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文檔簡介

一對三授課教案校區(qū): 西門口

學(xué)員姓名:

年級:

所授科目:上課時間: 2018 年

1月

17

時 分至

時 分 共

分鐘【教學(xué)目標】極值點偏移【教學(xué)重難點】授課內(nèi)容:第一:極值點偏移初探一、極值點偏移的含義眾所周知,函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量x都有f(x)f(2mx),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xm對稱;可以理解為函數(shù)f(x)在對稱軸兩側(cè),函數(shù)值變化快慢相同,且若f(x)為單峰函數(shù),則xm必為f(x)的極值點.如二次函數(shù)f(x)的頂點就是極值點x0,若f(x)c的兩根的中點為x1x2,則剛好有x1x2x0,22即極值點在兩根的正中間,也就是極值點沒有偏移 .若相等變?yōu)椴坏?,則為極值點偏移:若單峰函數(shù)f(x)的極值點為m,且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)xm左側(cè)的任意自變量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx),則函數(shù)f(x)極值點m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x1,x2滿足f(x1)f(x2),則x1x2與極值點m必有確定的大小關(guān)系:2若mx12x2,則稱為極值點左偏;若mx1x2,則稱為極值點右偏2如函數(shù)g(x)x1剛好在方程g(x)x1x2的左邊,我們稱之為極值點左偏.ex的極值點x0c的兩根中點2二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式:1.若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2,求證:x1x22x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點);2.若函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2),求證:x1x22x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點);3.若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2,令x0x1x2,求證:f'(x0)0;2x1x24.若函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2),令x0,求證:f'(x0)0.2三、問題初現(xiàn),形神合聚★函數(shù)f(x)x22x1aex有兩極值點x1,x2,且x1x2.證明:x1x24.所以h(2x)h(2x),所以h(x1)h(x2)h[2(x22)]h[2(x22)]h(4x2),因為x12,4x22,h(x)在(,2)上單調(diào)遞減所以x14x2,即x1x24。★已知函數(shù)f(x)lnx的圖象C1與函數(shù)g(x)1ax2bx(a0)的圖象C2交于P,Q,過PQ的中點R作x軸2的垂線分別交C1,C2于點M,N,問是否存在點R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.極值點偏移問題在 近幾年高考及各種模考, 作為熱點以壓軸題的形式給出, 很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策,而且此類問題變化多樣,有些題型是不含參數(shù)的,而更多的題型又是含有參數(shù)的 .其實,此類問題處理的手段有很多,方法也就有很多,下面我們來逐一探索!第二:極值點處理方法一、極值點偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0,方程f(x)0的解分別為x1,x2,且ax1x2b,(1)若f(x1)f(2x0x2)x1x2()x0,即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(x1,x2)上極(?。┐笾迭cx0右,則2(左)偏;(2)若f(x1)f(2x0x2),則x1x2()x0,即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1,x2)上極(小)大值點x0右2x(左)偏.證明:(1)因為對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,x0),單調(diào)遞減(增)區(qū)間為(x0,b),由于ax1x2b,有x1x0,且2x0x2x0,又f(x)f(2x0x),故x()2xx,所以x1x2()x0,即函數(shù)極(?。┐笾迭cx0右(左)偏;121022(2)證明略.左快右慢(極值點左偏mx1x2)左慢右快(極值點右偏mx1x2)22左快右慢(極值點左偏mx1x2)左慢右快(極值點右偏mx1x2)22二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述:1)求出函數(shù)f(x)的極值點x0;2)構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)f(x0x)f(x0x);(3)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性;(4)結(jié)合F(0) 0,判斷F(x)的符號,從而確定 f(x0 x)、f(x0 x)的大小關(guān)系.口訣:極值偏離對稱軸,構(gòu)造函數(shù)覓行蹤;四個步驟環(huán)相扣,兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板:若已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x2),x0為函數(shù)f(x)的極值點,求證:x1x22x0.