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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.2.已知雙曲線:的左右焦點分別為,,為雙曲線上一點,為雙曲線C漸近線上一點,,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.4.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.405.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.7.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.8.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.9.已知,如圖是求的近似值的一個程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.10.如圖所示,網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的體積為()A.2 B. C.6 D.811.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.404012.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的最小值是______.14.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.15.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.16.已知F為雙曲線的右焦點,過F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點),則C的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.18.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.20.(12分)已知拋物線,焦點為,直線交拋物線于兩點,交拋物線的準(zhǔn)線于點,如圖所示,當(dāng)直線經(jīng)過焦點時,點恰好是的中點,且.(1)求拋物線的方程;(2)點是原點,設(shè)直線的斜率分別是,當(dāng)直線的縱截距為1時,有數(shù)列滿足,設(shè)數(shù)列的前n項和為,已知存在正整數(shù)使得,求m的值.21.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線:.直線經(jīng)過點,且傾斜角為,以為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,求實數(shù)的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點為,當(dāng)變化時,點構(gòu)成曲線,證明:過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,設(shè),,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,則F2(,0),設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.2.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為,為雙曲線上的一點,為雙曲線的漸近線上的一點,且都位于第一象限,且,可知為的三等分點,且,點在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).3.A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.4.B【解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.5.C【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為,所以不合題意;選項,計算,不符合函數(shù)圖象;對于選項,與函數(shù)圖象不一致;選項符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.7.D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.8.B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.9.C【解析】
由于中正項與負(fù)項交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.10.A【解析】
先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀,以及四棱錐的高,再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知,該四棱錐為斜著放置的四棱錐,四棱錐的底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高為2,所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖,由幾何體的三視圖先還原幾何體,再由體積公式即可求解,屬于??碱}型.11.D【解析】
計算,代入等式,根據(jù)化簡得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.12.C【解析】
設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進(jìn)而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因為,所以,所以,所以,又,所以當(dāng)時,,,因為,整理得,因為,,,則所以.故選:C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性,考查學(xué)生分析能力和計算能力,是一道難度較大的題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.15.2【解析】
由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點,即求.【詳解】不妨設(shè)點P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點,∴,∵PQ垂直l于點Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點,∴,故答案為:2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.16.2【解析】
求出焦點到漸近線的距離就可得到的等式,從而可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是求出焦點到漸近線的距離,從而得出一個關(guān)于的等式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對任意,恒成立,然后通過求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得;令,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)由題意知.,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.不妨設(shè),又函數(shù)單調(diào)遞減,所以原問題等價于:當(dāng)時,對任意,不等式恒成立,即對任意,恒成立.記,由題意得在上單調(diào)遞減.所以對任意,恒成立.令,,則在上恒成立.故,而在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為.由,解得.故實數(shù)的最小值為.18.(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因為,又已知,所以,因為,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當(dāng)時,的面積,當(dāng)時,的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.19.(1)或(2)最小值為.【解析】
(1)討論,,三種情況,分別計算得到答案.(2)計算得到,再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時,,所以.因為,由,可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時,等號成立.所以的最小值為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對于不等式,函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.20.(1)(2)【解析】
(1)設(shè)出直線的方程,再與拋物線聯(lián)立方程組,進(jìn)而求得點的坐標(biāo),結(jié)合弦長即可求得拋物線的方程;(2)設(shè)直線的方程,運用韋達(dá)定理可得,可得之間的關(guān)系,再運用進(jìn)行裂項,可求得,解不等式求得的值.【詳解】解:(1)設(shè)過拋物線焦點的直線方程為,與拋物線方程聯(lián)立得:,設(shè),所以,,,所以拋物線方程為(2)設(shè)直線方程為,,,,,,由得.【點睛】本題考查了直線與拋物線的關(guān)系,考查了韋達(dá)定理和運用裂項法求數(shù)列的和,考查了運算能力,屬于中檔題.21.(Ⅰ)(t為參數(shù));(Ⅱ)或或.【解析】
試題分析:本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,用,化簡表達(dá)式,得到曲線的極坐標(biāo)方程,由已知點和傾斜角得到直線的參數(shù)方程;第二問,直線方程與曲線方程聯(lián)立,消參,解出的值.試題解析:(1)即,.(2),符合題意考點:本題主要考查:1.極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與直角
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