2021-2022學年河南省商丘市鄭集鄉(xiāng)聯(lián)合中學高二數(shù)學文下學期期末試題含解析

2021-2022學年河南省商丘市鄭集鄉(xiāng)聯(lián)合中學高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D2.定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)為單位分數(shù)，我們可以把1拆為若干個不同的單位分數(shù)之和．如：1=++，1=+++，1=++++，以此類推，可得：1=++++++++++++，其中a＜b，a，b∈N*，設1≤x≤a，1≤y≤b，則的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】歸納推理．【分析】根據1=++++++++++++，結合裂項相消法，可得+==，解得a，b值，可得答案．【解答】解：∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，∵1=++++++++++++，∴+==，∴a=13，b=20，則=1+，∵1≤x≤13，1≤y≤20，∴y=1，x=13時，的最小值為，故選：D．【點評】本題考查歸納推理，考查學生的計算能力，確定a，b的值是關鍵．3.設,,,,滿足,則它們的大小關系是()A.G<F<H<T

B.T>H>G>F

C.H>G>F>T

D.H>G>T>F參考答案：C4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側面BCC1B1內的動點,且A1F//平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構成的集合是

(

)參考答案：D5.甲、乙兩名運動員在某項測試中的6次成績如莖葉圖所示，其中甲成績的中位數(shù)為15，極差為12；乙成績的眾數(shù)為13，，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有（）A．＞，s1＜s2 B．=，s1＜s2C．=，s1=s2 D．=，s1＞s2參考答案：B【考點】極差、方差與標準差；莖葉圖．【分析】根據題意，得出y、x、z的值；求出甲、乙測試成績的平均數(shù)，得出=；由標準差的意義得出s1＜s2．【解答】解：根據題意，得20+y﹣9=12，∴y=1，x=5，z=3；∴甲測試成績的平均數(shù)是==15，乙測試成績的平均數(shù)是=15，∴=；又∵甲的測試成績數(shù)據極差小，數(shù)據比較集中，∴標準差小，乙的測試成績數(shù)據極差相對大，數(shù)據比較分散，∴標準差大，∴s1＜s2；故選：B．6.已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點．點到平面的距離（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略7.函數(shù)的導函數(shù)圖像如圖所示，則函數(shù)的極小值點個數(shù)有：A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：B8.函數(shù)的導函數(shù)是，若對任意的，都有成立，則A.

B.

C.

D.無法比較參考答案：B略9.已知點F是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據雙曲線的對稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，可得|AF|＜|EF|，將此式轉化為關于a、c的不等式，化簡整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：根據雙曲線的對稱性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0兩邊都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵雙曲線的離心率e＞1∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）故選：B10.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標準方程是（）A．=1 B．C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題意設出橢圓方程并求得a值，再由離心率求得c，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．【解答】解：由題意可設橢圓方程為（a＞b＞0）．且2a=4，∴a=2，又，∴c=1，則b2=a2﹣c2=3．∴橢圓的標準方程是．故選：A．【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若且，則復數(shù)=

參考答案：或12.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，當x＞2時k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，則整數(shù)k最大值為．參考答案：5【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等價于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對一切x∈（2，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉化為求函數(shù)的最小值問題，利用導數(shù)即可求得，即可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因為當x＞2時，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2對一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式轉化為k＜+2對任意x＞2恒成立．設p（x）=+2，則p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），則r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上單調遞增．因為r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實根x0，且滿足x0∈（9，10），當2＜x＜x0時，r（x）＜0，即p′（x）＜0；當x＞x0時，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函數(shù)p（x）在（2，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整數(shù)k的最大值是5．故答案為：5．13.若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：（e2，+∞）14.若數(shù)列的通項公式，記，試通過計算的值，推測出

參考答案：略15.已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，橢圓的右準線與x軸交于點M，若為正三角形，則橢圓的離心率等于_________.參考答案：【分析】先求出FQ的長，在直角三角形FMQ中，由邊角關系得，建立關于離心率的方程，解方程求出離心率的值.【詳解】解：由已知得：，因為橢圓的方程為，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，橢圓的右準線與x軸交于點M，若為正三角形，所以，所以，故答案：.16.在擲一次骰子的游戲中，向上的數(shù)字是1或6的概率是____________.參考答案：略17.設為曲線上的點，且曲線在點處切線的傾斜角取值范圍是，則點縱坐標的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題P：在R上定義運算?：x?y=（1﹣x）y．不等式x?（1﹣a）x＜1對任意實數(shù)x恒成立；命題Q：若不等式≥2對任意的x∈N*恒成立．若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點：復合命題的真假．專題：簡易邏輯．分析：（1）由題意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命題P為真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0對任意實數(shù)x恒成立，對1﹣a分類討論：當1﹣a=0時，直接驗證；當1﹣a≠0時，，解出即可．（2）若命題Q為真，不等式≥2對任意的x∈N*恒成立，可得（x2+ax+6）≥2（x+1）對任意的x∈N*恒成立，即對任意的x∈N*恒成立，利用基本不等式的性質即可得出．由于P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，可得P，Q中必有一個真命題，一個假命題．解答：解：（1）由題意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命題P為真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0對任意實數(shù)x恒成立，∴①當1﹣a=0即a=1時，1＞0恒成立，∴a=1；②當1﹣a≠0時，，∴﹣3＜a＜1，綜合①②得，﹣3＜a≤1．若命題Q為真，∵x＞0，∴x+1＞0，則（x2+ax+6）≥2（x+1）對任意的x∈N*恒成立，即對任意的x∈N*恒成立，令，只需a≥f（x）max，∵，當且僅當，即x=2時取“=”．∴a≥﹣2．∵P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，∴P，Q中必有一個真命題，一個假命題．若P為真Q為假，則，﹣3＜a＜﹣2，若P為假Q為真，則，∴a＞1，綜上可得a取值范圍：﹣3＜a＜﹣2或a＞1．點評：本題考查了簡易邏輯的判定、不等式的解法、很殘酷問題的等價轉化方法、分類討論思想方法、基本不等式的性質、不等式的解集與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19.已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．參考答案：【考點】不等式的證明；基本不等式；等比數(shù)列的性質．【分析】左邊減去右邊等于2（ab+bc﹣ac），用等比數(shù)列的定義以及基本不等式可得a+c＞b，進而推出2（ab+bc﹣ac）＞0，從而證得不等式成立．【解答】證明：∵a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac）．∵a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac≤，開方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AC，設AC∩BD=O，連接EO，證明PA∥OE，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面EDB．（2）證明BC⊥平面PDC．推出BC⊥DE．證明DE⊥PC，得到DE⊥平面PBC，說明DE⊥PB．結合EF⊥PB，證明PB⊥平面DEF．【解答】證明：（1）連接AC，設AC∩BD=O，連接EO，∵ABCD是正方形，∴O為AC的中點，∴OE為△PAC的中位線，∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，∴△PDC為等腰三角形，∴DE⊥PC又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF．21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，離心率，且過，（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線與雙曲線交于兩點，求證：。參考答案：設雙曲線的標準方程為，代入點雙曲線的標準方程為（2）由（1），，

22.（16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（1，），橢圓上頂點為A，過點A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點B，C（不同于點A），設直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標準方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得求出橢圓的方程．（2）設切線方程為y=kx+1，則（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，設兩切線AB，AD的斜率為k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進而得到直線．（3）設B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設經過點A所作的圓的切線方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直線BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得c=，a=2，b=1．∴橢圓的標準方程為=1．（2）A（0，1），設經過點A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為