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山西省晉中市下莊中學2021-2022學年高三數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若曲線,在點處的切線分別為,且,則實數(shù)a的值為(
)A.-2
B.2
C.
D.參考答案:A略2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a+3)x+2a,對一切實數(shù)a∈[-1,3]時f(x)>1恒成立,實數(shù)x的取值范圍是(
)
A、[-1,3]B、(-5,+∞)C、(-∞,-1)∪(5,+∞)D、(-∞,1)∪(5,+∞)參考答案:C3.已知在中,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A4.等比數(shù)列中,,是數(shù)列前項的和,則為(
)A.
B.
C.
D.16參考答案:B略5.已知非零向量,,若,,則向量和夾角的余弦值為(
)A. B. C. D.參考答案:B【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積的運算律即可求解?!驹斀狻吭O(shè)向量與向量的夾角為,,由可得:,化簡即可得到:,故答案選B?!军c睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算,向量夾角余弦值的求法,屬于基礎(chǔ)題。6.已知拋物線的焦點F到準線的距離為4,若拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是1,則等于A.2
B.3
C.4
D.5
參考答案:B7.函數(shù)f1(x)=,f2(x)=,…,fn+1(x)=,…,則函數(shù)f2015(x)是(
)A.奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B.偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)參考答案:A【考點】函數(shù)奇偶性的判斷.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進行判斷即可.【解答】解:f1(x)=,則f(x)是奇函數(shù)不是偶函數(shù),f2(﹣x)==﹣=﹣f2(x),則f2(x)為奇函數(shù)不是偶函數(shù),f3(﹣x)==﹣=﹣f3(x),則f3(x)為奇函數(shù)不是偶函數(shù),…則由歸納推理可得函數(shù)f2015(x)為奇函數(shù)不是偶函數(shù),故選:A【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8.已知的內(nèi)角所對的邊分別為,若,,則角的度數(shù)為(
)A.120°
B.135°
C.60°
D.45°參考答案:B9.設(shè)命題p:函數(shù)y=f(x)不是偶函數(shù),命題q:函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù),則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】由q?p,反之不成立.例如取f(x)=(x﹣1)2不是偶函數(shù),但是此函數(shù)在R上不單調(diào).【解答】解:命題p:函數(shù)y=f(x)不是偶函數(shù),命題q:函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù),則q?p,反之不成立.例如f(x)=(x﹣1)2不是偶函數(shù),但是此函數(shù)在R上不單調(diào).則p是q的必要不充分條件.故選:B.10.要得到函數(shù)的圖象,只要將函數(shù)的圖象(
)A.向左平移1個單位
B.向右平移1個單位C.向左平移個單位
D.向右平移個單位參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,4},B={2,4},則A∩?UB=.參考答案:{1}【考點】交、并、補集的混合運算.【專題】計算題;集合思想;數(shù)學模型法;集合.【分析】直接利用交、并、補集的混合運算求得答案.【解答】解:∵U={1,2,3,4},B={2,4},∴?UB={1,3},又A={1,4},∴A∩?UB={1}.故答案為:{1}.【點評】本題考查交、并、補集的混合運算,是基礎(chǔ)的計算題.12.(x﹣2y)5(x+3y)4=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,則a0+a8=
.參考答案:﹣2590.【分析】展開(x﹣2y)5(x+3y)4=+…+(﹣2y)5]?[x4+4x3?3y+6x2(3y)2+4x?(3y)3+(3y)4]=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,比較系數(shù)即可的得出.【解答】解:(x﹣2y)5(x+3y)4=+…+(﹣2y)5]?[x4+4x3?3y+6x2(3y)2+4x?(3y)3+(3y)4]=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,則a0+a8=(﹣2)5×34+12﹣10=﹣2590.故答案為:﹣2590.【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)雙曲線C的焦點在x軸上,漸近線方程為,則其離心率為.參考答案:【考點】KB:雙曲線的標準方程.【分析】由雙曲線漸近線方程得b=2a,從而可求c,最后用離心率的公式,可算出該雙曲線的離心率.【解答】解:∵焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為,∴b=a,∴c==a,∴e==.故答案是:.【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì).考查了學生對雙曲線方程基礎(chǔ)知識的掌握和運用.14.已知函數(shù)的定義域為,當時,;當時,;當時,.則__________.參考答案:當時,,所以當時,,故;當時,,所以.當時,,所以,故.15.直線=3的一個方向向量可以是
.參考答案:(﹣2,﹣1)【考點】二階矩陣.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;直線與圓;矩陣和變換.【分析】平面中,直線方程Ax+By+C=0它的一個方向向量是(B,﹣A),由此利用二階行列式展開式能求出直線的一個方向向量.【解答】解:∵直線=3,∴x﹣2y﹣3=0.∴直線=3的一個方向向量可以是(﹣2,﹣1).故答案為:(﹣2,﹣1).【點評】本題考查直線的方向向量的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).16.已知是實數(shù),是純虛數(shù),則__________參考答案:117.已知數(shù)列滿足,若,則數(shù)列的通項
