數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用 畢業(yè)論文

題

目：數(shù)學(xué)思想在中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性及應(yīng)用作

者：指導(dǎo)老師：師范學(xué)院

學(xué)院系數(shù)學(xué)教育專業(yè)093年制2班年4月23日主要內(nèi)容簡(jiǎn)介：“授人以魚，不如授人以漁在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合新課改要求，老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)點(diǎn)，更要教會(huì)學(xué)生自主解決問題的方式方法數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的靈魂。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵主要類型有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想，原理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。

注：1.語(yǔ)、成績(jī)由指導(dǎo)老師填寫。2.語(yǔ)及總評(píng)意見應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無(wú)錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)思想在中數(shù)學(xué)教中的重要性及應(yīng)用摘要

授人以魚，不如授人以漁中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合新課改要求，老師在教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)概念公式等知識(shí)點(diǎn)更要教會(huì)學(xué)生自主解決問題的方式方法。數(shù)學(xué)想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能和方法的靈魂。主要類型有：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用還要結(jié)合原理性的數(shù)學(xué)解題思想理性的數(shù)學(xué)解題思想主要包括：系統(tǒng)思想、辯證思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、建模思想、審美思想。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)解題思想；數(shù)形結(jié)合；系統(tǒng)思想一、數(shù)學(xué)思想在教中的重性（一）新課改中的數(shù)學(xué)思想新課標(biāo)提出初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概念則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法”這表明數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)方法在本質(zhì)上是相互聯(lián)結(jié)的教學(xué)中數(shù)學(xué)思想時(shí)刻都能得到體現(xiàn)和運(yùn)用。長(zhǎng)期以來(lái)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只注重知識(shí)的傳授，卻忽視知識(shí)形成過程中的數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)象非常普遍它嚴(yán)重影響了學(xué)生的思維發(fā)展和能力培養(yǎng)隨著教育改革的不斷深入來(lái)越多的教育工作者是一線的教師們充分認(rèn)識(shí)到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生掌握必備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知;另一方面更要通過數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法更好地理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。只有數(shù)學(xué)思想的形成，才能使學(xué)生受益終生正所謂“授之以魚不如授之以漁”不管他們將來(lái)從事什么職業(yè)和工作數(shù)學(xué)思想方法作為一種解決問題的思維策略都將隨時(shí)隨地有意無(wú)意地發(fā)揮作用。（二數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的重要性數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中培養(yǎng)思想方法因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁是培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。由于數(shù)學(xué)思想的存在使得數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的學(xué)術(shù)知識(shí)點(diǎn)不能用刻板的套路解決各種不同的數(shù)學(xué)問題有充分理解掌握數(shù)學(xué)思想在各種問題上的運(yùn)用，才能更有效地把知識(shí)運(yùn)用得靈活。由此可見，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，就必須重視數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力得學(xué)生更容易理解和更容易記憶數(shù)學(xué)知識(shí)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)特定的事物本質(zhì)屬性借助于基本的數(shù)學(xué)思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為學(xué)不是教出來(lái)的不是簡(jiǎn)單地模仿出來(lái)的，而是靠學(xué)生自主探索研究出來(lái)的要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法應(yīng)將數(shù)學(xué)思想和方法的訓(xùn)練視作教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)有機(jī)組成部分且不能脫離內(nèi)容形式去進(jìn)行孤立地傳授在數(shù)學(xué)課上要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用讓學(xué)生自己主動(dòng)地去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，4343更重要的是發(fā)展學(xué)生的能力使學(xué)生形成優(yōu)良思維素質(zhì)這對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，形成數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。二、教學(xué)中常的數(shù)學(xué)解題想類型（一）轉(zhuǎn)化思想解題過程就是將要解決的問題轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在無(wú)時(shí)不用它的基本出發(fā)點(diǎn)就是使陌生問題熟悉化性問題明朗化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、無(wú)序問題和諧化。1例：設(shè)函數(shù)f()＝3－(1＋a)x2＋4ax＋24，其中常數(shù)>1.3討論f(x)的單調(diào)性；若當(dāng)x≥0時(shí)，()>0恒成立，求a的取值范圍．解析用函數(shù)方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸求f′()＝0的根比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f)的單調(diào)性；(2)將f)>0成立轉(zhuǎn)化為(x的最小值大于0.(1)f′()＝x－2(1＋)＋4a＝(x－2)(x－2)．由已知a>1，∴2>2，∴令f′()>0，解得>2a或x<2，∴當(dāng)x∈(－∞，2)和∈(2a，＋∞)時(shí)，f(x)調(diào)遞增，當(dāng)xa)時(shí)，()單調(diào)遞減．綜上當(dāng)a>1時(shí)()在區(qū)間(－∞，2)和(2a＋上是增函數(shù)在區(qū)間2,2)上是減函數(shù)．(2)由(1)知，當(dāng)x≥0時(shí)，(x)在x＝2a或＝0處取得最小值．1f(2a)＝(2a)3

3

－(1＋a)(2a)

2

＋4a·2a＋24a44＝－a＋4a＋24＝－(－6)(a＋3)，33f＝24a.a>1，由題設(shè)知)>0，f(0)>0，

a>1，即(a＋3)(－6)>0，24a>0，解得1<a<6.故a取值范圍是1,6)．（二）數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合思想就是抓住數(shù)與形之間在本質(zhì)上的聯(lián)系后以“形”直觀表達(dá)“數(shù)”以“數(shù)”精確地研究“形”它可以把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形或把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù)從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的目的數(shù)形結(jié)合思想在解題中的起著非常重要的作用如在課堂教學(xué)時(shí)多問題一旦教師出示了圖形或教具，就會(huì)使得困難的問題簡(jiǎn)單化學(xué)生很容易就從直觀上理解了問題和數(shù)學(xué)概念總之僅有數(shù)的分析或形的直觀都不易單獨(dú)解決的問題數(shù)形結(jié)合既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn),又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。例知向量=(2,0),=(2,2),=(

cosα,

sinα),則向量與的夾角范圍為（）0,4,,12212120,4,,1221212CMC.

