福建省寧德市坑底中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

福建省寧德市坑底中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.設(shè)直線FD與平面ABCF所成角為，則的最大值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A在矩形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)。設(shè)，。由，得,即有，由，得。在翻折后的幾何體中，,平面。從而平面平面，又平面平面，則平面。連接,則是直線與平面所成角，即。而，，則。由于，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，其最大值為。故選A。

2.已知直線與圓相切，且與直線平行，則直線的方程是（

）A.

B.或C.

D.或參考答案：D3.已知函數(shù),且,則,,的大小關(guān)系是(

)A.>>

B.<<C.>>

D.>>參考答案：B4.某人制訂了一項(xiàng)旅游計(jì)劃，從7個(gè)旅游城市中選擇5個(gè)進(jìn)行游覽。如果A、B為必選城市，并且在游覽過程中必須按先A后B的次序經(jīng)過A、B兩城市（A、B兩城市可以不相鄰），則有不同的游覽路線（

）A.120種

B.240種

C.480種

D.600種參考答案：D5.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)函數(shù)在處取得極大值，得到在的左右兩邊的單調(diào)性，從而得到的正負(fù)，從而得到在的左右兩邊的正負(fù)，得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，故時(shí)，單調(diào)遞增，所以，時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以的圖像，在時(shí)，在時(shí)，故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)極大值求導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.6.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交的弦長為（

）A.

B.

C.

D.8參考答案：A略7.“l(fā)og2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性分別化簡log2（2x﹣3）＜1，4x＞8，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：log2（2x﹣3）＜1，化為0＜2x﹣3＜2，解得．4x＞8，即22x＞23，解得x．∴“l(fā)og2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要條件．故選：A．8.不等式x2﹣|x|﹣2＜0（x∈R）的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2}參考答案：D【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】把原不等式中的x2變?yōu)閨x|2，則不等式變?yōu)殛P(guān)于|x|的一元二次不等式，求出解集得到關(guān)于x的絕對值不等式，解出絕對值不等式即可得到x的解集．【解答】解：原不等式化為|x|2﹣|x|﹣2＜0因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＜0因?yàn)閨x|+1＞0，所以|x|﹣2＜0即|x|＜2解得：﹣2＜x＜2．故選D．9.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，A點(diǎn)在(4，0)，B點(diǎn)在圓(x–2)2+y2=1上，以AB為邊作正△ABC（A、B、C按順時(shí)針排列），則頂點(diǎn)C的軌跡是（

）（A）圓

（B）橢圓

（C）拋物線

（D）雙曲線的一支參考答案：A10.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外，直線PA與AB、AC所成的角均為arcsin，且AB=AC=，BC=，則異面直線PA與BC的距離是

。參考答案：；12.某桔子園有平地和山地共120畝，現(xiàn)在要估計(jì)平均畝產(chǎn)量，按一定的比例用分層抽樣的方法共抽取10畝進(jìn)行調(diào)查．如果所抽山地是平地的2倍多1畝，則這個(gè)桔子園的平地與山地的畝數(shù)分別為________、________.參考答案：略13.函數(shù)的定義域?yàn)開_______.參考答案：略14.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為_▲_.參考答案：15.以正五邊形ABCDE中A、C為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D、E，則雙曲線的離心率為

。參考答案：略16.已知橢圓C：，則其長軸長為___▲___；若F為橢圓C的右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，P為橢圓C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OBPF的面積的最大值___▲___.參考答案：

(1).

(2).由題意易得：長軸長為；四邊形OBPF的面積為三角形OBF與三角形BFP的面積和，三角形OBF的面積為定值，要使三角形BFP的面積最大，則P到直線BF的距離最大，設(shè)與直線BF平行的直線方程為y=﹣x+m，聯(lián)立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．∵P為C上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，∴取m=，此時(shí)直線方程為y=﹣x+．則兩平行線x+y=1與x+y﹣的距離為d=.．∴三角形BFP的面積最大值為S=．∴四邊形OAPF（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值是=．故答案為：．17.雙曲線的焦距為___________.參考答案：【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a=1,b=,所以可求出c,進(jìn)而可得焦距2c.【詳解】因?yàn)椋詀=1,b=，所以=,所以c=,所以焦距為2c=.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題共12分)把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器(不計(jì)接縫)，設(shè)容器的高為x，容積為.（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為----1分.則

.

