高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步學(xué)業(yè)分層測評24

學(xué)業(yè)分層測評(二十四)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點P在z軸上，且PA＝PB，則點P的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)P(0,0，c)，由題意得eq\r(0－12＋0＋22＋c－12)＝eq\r(0－22＋0－22＋c－22)，解得c＝3，∴點P的坐標(biāo)為(0,0,3)．【答案】(0,0,3)2．已知平行四邊形ABCD，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，則頂點D的坐標(biāo)為__________．【解析】由平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)知，AC的中點即為BD的中點，AC的中點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1)).設(shè)D(x，y，z)，則eq\f(7,2)＝eq\f(x＋2,2)，4＝eq\f(－5＋y,2)，－1＝eq\f(1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，∴D(5,13，－3)．【答案】(5,13，－3)3．△ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖2-3-13所示，則BC邊上的中線的長是________．圖2-3-13【解析】BC的中點坐標(biāo)為(1,1,0)．又A(0,0,1)，∴AM＝eq\r(12＋12＋－12)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)4．點B是點A(2，－3,5)關(guān)于xOy平面的對稱點，則AB＝________.【解析】點B的坐標(biāo)為B(2，－3，－5)，∴AB＝eq\r(2－22＋－3＋32＋5＋52)＝10.【答案】105．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點P到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點到原點的距離是________．【解析】設(shè)P(x，y，z)，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y2＋z2＝1，,x2＋z2＝1，))∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2)，∴eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)6.圖2-3-14在如圖2-3-14所示的空間直角坐標(biāo)系中，長方體的頂點C′的坐標(biāo)為(4,4,2)，E，F(xiàn)分別為BC，A′B′的中點，則EF的長為________．【解析】由C′(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)．由中點坐標(biāo)公式得，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,0,2)，∴EF＝eq\r(4－22＋2－02＋0－22)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)7．在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點M，使點M到點N(6,5,1)的距離最小，則M點坐標(biāo)為________.【導(dǎo)學(xué)號：60420235】【解析】設(shè)M點坐標(biāo)為(x,1－x,0)，則MN＝eq\r(x－62＋1－x－52＋0－12)＝eq\r(2x－12＋51)≥eq\r(51)(當(dāng)x＝1時，取“＝”)，∴M(1,0,0)．【答案】(1,0,0)8．已知正方體不在同一表面上的兩頂點A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，則正方體的體積是__________．【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則eq\r(3)a＝AB＝eq\r(42＋－42＋42)＝4eq\r(3)，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】64二、解答題圖2-3-159．如圖2-3-15，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足為E，求B1E【解】如圖，以點D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，設(shè)點E的坐標(biāo)為(x，y,0)，在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，直線AC的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0，DE⊥AC，直線DE的方程為x－2y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－2y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5)，0)).∴B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)－4))2＋0－22)＝eq\f(6\r(10),5)，即B1E的長為eq\f(6\r(10),5).10．如圖2-3-16(1)，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4.將矩形ABCD沿對角線BD折起，使得面BCD⊥面ABD.現(xiàn)以D為坐標(biāo)原點，射線DB為y軸的正方向，建立如圖2-3-16(2)所示空間直角坐標(biāo)系，此時點A恰好在xDy平面內(nèi)，試求A，C兩點的坐標(biāo)．圖2-3-16【解】由題意知，在直角坐標(biāo)系D-xyz中，B在y軸的正半軸上，A，C分別在xDy平面、yDz平面內(nèi)．在xDy平面內(nèi)過點A作AE垂直y軸于點E，則點E為點A在y軸上的射影．在Rt△ABD中，由AD＝3，AB＝4，得AE＝eq\f(12,5)，從而ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(9,5).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(9,5)，0))，同理，在yDz平面內(nèi)過點C作CF垂直y軸于點F，則點F為點C在y軸上的射影，CF＝eq\f(12,5)，DF＝eq\f(16,5)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16,5)，\f(12,5))).[能力提升]圖2-3-171．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，點M是B1C1的中點，點N是(1)點D，N，M的坐標(biāo)為________，________，________.(2)MD＝________，MN＝________.【解析】(1)因為D是原點，則D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．∵N是AB的中點，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由兩點間距離公式，得MD＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，MN＝eq\r(1－22＋2－12＋3－02)＝eq\r(11).【答案】(1)(0,0,0)(2,1,0)(1,2,3)(2)eq\r(14)eq\r(11)2．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－4,2,3)，則它在yOz平面上的射影所組成的△A′B′C′的面積是________．【解析】A，B，C三點在yOz平面上的射影為A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△A′B′C′是以B′為直角的Rt△，∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×1×2＝1.【答案】13．三棱錐各頂點的坐標(biāo)分別為(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，則三棱錐的體積為________．【解析】V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1.【答案】1圖2-3-184．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，AB，C1B1，CB(1)在平面ABB1A1中找一點P，使△ABP(2)能否在MN上求得一點Q，使△AQB為直角三角形？若能，請求出點Q的坐標(biāo)，若不能，請予以證明．【解】(1)因為EF是AB邊的中垂線，在平面AB1內(nèi)只有EF上的點與A，B兩點的距離相等，則P必在EF上，設(shè)P(1,2，z)，則由|PA|＝|AB|，得eq\r(1－22＋2－02＋z－02)＝eq\r(0－22＋4－02＋0－02)，即eq\r(z2＋5)＝eq\r(20)，∴z2＝15.∵z∈[0,4]，∴