高中數學人教A版2第一章導數及其應用單元測試 名師獲獎

1．4生活中的優(yōu)化問題舉例1．導數應用(一)1．會用導數解決函數中的綜合問題．2．會用導數解決物理中的實際問題．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．導數在幾何中的應用：如求切線問題，要正確求出相應函數的導數，看清題意，如果求過某點的函數的曲線的切線，首先要判斷該點是否在曲線上，再確定切線條數，最后再應用導數求出切線．2．導數在物理中的應用，導數的物理意義：s′(t0)是路程為s(t)的變速直線運動的瞬時速度v(t0)，利用導數的物理意義可求變速直線運動在某時刻的瞬時速度．3．求函數解析式與導數相關的題，要有列方程意識，有幾個參數待定就設法列出幾個方程．想一想：(1)過函數y＝eq\r(x)＋eq\f(1,x)圖象上的點(1，2)作函數圖象的切線，則切線方程為________．(2)某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4的規(guī)律作直線運動，則物體在4s時的瞬時速度為________．(1)解析：y′＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x2)，則切線斜率為，所以，切線方程為k＝y′|x＝1＝－eq\f(1,2)，所以，切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.(2)解析：s′(t)＝6t＋2，所以物體在4s時的瞬時速度為ν＝s′(t)|t＝4＝26.eq\x(自)eq\x(測)eq\x(自)eq\x(評)1．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，則f′(2)＝(A)A．1B．2C．4D．8解析：依題意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，則f′(1)＝－1，所以f′(2)＝4－3＝1，故選A.2．函數f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1時取得極值，則a＝(B)A．2B．3C．4D．53．已知質點M按規(guī)律s＝at2＋3(單位：cm)做直線運動，且質點M在t＝2s時的瞬時速度為8cm/s，則a的值為________．解析：s′＝2at，所以質點M在t＝2s時的瞬時速度為ν＝s′|t＝2＝4a＝8，得a＝2.答案：2eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)1．函數y＝cos2x在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線方程是(D)A．4x＋2y＋π＝0B．4x－2y＋π＝0C．4x－2y－π＝0D．4x＋2y－π＝0解析：y′|x＝eq\f(π,4)＝－2sineq\f(π,2)＝－2，用點斜式求得y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，故選D.2．下列函數在x＝0處沒有切線的是(C)A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝eq\f(1,x)＋2xD．y＝eq\f(1,cosx)解析：因為y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0處沒意義，所以y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0處沒有切線．3．(2023·高考課標全國卷)若存在正數x使2x(x－a)＜1成立，則a的取值范圍是(D)A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－eq\f(1,2x).令f(x)＝x－eq\f(1,2x)，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范圍為(－1，＋∞)，故選D.4．已知一物體的運動方程是s＝6t2－5t＋7，則其在t＝________時刻的速度為19.解析：v(t)＝s′＝12t－5＝19，得t＝2.答案：2eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．已知實數a，b，c，d成等比數列，且曲線y＝3x－x3的極大值點坐標為(b，c)，則ad等于(A)A．2B．1C．－1D．－2解析：y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判斷函數y＝3x－x3在x＝1處取得極大值，因此極大值點的坐標為(1，2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.6．(2023·新課標全國Ⅱ卷)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結論中錯誤的是(C)A．?x0∈R,f(x0)＝0B．函數y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形C．若x0是y＝f(x)的極小值點，則y＝f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調遞減D．若x0是y＝f(x)的極值點，則f′(x0)＝0解析：y＝f(x)的值域為(－∞，＋∞),所以選項A正確；函數f(x)的圖象可以由y＝x3的圖象經過平移和伸縮得到，因為f(x)＝x3是奇函數，所以f(x)的圖象是中心對稱圖形．所以選項B正確；顯然選項C不正確；選項D正確．故選C.7．設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則點P橫坐標的取值范圍為______________．解析：設切點P的橫坐標為x0，且eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(y′))eq\s\do7(x＝x0)＝2x0＋2＝tanα(α為點P處切線的傾斜角)，又因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以0≤2x0＋2≤1，所以x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))8．函數f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1時，有極值10，則a、b的值分別為________．解析：f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函數f(x)的極值點，且在x＝1處的極值為10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，則b＝11；若a＝3，則b＝－3.答案：－4，11或3，－39．已知x∈R，奇函數f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上單調，求實數a，b，c應滿足的條件．解析：∵函數f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函數，可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.∵f′(x)＝3x2－b，又∵函數f(x)在x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞]上單調，∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.∴a＝0，b≤3，c＝0.10．(2023·重慶卷)已知函數f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值．解析：對f(x)求導得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)，由f(x)在點(1，f(1))處切線垂直于直線y＝eq\f(1,2)x知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2，解得a＝eq\f(5,4)；(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(5,4x)－lnx－eq\f(3,2)，則f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(5,4x2)－eq\f(1,x)