-------------------------3分函數(shù)的定義域?yàn)?

-------------------------5分（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).先求的極值點(diǎn).在開區(qū)間內(nèi)，--------------------7分令，即令，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，可能是極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

------------------9分因此是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，所以是的最大值點(diǎn)，并且最大值

即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為.----------12分略19.已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）|x﹣2|，g（x）=2x+x﹣2，其中a∈R．（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；（2）如果對任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（1）利用絕對值的定義，去掉絕對值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，再對分段函數(shù)的每一段研究它的單調(diào)性，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，即分別求f（x）在[0，1]上的最大值和g（x）在[0，2]上的最大值．對于g（x）易判斷出它的單調(diào)性，即可求得g（x）在[0，2]上的最大值；對于f（x），結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論即可求得f（x）在[0，1]上的最大值．列出不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）|x﹣2|，∴，①當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，+∞），f（x）無減區(qū)間；②當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，2），，f（x）的遞減區(qū)間是；③當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是，（2，+∞），f（x）的遞減區(qū)間是．（2）∵對任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，∴f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g（x）=2x+x﹣2單調(diào)遞增，∴g（x）max=g（2）=4．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=﹣（x﹣a）（x﹣2）=﹣x2+（2+a）x﹣2a，①當(dāng)，即a≤﹣2時(shí)，f（x）max=f（0）=﹣2a，∴g（x）max≤f（x）max，即﹣2a≤4，解得a≥﹣2，∴a=﹣2；

②當(dāng)，即﹣2＜a≤0時(shí)，f（x）max=，∴g（x）max≤f（x）max，即，解得﹣2≤a≤6，∴﹣2＜a≤0；

③當(dāng)，即a＞0時(shí)，f（x）max=f（1）=1﹣a，∴g（x）max≤f（x）max，即1﹣a≤4，解得a≥﹣3，∴a＞0．綜合①②③，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，+∞）．20.已知函數(shù)，并設(shè)函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)、的值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則①當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系；②對滿足條件的任意、，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1);(2)①;②.試題分析：(1)先求，再根據(jù)條件可得,可求得；（2）①因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以恒成立，根據(jù)（1）的結(jié)果，可得，再結(jié)合不等式且，所以且，令，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，比較大??；②不等式等價(jià)于

分當(dāng)和兩種情況討論的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈膱D象在處的切線方程為，所以，即，故（2）①因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，即對任意的恒成立，所以，所以，而且，所以且

令，由，知是上的減函數(shù)，故在區(qū)間上，，所以當(dāng)時(shí)，，即②不等式等價(jià)于

而由①知，，當(dāng)，即或時(shí)，因?yàn)?，即，即，得，則或，此時(shí)或，所以或恒成立，故當(dāng)時(shí)，則且，于是原不等式等價(jià)于因?yàn)?，所以，即，則，于是，所以，所以。綜上所述考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值；3.不等式的放縮.21.如圖四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，點(diǎn)E為PD中點(diǎn)．（I）證明：CD⊥平面PAD（II）證明：平面PBC⊥平面PCD（III）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥面PAD．（Ⅱ）如圖以AD的中點(diǎn)為原點(diǎn)，OD、OP方向分別為y軸、z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（1，﹣1，0），C（2，1，0）求出面PBC、面PDC的法向量，利用法向量垂直，得平面PBC⊥平面PCD．（Ⅲ）求出兩個(gè)面的法向量，利用向量夾角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥AD，∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．（Ⅱ）證明：如圖以AD的中點(diǎn)為原