第1講(矩陣的概念與基本運算)

第三章矩陣主要內(nèi)容：

3.1矩陣的概念及運算

3.2逆矩陣

3.3矩陣的分塊

3.4初等矩陣

2.2矩陣的秩1、線性方程組的解取決于，將系數(shù)與常數(shù)項按原位置排成對線性方程組的研究可轉化為對這張表的研究.系數(shù)常數(shù)項一、矩陣的引入第1節(jié)矩陣的概念

定義

由個數(shù)排成一個行列的數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱矩陣，記作二、矩陣的定義稱為矩陣的

元.元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.注：１、只有一行的矩陣稱為行矩陣,只有一列的矩陣稱為列矩陣.２、３、行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為ｎ階方陣.４、若，且，稱兩矩陣同型.５、稱為方陣的行列式.定義

如果兩個矩陣A,B有：1）相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，2）對應位置上的元素均相等，則稱矩陣A與B相等，記A=B。三、幾種特殊的矩陣１、零矩陣個元素全為零的矩陣稱為零矩陣.注意：不同的零矩陣未必相等的.記作或.２、對角矩陣主對角線以外的元素全為零的方陣稱為對角陣.不全為0記作３、單位矩陣主對角線上的元素全為1的對角陣稱為單位陣.全為1記作4、數(shù)量矩陣記作全為主對角線上的元素全為k的對角陣稱為數(shù)量陣.5、三角矩陣上三角矩陣下三角矩陣上三角矩陣與下三角矩陣統(tǒng)稱為三角陣.對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應相等.如6、對稱矩陣定義設為階方陣，若，即，那么稱為對稱矩陣.定義設為階方陣，若，即，那么稱為反對稱矩陣.反對稱矩陣的主要特點是:主對角線上的元素為0,其余的元素關于主對角線互為相反數(shù).如反對稱矩陣矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題：

矩陣與行列式有本質的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.解答：一、矩陣的加法1、定義注意:只有同型矩陣才能進行加法運算.若規(guī)定第2節(jié)矩陣的運算

例2、運算規(guī)律（設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ均是同型矩陣）（1）

（交換律）（2）

（結合律）（3）（4）（5）（減法）二、數(shù)與矩陣的乘法1、定義若規(guī)定例2、運算規(guī)律（設均是矩陣，）（1）（3）（2）（4）三、矩陣的乘法定義

設矩陣A的列數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同，則由元素構成的m行n列的矩陣，稱為矩陣A與B的積，記為C=A·B,或AB.

2）矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)。3）乘積C的第i行第j列的元素Cij等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對應元素乘積之和。

由這個定義可知：1）如果矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，則A與B可以相乘。

3、矩陣相乘的三大特征（1）無交換律（2）無消去律（3）若4、運算規(guī)律（假定所有運算合法，是矩陣，

）（1）（2）（3）（4）（5）定義對于矩陣，若，稱與可交換.例7設，求的所有可交換矩陣.解設，于是即建立方程組得所以把矩陣的行列互換得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例四、矩陣的轉置1、定義2、相關性質（假定所有運算合法，是矩陣，）（1）（2）（4）（3）（5）當A是n階方陣時，

方陣的冪：設A是n階方陣，k是自然數(shù)，k個A連乘稱為A的k次冪，記作Ak，即

相關結論：

其中為正整數(shù)．五、方陣的冪

由于矩陣乘法不滿足交換律，對于兩個同階方陣