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出f(x)的極值點x0;假設(shè)此處f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增(2)構(gòu)造F(x)f(x0x)f(x0x);注:此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成 F(x) f(x) f(2x0 x)的形式.(3)通過求導(dǎo)F'(x)討論F(x)的單調(diào)性,判斷出F(x)在某段區(qū)間上的正負,并得出f(x0x)與f(x0x)的大小關(guān)系;假設(shè)此處F(x)在(0,)上單調(diào)遞增,那么我們便可得出F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0,從而得到:xx0時,f(x0x)f(x0x).(4)不妨設(shè)x1x0x2,通過f(x)的單調(diào)性,f(x1)f(x2),f(x0x)與f(x0x)的大小關(guān)系得出結(jié)論;接上述情況,由于xx0時,f(x0x)f(x0x)且x1x0x2,f(x1)f(x2),故f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2),又因為x1x0,2x0x2x0且f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減,從而得到x12x0x2,從而x1x22x0得證.(5)若要證明f'(x1x2)0,還需進一步討論x1x2與x0的大小,得出x1x2所在的單調(diào)區(qū)間,從而得出222該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負,從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明:因為x1x2x1x2x0,由于f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減,故2x0,故2f'(x1x2)0.2【說明】(1)此類試題由于思路固定,所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜,計算時須細心;(2)此類題目若試題難度較低,會分解為三問,前兩問分別求f(x)的單調(diào)性、極值點,證明f(x0x)與f(x0x)(或f(x)與f(2x0x))的大小關(guān)系;若試題難度較大,則直接給出形如x1x22x0或f'(x1x2)0的結(jié)2論,讓你給予證明,此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題三、對點詳析,利器顯鋒芒★已知函數(shù) f(x) xex(x R).(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若x1 x2,且f(x1) f(x2),證明:x1 x2 2.∵x2 1,∴2 x2 1,f(x)在( ,1)上單調(diào)遞增,∴ x1 2 x2,∴x1 x2 2.★函數(shù)f(x)x44x3與直線ya(a1)交于A(x1,a)、B(x2,a)兩點.33證明:x1x22.★已知函數(shù)f(x)2x2,且f(x1)f(x2),證明:x1x24.lnx,若x1x【解析】由函數(shù)f(x)2f(x1)f(x2),則必有x12x2。lnx單調(diào)性可知:若x所以4x12,而f(x1)f(4x1)22lnx1ln(4x1),x14x1令h(x)22lnxln(4x),則x4xh'(x)22112(4x)22x2x(4x)2x2(4x)x2(4x)2x4xx2(4x)28(x2)20x2(4x)2所以函數(shù)h(x)在(0,2)為減函數(shù),所以h(x)h(2)0,所以f(x1)f(4x1)0即f(x1)f(4x1),所以f(x2)f(4x2),所以x1x24.★已知函數(shù)fxx2exax2是fx的兩個零點,證明:x1x22.1有兩個零點.設(shè)x1,x2四、招式演練★已知函數(shù) gx ex ax2,其中aR,e2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù),fx是gx的導(dǎo)函數(shù).2(Ⅰ)求 f x的極值;(Ⅱ)若a 1,證明:當(dāng)x1 x2,且f x1 f x2時, x1 x2 0.【答案】(1)當(dāng)a 0時, f x無極值;當(dāng)a 0時, f x有極小值 f ln a a aln a;(2)詳見解析.【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(Ⅱ)求出函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù) F(x)=f(x)﹣f(﹣x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.試題解析:(Ⅰ)f x g x ex ax的定義域為 , , f x ex a當(dāng)a 0時, f x 0在x , 時成立, f x 在 , 上單調(diào)遞增, f x無極值.當(dāng)a0時,fxexa0解得xlna,由fx0得xlna;由fx0得xlna,所以fx在,lna上單調(diào)遞減,在lna,上單調(diào)遞增,故fx有極小值flnaaalna.(Ⅱ)當(dāng)a1時,xxfxex的定義域為,,fxe1,由fxex10,解得x0.當(dāng)x變化時,fx,fx變化情況如下表:x,000,f x 0 +f x 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增∵x1 x2,且f x1 f x2,則x1 0 x2(不妨設(shè)x1 x2)★已知函數(shù)fxlnxax2,其中aR(1)若函數(shù)fx有兩個零點,求a的取值范圍;(2)若函數(shù)fx有極大值為1,且方程fxm的兩根為x1,x2,且x1x2,證明:x1x24a.12【答案】(1)0;(2)見解析.a2e(1)當(dāng)a 0時, f x 0函數(shù)f x在0, 上單調(diào)遞增,不可能有兩個零點(2)當(dāng)a

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