2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)南寧市金光中學高二數(shù)學理測試題

2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)南寧市金光中學高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，則集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故選：C．2.如圖，在一個邊長為的矩形內(nèi)畫一梯形，梯形上、下底分別為與，高為b.向該矩形內(nèi)隨機投一點，則所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為()A.

B.

C. D.參考答案：D3.已知函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線方程是的值是（

）

A．

B．1

C．

D．2參考答案：D4.命題p：函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù).命題q：直線在軸上的截距大于0.若為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得命題為真命題時，，命題為真命題時，，再根據(jù)為真命題，即都是真命題，即可求解.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是增函數(shù)，則，即，即命題為真命題時，則；由直線在軸上的截距為，因為截距大于0，即，即命題為真命題時，則；又由為真命題，即都是真命題，所以實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、直線的截距，以及簡單的復合命題的真假判定與應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.下列運算不屬于我們所討論算法范疇的是（）A．已知圓的半徑求圓的面積B．隨意抽４張撲克牌算到二十四點的可能性C．已知坐標平面內(nèi)兩點求直線方程D．加減乘除法運算法則參考答案：B6.已知實數(shù)，滿足，則目標函數(shù)的最大值為（*）.A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=（

）A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪（3,4）參考答案：B8.當點P在圓x2＋y2＝1上變動時，它與定點Q(3,0)連線段PQ中點的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4

B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1

D．(2x＋3)2＋4y2＝1參考答案：C略9.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則( ) Aac>bc B Ca2>b2 Da3>b3參考答案：D10.在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，，且1+2cos（B+C）=0，則BC邊上的高等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】余弦定理．【分析】由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面積公式，可求BC邊上的高．【解答】解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=﹣，∴B+C=120°，∴A=60°．∵，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即12=8+c2﹣2×2×c×，解得c=+．由△ABC的面積等于bc?sinA=ah，（h為BC邊上的高），∴?2?3?=?2?h，h=1+，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓交于A、B兩點，則AB所在的直線方程是__________________參考答案：2x+y=0略12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是__________．參考答案：[]考點：直線與平面平行的性質(zhì)．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，易證平面A1MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M或N處時A1P最長，位于線段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可求得．解答：解：如下圖所示：分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1，∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四邊形AENA1為平行四邊形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，且A1P∥平面AEF，則P必在線段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN為等腰三角形，當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M、N處時A1P最長，A1O===，A1M=A1N=，所以線段A1P長度的取值范圍是[]．故答案為：[]．點評：本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造平行平面尋找P點位置13.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(-1,0)與F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：（1）曲線C過坐標原點；（2）曲線C關(guān)于坐標原點對稱；（3）若點p在曲線C上，則三角形F1PF2的面積不大于。其中所有正確結(jié)論的序號是______參考答案：(2)，(3)略14.設(shè)a，b，a+2b=3，則最小值是

；參考答案：1+15.在空間直角坐標系Oxyz中，y軸上有一點M到已知點A（4，3，2）和點B（2，5，4）的距離相等，則點M的坐標是．參考答案：（0，4，0）【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)點M在y軸上，設(shè)出點M的坐標，再根據(jù)M到A與到B的距離相等，由空間中兩點間的距離公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐標．【解答】解：設(shè)M（0，y，0）由題意得42+（3﹣y）2+4=4+（5﹣y）2+42解得得y=4故M（0，4，0）故答案為：（0，4，0）．【點評】考查空間兩點間的距離公式，空間兩點的距離公式和平面中的兩點距離公式相比較記憶，利于知識的系統(tǒng)化，屬基礎(chǔ)題．16.甲、乙兩人下棋，已知甲獲勝的概率為0.3，且兩人下成和棋的概率為0.5，則乙不輸?shù)母怕蕿開_____________．參考答案：0.7.【分析】乙不輸分兩種情況：乙贏或兩人和棋.由條件確定乙贏的概率，可得答案.【詳解】因為甲獲勝的概率為0.3，且兩人下成和棋的概率為0.5，所以乙贏的概率為1-0.3-0.5=0.2，所以乙不輸?shù)母怕蕿?.2+0.5=0.7.故答案為0.7.【點睛】本題考查兩個對立事件的概率性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.17.若橢圓的離心率為，則雙曲線的漸近線方程是________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)命題；命題,若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍。參考答案：解：設(shè)，，易知，.由是的必要不充分條件，從而是的充分不必要條件，即，，故所求實數(shù)的取值范圍是

略19.已知四棱錐S﹣ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分別為AB，AS中點．（1）求證：BC⊥平面SAB；（2）求證：MN∥平面SAD；（3）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）證明SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，即可證明BC⊥平面SAB；（2）取SD中點P，利用三角形的中位線的性質(zhì)證得AMNP是平行四邊形，可得MN∥AP．再根據(jù)直線和平面平行的判定的定理證得MN∥平面SAD．（3）由條件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根據(jù)S表面積=2S△SAB+2S△SBC+SABCD運算求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB；（2）證明：取SD中點P，連接MN、NP、PA，則NP=CD，且NP∥CD，又∵AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四邊形，∴MN∥AP，∵AP?平面SAD，MN?平面SAD∴MN∥平面SAD；（3）解：∵BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，又∵SB=a，∴S表面積=2S△SAB+2S△SBC+SABCD=．20.如圖，曲線C由上半橢圓C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分拋物線C2：y=﹣x2+1（y≤0）連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q（均異于點A，B），若AP⊥AQ，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，設(shè)C1：的半焦距為c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C1的方程為+x2=1（y≥0），設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）設(shè)點P（xp，yp），依題意，可求得點P的坐標為（，）；同理可得點Q的坐標為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用?=0，可求得k的值，從而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半橢圓C1的左右頂點．設(shè)C1：的半焦距為c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C1的方程為+x2=1（y≥0）．易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）設(shè)點P（xp，yp），∵直線l過點B，∴x=1是方程（*）的一個根，由求根公式，得xp=，從而yp=，∴點P的坐標為（，）．同理，由得點Q的坐標為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴?=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．經(jīng)檢驗，k=﹣符合題意，故直線l的方程為y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．21.

(本小題滿分12分)已知數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．

參考答案：17.解：（1）可化為，

即…3分是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列

∴…5分

（2）……K*s#5u………6分…9分…12分

22.已知函數(shù)．（1）對任意實數(shù)x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若函數(shù)f（x）恰有一個零點，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，配方可得最小值，由題意可得m≤f′（x）的最小值，即可得到m的最大值；（2）求出f（x）的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及極值，由題意可得極大值小于0或極小值大于