【小學(xué)精品奧數(shù)】中國(guó)剩余定理及余數(shù)性質(zhì)拓展.學(xué)生版

教學(xué)目標(biāo)1.系統(tǒng)學(xué)習(xí)中國(guó)剩余定理和新中國(guó)剩余定理2.掌握中國(guó)剩余定理的核心思想，并靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)撥一、中國(guó)剩余定理——中國(guó)古代趣題（1）趣題一中國(guó)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。（2）趣題二我國(guó)明朝有位大數(shù)學(xué)家叫程大位，他在解答“物不知其數(shù)”問題（即：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？）時(shí)用四句詩(shī)概括出這類問題的優(yōu)秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知．”這首詩(shī)就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國(guó)稱為“中國(guó)剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)輝煌成果．詩(shī)中的每一句話都表示一個(gè)步驟：三人同行七十稀，是說除以3所得的余數(shù)用70乘．五樹梅花廿一枝，是說除以5所得的余數(shù)用21乘．七子團(tuán)圓正月半，是說除以7所得的余數(shù)用15乘．除百零五便得知，是說把上面乘得的3個(gè)積加起來，減去105的倍數(shù)，減得差就是所求的數(shù)．此題的中國(guó)剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，把這3個(gè)結(jié)果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續(xù)減去105，最后所得的整數(shù)就是所求．也就是，，為什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是從何而來？先看70，21，15，105的性質(zhì)：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一個(gè)被3除余a而被5與7整除的數(shù)；21是5除余1，被3與7整除的數(shù)，因此21b是被5除余b，被3與7整除的數(shù)；同理15c是被7除余c，被3、5整除的數(shù)，105是3，5，7的最小公倍數(shù)．也就是說，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數(shù)，這個(gè)數(shù)可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數(shù)．了解了“剩余定理”的秘密后，對(duì)類似于上面的題目，我們都可以用中國(guó)剩余定理來解答．二、核心思想和方法對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由倍數(shù)，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。例題精講模塊一、余數(shù)性質(zhì)綜合【例1】一個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是2，除以5的余數(shù)是1，則這個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)是?！纠?】有一群猴子正要分56個(gè)桃子．每只猴子可以分到同樣個(gè)數(shù)的桃子。這時(shí)．又竄來4只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同樣個(gè)數(shù)的桃子，必須扔掉一個(gè)桃子．則最后每只猴子分到桃子___個(gè)?！眷柟獭恳蝗汉镒臃痔?，桃子共有56個(gè)，每只猴子可以分到同樣多的桃子。但在它們正要分桃時(shí)，又來了4只猴子，于是重新分配這些桃子，結(jié)果每只猴子分到的桃子數(shù)量相同，那么最后每只猴子分到個(gè)桃子?！纠?】一個(gè)小于200的數(shù)，它除以11余8，除以13余10，這個(gè)數(shù)是幾？【鞏固】不足100名同學(xué)跳集體舞時(shí)有兩種組合：一種是中間一組5人，其他人按8人一組圍在外圈；另一種是中間一組8人，其他人按5人一組圍在外圈。問最多有多少名同學(xué)?【例4】5年級(jí)3班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，問上體育課的同學(xué)最少____人?！眷柟獭坑幸粋€(gè)自然數(shù)，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，則這個(gè)數(shù)最小是?！眷柟獭砍杂?，除以余，除以余，除以余，，除以余。最小為。【鞏固】小朋友們要做一次“動(dòng)物保護(hù)”宣傳活動(dòng)，若1人拿3個(gè)動(dòng)物小玩具，則最后余下2個(gè)動(dòng)物小玩具；若1人拿4個(gè)動(dòng)物小玩具，則最后余下3個(gè)動(dòng)物小玩具；若1人拿5個(gè)動(dòng)物小玩具，則最后余下4動(dòng)物小玩具。那么這次活動(dòng)中小朋友至少拿了______個(gè)動(dòng)物小玩具?！眷柟獭啃∨笥褌冏鲇螒?，若3人分成一組，則最后余下2人；若4人分成一組，則最后余下3人；若5人分成一組，則最后余下4人。那么一起做游戲的小朋友至少有人?！纠?】一個(gè)自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個(gè)商數(shù)的和是570，求這個(gè)自然數(shù)．【例6】數(shù)119很奇特：當(dāng)被2除時(shí)，余數(shù)為1；當(dāng)被3除時(shí)，余數(shù)為2；當(dāng)被4除時(shí)，余數(shù)為3；當(dāng)被5除時(shí)，余數(shù)為4；當(dāng)被6除時(shí)，余數(shù)為5．問：具有這種性質(zhì)的三位數(shù)還有幾個(gè)？【鞏固】有一批圖書總數(shù)在1000本以內(nèi)，若按24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若按28本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；若按32本包一捆，則最后一捆是30本．那么這批圖書共有本．【例7】某個(gè)自然數(shù)除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，則這個(gè)數(shù)最小是?！纠?】一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？【鞏固】一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1，除以5余2，除以11余7，問滿足條件的最小自然數(shù)是多少？【例9】是一個(gè)三位數(shù).它的百位數(shù)字是4，能被7整除，能被9整除，問是多少？【例10】一個(gè)八位數(shù)，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知這個(gè)八位數(shù)的前6位是257633，那么它的后兩位數(shù)字是__________。模塊二、中國(guó)剩余定理【例11】“民間流傳著一則故事——‘韓信點(diǎn)兵’．秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)．一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)．苦戰(zhàn)一場(chǎng)，楚軍不敵，敗退回營(yíng)，漢軍也死傷四五百人．忽有后軍來報(bào)，說有楚軍騎兵追來，韓信便急速點(diǎn)兵迎敵．他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名．韓信馬上向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人．”根據(jù)故事中的條件，你能算出韓信有多少將士么？【例12】一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，問滿足條件的最小自然數(shù)____.【例13】一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)．【例14】一個(gè)數(shù)除以3、5、7、11的余數(shù)分別是2、3、4、5，求符合條件的最小的數(shù)．【例15】有連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)、、，它們恰好分別是9、8、7的倍數(shù)，求這三個(gè)自然數(shù)中最小的數(shù)至少是多少？模塊三、余數(shù)性質(zhì)的拓展應(yīng)用——新中國(guó)剩余定理【例16】有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余幾？【例17】如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(不到100個(gè))，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔．他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎?【例18】三個(gè)連續(xù)三位數(shù)的和能夠被13整除，且這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)被9除余4，那么符合條件的三位數(shù)中最小的數(shù)最大是?！纠?9】某小學(xué)的六年級(jí)有一百多名學(xué)生．若按三人一行排隊(duì)，則多出一人；若按五人一行排隊(duì)，則多出二人；若按七人一行排隊(duì)，則多出一人．該年級(jí)的人數(shù)是．【例20】智慧老人到小明的年級(jí)訪問，小明說他們年級(jí)共一百多名同學(xué)，老人請(qǐng)同學(xué)們按三人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，按五人一行排隊(duì)，結(jié)果多出二人，按七人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，老人說我知道你們年級(jí)