浙教版2023年七年級數(shù)學(xué)下冊第5章分式5.5第1課時分式方程及其解法練習(xí)(含答案)

5.5分式方程第1課時分式方程及其解法知識點1分式方程的定義只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？(1)eq\f(x－4,0.2)－eq\f(x＋3,0.5)＝1.6；(2)2－eq\f(6－x,2)＝2x；(3)eq\f(8,x2－1)＋1＝eq\f(x＋8,x－1)；(4)x＋3＋eq\f(1,x＋1)＝4＋eq\f(1,x－1).知識點2解分式方程解分式方程的步驟：(1)分式方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)解這個整式方程，得出未知數(shù)的值；(3)檢驗所得到的值是不是原分式方程的根；(4)寫出答案．使分式方程的分母為零的根是增根，增根使分式方程無意義，應(yīng)該舍去．[注意]檢驗是解分式方程的一個十分重要的步驟，切不可省略．2．解分式方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x)的步驟：(1)去分母，方程兩邊同乘________，得整式方程____________；(2)解這個整式方程，得x＝________；(3)檢驗：把x＝________代入最簡公分母x(x－3)，得x(x－3)________(填“＝0”或“≠0”)，所以x＝________是原分式方程的解．探究一解分式方程[教材例2變式題]解下列方程：(1)eq\f(2,x)＝eq\f(3,x＋1)；(2)eq\f(x,3x－1)＝2－eq\f(1,1－3x)；(3)eq\f(x,x－1)－eq\f(2,x2－1)＝1.[歸納總結(jié)]解分式方程時，要注意以下幾點：①不要忘記驗根；②去分母時不要漏乘整式項；③當(dāng)分式的分子是多項式時，去分母后不要忘記添括號．探究二利用分式方程的增根求字母系數(shù)的值[教材例題補充題]若關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根，則m的值是()A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3[歸納總結(jié)]利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步驟進行：(1)先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)令最簡公分母為0確定增根；(3)將增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值．探究三利用分式方程根的取值范圍確定字母系數(shù)的取值范圍[教材例題補充題][2023·荊州]若關(guān)于x的分式方程eq\f(m－1,x－1)＝2的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是()A．m>－1B．m≥1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠1[歸納總結(jié)]確定根的取值范圍時，要去掉使分式方程產(chǎn)生增根的情況．[反思]下面是小馬虎同學(xué)解分式方程的步驟，你認為他的解法正確嗎？如果不正確，請指出錯在哪里，然后寫出正確答案．解方程：eq\f(2x,2x－1)＝1－eq\f(2,x＋2).解：原方程可化為eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x＋2,x＋2)－eq\f(2,x＋2)，即eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).方程兩邊約去x，得eq\f(2,2x－1)＝eq\f(1,x＋2).去分母，得2x＋4＝2x－1.所以此方程無解．一、選擇題1．在方程eq\f(x＋5,3)＝7，－eq\f(3,x)＝2，eq\f(x＋1,2)－eq\f(x－1,3)＝4，eq\f(3x－9,x)＝1中，分式方程有()A．1個B．2個C．3個D．4個2．把分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(1,x)轉(zhuǎn)化為一元一次方程時，方程兩邊需同乘()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)3．2023·濟寧解分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(x＋2,1－x)＝3時，去分母后正確的為()A．2＋(x＋2)＝3(x－1)B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3D．2－(x＋2)＝3(x－1)4．若x＝3是關(guān)于x的分式方程eq\f(a－2,x)－eq\f(1,x－2)＝0的根，則a的值是()A．5B．－5C．3D．－35．[2023·常德]分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(3x,2－x)＝1的解為()A．x＝1B．x＝2C．x＝eq\f(1,3)D．x＝06．分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(4,x2－1)的解是()A．x＝0B．x＝－1C．x＝±1D．無解7．下列分式方程中，有解的是()A.eq\f(x＋1,x2－1)＝0B.eq\f(x2＋1,x－1)＝0C.eq\f(x＋1,x－1)＝1D.eq\f(（x－1）2,x－1)＝18．對于非零的兩個實數(shù)a，b，規(guī)定ab＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a).若1(x＋1)＝1，則x的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)二、填空題9．解分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x2－1)去分母時，兩邊都乘______________．10．2023·湖州方程eq\f(2x－1,x－3)＝1的根是x＝________．11．若關(guān)于x的分式方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解為x＝3，則a的值為________．12．已知關(guān)于x的方程eq\f(a,x＋1)－eq\f(3,x2－1)＝1有增根，則a的值等于________．三、解答題13．解分式方程：(1)2023·連云港解方程：eq\f(2,x)－eq\f(1,1＋x)＝0；(2)2023·紹興解分式方程：eq\f(x,x－1)＋eq\f(2,1－x)＝4.14．是否存在實數(shù)x，使得代數(shù)式eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)的值與代數(shù)式1＋eq\f(4,x－2)的值相等？15．若關(guān)于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解與方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，求a的值．16．當(dāng)k取何值時，關(guān)于x的分式方程eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)有解？17．若關(guān)于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)－eq\f(3,x)＝1無解，求m的值．1．[規(guī)律探索題]已知：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…(1)根據(jù)這個規(guī)律寫出第n個式子是________________________________________________________________________；(2)利用這個規(guī)律解方程：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋…＋eq\f(1,（x＋9）（x＋10）)＝eq\f(1,x＋10).2.