A.455解析：為數(shù)配形。如圖所示點(diǎn)A的軌跡是以C(2,2)為圓心,為半徑的圓.過原點(diǎn)O作此圓的切線,切點(diǎn)分別為M,N.連CM、.∵||=2

,∴||=||=

||

.知∠COM==又∵∠=∴∠=

,6

4

12∠NOB=

512

π.選D三）方程思想

例題解圖方程的思想是對(duì)于一個(gè)問題用方程解決的應(yīng)用，也是對(duì)方程概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來(lái)觀察處理問題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。當(dāng)一個(gè)問題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。例：在水平線上一點(diǎn)C，測(cè)得山頂A的仰角為，向山沿直線前進(jìn)20米到D處，再測(cè)山頂A的仰角為45°，求山高AB。解析：（1）在Rt△ABC和Rt△ABD中，都沒有兩個(gè)已知元素，故不能直接解一個(gè)三角形來(lái)求出AB。（2）考慮AB是兩直角三角形的直角邊，而CD是兩直角三角形的直角邊，而均不是兩個(gè)直角三角形的直角邊，但＝BD，啟以學(xué)生設(shè)AB＝X，通過

列方程來(lái)解，然后板書解題過程。（3）應(yīng)用未知數(shù)，用方程的思想解決問題。解：設(shè)山高AB米在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°∵BD＝AB＝x（米）在Rt△ABC中，＝AB/BC∴BC＝AB/tgC（米）∵CD＝BC－BD∴3x－x＝20

解得x＝10米答：山高AB是米（四）分類討論思想分類思想即根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分成為不同種類的思想方法在解題過程中當(dāng)條件或結(jié)論不是唯一時(shí)就會(huì)產(chǎn)生幾種可能性，需要進(jìn)行分類討論。分類要不重不漏，做到學(xué)合理。例：已知橢圓離為．（1）求橢圓C的方程；

的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距（2）設(shè)直線l與橢圓交于A兩點(diǎn)，坐標(biāo)原O到直線l的距離為

，求

面積的最大值．解析圓錐曲線方程的確定要了解其中參數(shù)字母具有的幾何意義掌握字母間的基本關(guān)系．（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，∴所求橢圓方程為．（2）設(shè)，．①當(dāng)

軸時(shí)，．②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為．由已知，得．把

代入橢圓方程，整理得，，．．當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)

時(shí)，，綜上所述．∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，

面積取最大值．三、原性的數(shù)學(xué)解思想類（一）系統(tǒng)思想從系統(tǒng)論來(lái)看一道數(shù)學(xué)題可構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)所以在系統(tǒng)論中的整體意識(shí)和“黑箱方法”在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用。整體意識(shí)在數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用，是指對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該重點(diǎn)著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)而不只是它的局部特征然后應(yīng)通過全面而深刻的考察從宏觀上去理解和認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì)，挖掘和發(fā)現(xiàn)出已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的地位和作用，以求找到求解問題的思路。從解題角度而言，題目就是一個(gè)“黑箱”，解題就是通過對(duì)“黑箱”進(jìn)行信息輸入和輸出來(lái)探究出“黑箱”的內(nèi)部性態(tài)比如待定系數(shù)法反例法歸納法等解題策略以及用于解答開放性或探索性問題的探索結(jié)論過程這些都是黑箱方法的典型運(yùn)用。（二）辯證思想辨證思想的運(yùn)用，往往會(huì)體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：、非線性結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換；2、已知與未知的轉(zhuǎn)換；3、常量與變量的轉(zhuǎn)換；、正面與反面的轉(zhuǎn)換；5、靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)換；6、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換；7、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)換。（三）運(yùn)動(dòng)變化思想在數(shù)學(xué)解題過程當(dāng)中，運(yùn)動(dòng)變化思想分為以下三種類型：、化靜為動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)變化中理解數(shù)學(xué)對(duì)象的變化發(fā)展過程；2、動(dòng)中寓靜，從不變中把握數(shù)學(xué)對(duì)象變化的本質(zhì)特征；3、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，充分揭示運(yùn)動(dòng)形態(tài)間的互相聯(lián)系。（四）建模思想這是指把實(shí)際問題進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”處理，將實(shí)際問題抽象為模型化的數(shù)學(xué)問題以揭示實(shí)際問題的本質(zhì)如此不僅能解決具體的實(shí)際問題還能鍛煉應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力因此數(shù)學(xué)建摸的思想與方法日益受到人們重視具體的建模分成以下幾種類型：1、建立代數(shù)函數(shù)模型；2、建立解析幾何模型；3、建立平面幾何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函數(shù)模型。（五）審美思想數(shù)學(xué)美具備著簡(jiǎn)潔性對(duì)稱性一性和諧性以及奇異性從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)家往往因?yàn)樽非髷?shù)學(xué)美而獲取了許多新發(fā)現(xiàn)不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展而在數(shù)學(xué)解題中則可通過數(shù)學(xué)審美而獲得數(shù)學(xué)美的直覺促使題感經(jīng)驗(yàn)與審美直覺相配合，激活思維中的關(guān)聯(lián)因素