}__．解析：因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以p?q，qeq\o(?,/)p，所以{x|－1<x<3}{x|－1<x<m＋1}，所以m＋1>3，解得m>2.13．關(guān)于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的實(shí)數(shù)根的總和為2的充要條件是__m＝0__.解析：當(dāng)m＝0時(shí)，原方程即為x＝2，符合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，有eq\f(m＋1,m2)＝2，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2)，但Δ＝(m＋1)2－8m2＝－7m2＋2m＋1，當(dāng)m＝1及m＝－eq\f(1,2)時(shí)，均使Δ<0，故此時(shí)不符合題意．故充要條件是m＝0.三、