.參考答案:∵∴,即∵∴數(shù)列是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列∴∴∴故答案為.點睛:數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法,根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項,由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式,常用的方法有:①求出數(shù)列的前幾項,再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式;②將已知遞推關(guān)系式整理、變形,變成等差、等比數(shù)列,或用累加法、累乘法、迭代法求通項.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的對稱軸方程和最小正周期;(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值和最小值.參考答案:解:(Ⅰ)
(3分)則的對稱軸是,k∈Z,最小正周期是是.(5分)
(Ⅱ)
(8分),所以最大值為,最小值為-2.(10分)略19.設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù),其中為實數(shù)①求證:函數(shù)具有性質(zhì),②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì),給定,,且,若||<||,求的取值范圍。參考答案:解:(1)①∵時,恒成立,∴函數(shù)具有性質(zhì);②當b≤2時,對于x>1,φ(x)=x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1=(x﹣1)2>0所以f′(x)>0,故此時f(x)在區(qū)間(1,+∞)上遞增;當b>2時,φ(x)圖象開口向上,對稱軸x=>1,方程φ(x)=0的兩根為:,而,,當x∈(1,)時,φ(x)<0,f′(x)<0,故此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞減;同理得:f(x)在區(qū)間[,+∞)上遞增.綜上所述,當b≤2時,f(x)在區(qū)間(1,+∞)上遞增;當b>2時,f(x)在(1,,)上遞減;f(x)在[,+∞)上遞增.(2)由題設(shè)知,函數(shù)g(x)得導(dǎo)數(shù)g′(x)=h(x)(x2﹣2x+1),其中h(x)>0對于任意得x∈(1,+∞)都成立∴當x>1時,g′(x)=h(x)(x﹣1)2>0,從而g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增①m∈(0,1),α=mx1+(1﹣m)x2>mx1+(1﹣m)x1=x1α<mx2+(1﹣m)x2=x2∴α∈(x1,x2)同理可得β∈(x1,x2)由g(x)得單調(diào)性可知,g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2))從而有|g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|符合題意②m≤0時,α=mx1+(1﹣m)x2≥mx2+(1﹣m)x2=x2β=(1﹣m)x1+mx2≤(1﹣m)x1+mx1=mx1于是由α>1,β>1及g(x)得單調(diào)性可知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α)∴|g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|與題設(shè)不符③m≥1時,同理可得α≤x1,β≥x2,進而可得|g(α)﹣g(β)|≥|g(x1)﹣g(x2)|與題設(shè)不符,綜合①②③可得m∈(0,1)略20.(本小題滿分16分)設(shè)t>0,已知函數(shù)f(x)=x2(x-t)的圖象與x軸交于A、B兩點.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線的斜率為k,當x0∈(0,1]時,k≥-恒成立,求t的最大值;(Ⅲ)有一條平行于x軸的直線l恰好與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個不同的交點C,D,若四邊形ABCD為菱形,求t的值.參考答案:解:(Ⅰ)f′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)>0,因為t>0,所以當x>或x<0時,f′(x)>0,所以(-∞,0)和(,+∞)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;當0<x<時,f′(x)<0,所以(0,)為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
4分(Ⅱ)因為k=3x02-2tx0≥-恒成立,所以2t≤3x0+恒成立,
6分因為x0∈(0,1],所以3x0+≥2=,即3x0+≥,當且僅當x0=時取等號.所以2t≤,即t的最大值為.
8分(Ⅲ)由(Ⅰ)可得,函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值0,在x=處取得極小值-.因為平行于x軸的直線l恰好與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個不同的交點,所以直線l的方程為y=-.
10分令f(x)=-,所以x2(x-t)=-,解得x=或x=-.所以C(,-),D(-,-).
12分因為A(0,0),B(t,0).易知四邊形ABCD為平行四邊形.AD=,且AD=AB=t,所以=t,解得:t=.16分21.(本小題滿分12分)在四棱錐中,平面,是的中點,,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.參考答案:(Ⅰ)取的中點,連接,,則∥.因為所以.………………1分因為平面,平面所以又所以⊥平面
……………3分因為平面,所以⊥;又∥,所以;又因為,;所以⊥平面……………5分
因為平面,所以
…………6分(注:也可建系用向量證明)(Ⅱ)以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.則,,,,,,.………………8分設(shè)平
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