閱讀下面一段話：關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(1,x)＝c＋eq\f(1,c)的解是x＝c或x＝eq\f(1,c)；關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(2,x)＝c＋eq\f(2,c)的解是x＝c或x＝eq\f(2,c)；關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(3,x)＝c＋eq\f(3,c)的解是x＝c或x＝eq\f(3,c)；…(1)寫出方程x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)的解：________；(2)猜想關(guān)于x的分式方程x＋eq\f(m,x)＝c＋eq\f(m,c)(m≠0)的解，并將所得解代入方程檢驗．詳解詳析教材的地位和作用本節(jié)是在學(xué)生認識和學(xué)習(xí)了分式及其基本運算的基礎(chǔ)上介紹分式方程的解法，符合學(xué)生的認知規(guī)律．通過對本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生體驗轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想，同時，本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo)知識與技能1.了解分式方程的概念和增根的概念；2.掌握分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程，會對分式方程進行根的檢驗過程與方法通過分式方程的求解過程，初步體會數(shù)學(xué)研究中的轉(zhuǎn)化思想情感、態(tài)度與價值觀在活動中培養(yǎng)學(xué)生樂于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生努力尋找解決問題的進取心，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值教學(xué)重點難點重點解可化為一元一次方程的分式方程難點增根的概念和對驗根必要性的理解易錯點解分式方程的過程中容易忘記檢驗【預(yù)習(xí)效果檢測】1．[解析]分式方程與整式方程的區(qū)別在于分母中是否含有未知數(shù)．解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程．2．(1)x(x－3)2x＝3(x－3)(2)9(3)9≠09【重難互動探究】例1[解析]首先確定各分母的最簡公分母，然后去分母，解整式方程．解：(1)方程兩邊同時乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x，解得x＝2.經(jīng)檢驗，x＝2是原分式方程的解．(2)方程兩邊同時乘(3x－1)，得x＝2(3x－1)＋1，解得x＝eq\f(1,5).經(jīng)檢驗，x＝eq\f(1,5)是原分式方程的解．(3)方程兩邊同乘(x－1)(x＋1)，得x(x＋1)－2＝(x－1)(x＋1)．去括號，得x2＋x－2＝x2－1.移項、合并同類項，得x＝1.檢驗：當(dāng)x＝1時，(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝1是原分式方程的增根．所以原方程無解．例2A[解析]方程兩邊都乘(x－3)，得2－x－m＝2(x－3)．因為分式方程有增根，所以x＝3，所以2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故選A.例3D[解析]去分母，得m－1＝2x－2，解得x＝eq\f(m＋1,2).由題意得eq\f(m＋1,2)≥0且eq\f(m＋1,2)≠1.解得m≥－1且m≠1.故選D.【課堂總結(jié)反思】[反思]小馬虎的解答不正確，錯在“方程兩邊約去x”這一步．正解：原方程可化為eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).去分母，得2x(x＋2)＝x(2x－1)．去括號，得2x2＋4x＝2x2－x.解得x＝0.經(jīng)檢驗，x＝0是原方程的解．【作業(yè)高效訓(xùn)練】[課堂達標(biāo)]1．[解析]B方程－eq\f(3,x)＝2和eq\f(3x－9,x)＝1中的分母含有未知數(shù)，是分式方程．故選B.2．D3.D4.A5.A6.D7．[解析]D選項A中，當(dāng)x＋1＝0時，x＝－1，而當(dāng)x＝－1時，分母的值等于0，所以該方程無解；選項B中，因為x取任意值，x2＋1≥0恒成立，所以方程無解；選項C中，因為x取任意值，x＋1的值總不等于x－1的值，所以分式eq\f(x＋1,x－1)的值總不等于1，方程無解；選項D中，方程的解為x＝2.8．[解析]D由規(guī)定知，1(x＋1)＝1可化為eq\f(1,x＋1)－1＝1，即eq\f(1,x＋1)＝2，解得x＝－eq\f(1,2).∵－eq\f(1,2)＋1≠0，∴符合條件．故選D.9．[答案](x＋1)(x－1)10．[答案]－211．[答案]5[解析]因為關(guān)于x的方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解為x＝3，所以eq\f(2（3－a）,a（3－1）)＝－eq\f(2,5)，即eq\f(3－a,2a)＝－eq\f(1,5).解這個方程得a＝5.經(jīng)檢驗，a＝5滿足題意．12．[答案]－eq\f(3,2)[解析]方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．∵原方程有增根，∴最簡公分母(x＋1)(x－1)＝0，∴增根是x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝－1時，a＝－eq\f(3,2)；當(dāng)x＝1時，a無解．13．(1)x＝－2(2)x＝eq\f(2,3)14．解：根據(jù)題意，得eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)＝1＋eq\f(4,x－2)，去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，去括號，得x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，移項、合并同類項，得8x＝－16，解得x＝－2.經(jīng)檢驗，x＝－2是原方程的增根，故原分式方程無解．所以不存在滿足條件的實數(shù)x.15．解：由eq\f(x＋4,x)＝3，得x＝2.∵關(guān)于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解與方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，∴把x＝2代入方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1中，得eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1，即eq\f(2a,a＋1)＝3，解得a＝－3.經(jīng)檢驗，a＝－3是方程eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1的根，∴a＝－3.16．解：eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)，方程兩邊同乘x(x－1)，得6x＝x＋k－3(x－1)，∴k＝8x－3.∵原分式方程有解，∴x≠0且x－1≠0，即x≠0且x≠1∴8x－3≠3且8x－3≠5，∴當(dāng)k≠－3且k≠5時，原分式方程有解．17．解：去分母，得x(x－m)－3(x－1)＝x(x－1)，－mx－3x＋3＝－x，整理，得(2＋m)x－3＝0.∵關(guān)于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)