2021-2022學(xué)年廣東省云浮市岡州中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省云浮市岡州中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f(x)=2x+

(x>0)有(A)最大值8

(B)最小值8

(C)最大值4

(D)最小值4參考答案：B略2.設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；51：函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于a的不等式組可得．【解答】解：設(shè)g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當(dāng)x＜﹣時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣時(shí)，g′（x）＞0，∴當(dāng)x=﹣時(shí)，g（x）取最小值﹣2，當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=﹣1，當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．3.方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】作圖題；分類討論．【分析】當(dāng)m和n同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)m和n異號(hào)時(shí)，拋物線

y2=﹣開口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示雙曲線．【解答】解：方程mx+ny2=0即y2=﹣，表示拋物線，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示橢圓或雙曲線．當(dāng)m和n同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，無符合條件的選項(xiàng)．當(dāng)m和n異號(hào)時(shí)，拋物線

y2=﹣開口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示雙曲線，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)曲線的方程判斷曲線的形狀，體現(xiàn)了分類頭論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解題的關(guān)鍵．4.如右圖所示，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)M是CD邊的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P沿著A﹣B﹣C﹣M運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P經(jīng)過的路程x為自變量，三角形APM的面積函數(shù)的圖象形狀大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】隨著點(diǎn)P的位置的不同，討論三種情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分別建立面積的函數(shù)，分段畫出圖象即可．【解答】解：根據(jù)題意得f（x）=，分段函數(shù)圖象分段畫即可，故選A．5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．8

B．9

C.10

D．11參考答案：C6.

已知三角形的三邊分別為，內(nèi)切圓的半徑為，則三角形的面積為；四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為。類比三角形的面積可得四面體的體積為（

）。A.

B.C.

D.參考答案：B7.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，，且時(shí)，導(dǎo)函數(shù)分別滿足，，則時(shí)，成立的是（

）A.

B.C.

D.參考答案：B在上為奇函數(shù)在上為增函數(shù)在為增函數(shù)即同理可得時(shí)，。故選B。8.(

)A.

0

B.1

C.2

D.參考答案：A略9.若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為A． B． C．

D．參考答案：A，∴，∴，則復(fù)數(shù)．10.已知點(diǎn)F（﹣c，0）（c＞0）是雙曲線的左焦點(diǎn)，離心率為e，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2+y2=c2交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y2=4cx上，則e2=(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖，設(shè)拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，P（x，y）．由題意可知FF′為圓x2+y2=c2的直徑，∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=，|FF′|=2c，滿足，將①代入②得x2+4cx﹣c2=0，則x=﹣2c±c，即x=（﹣2）c，（負(fù)值舍去）代入③，即y=，再將y代入①得，=e2﹣1即e2=1+=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

參考答案：12.若關(guān)于x的不等式x2－ax－a>0的解集為(－∞，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.參考答案：(－4,0)解析：△=a2+4a<0.13.不等式：

。參考答案：略14.如果，，那么是的

▲

.(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填空)參考答案：充分不必要略15.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是

；參考答案：假設(shè)三內(nèi)角都小于60度；16.從一批含有13只正品,2只次品的產(chǎn)品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,設(shè)抽取次品數(shù)為,則=____________.參考答案：3抽取次品數(shù)滿足超幾何分布：，故，，，其期望，故.

17.已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，則滿足f（ex）＜0的x的取值范圍為．參考答案：（0，1）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，在x=e﹣1時(shí)，函數(shù)取得極小值，∵f（1）=0，f（e）=0，∴不等式f（x）＜0的解為1＜x＜e，則f（ex）＜0等價(jià)為1＜ex＜e，即0＜x＜1，故答案為：（0，1）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F(xiàn)為線段A′D的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面A′BC；(2)求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．參考答案：(1)證明：取A′C的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB，則FM∥DC，且FM＝DC，又EB∥DC，且EB＝DC，從而有FM綊EB，所以四邊形EBMF為平行四邊形，故有EF∥MB，又EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，所以EF∥平面A′BC.(2)過B作BO垂直于DE的延長(zhǎng)線，O為垂足，連結(jié)A′O，因?yàn)槠矫鍭′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，所以BO⊥平面A′DE，所以∠BA′O就是直線A′B與平面A′DE所成的角．過A′作A′S⊥DE，S為垂足，因?yàn)槠矫鍭′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，所以A′S⊥平面BCDE，在Rt△A′SO中，A′S＝，SO＝2，所以A′O＝.又BO＝，所以tan∠BA′O＝＝＝，故直線A′B與平面A′DE所成角的正切值為.19.(本題滿分13分)如圖，平面，∥，，，，分別是，的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：，分別是，的中點(diǎn)，。

………（2分）又∥，∥，………（4分） 平面，平面， ∥平面?！?分）（Ⅱ）連結(jié)，。是的中點(diǎn)，，。平面，∥，平面，，又∩，平面?！?分），由（Ⅰ）有∥，又，四邊形為平行四邊形，∥，平面，………………（9分）為與平面所成的角。………………（10分），，。………………（12分）與平面所成角的正弦值是。………………（13分）20.已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程。參考答案：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a>0），短半軸長(zhǎng)為b（b>0），則2b=4，。

2分解得a=4，b=2。

3分因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，且為。

5分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x1，y1），B（x2，y2）,

6分由方程組，消去y，得，

7分由題意，得，8分且