差分方程建模示例人口增長模型

差分方程建模示例人口增長模型第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

這是一個(gè)如下線性映射的迭代

f(x)=ax從而

xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0

Malthus的結(jié)論：人口增長呈幾何級數(shù)

約35年增加一倍，與1700－1961年世界人口統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致與近年統(tǒng)計(jì)結(jié)果有誤差，由a>1,xn趨向無窮，模型在人口長期預(yù)測方面必定是失效的.第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日.●

Logistic模型生存資源是重要的因素，修改的模型為：xn+1

－xn=rxn－

bxn2其中－bxn2為競爭或約束項(xiàng)，r、b稱生命系數(shù)記a=r+1，那么

xn+1=axn-bxn2數(shù)據(jù)觀察

(迭代計(jì)算與國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)表數(shù)字比較)基本接近存在極限值這是一個(gè)如下非線性映射的迭代

f(x)=ax-bx2第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日四．問題的討論和分析●

Logistic映射通過變量代換簡化為logistic映射

f(x)=ax(1-x)，

x在[0,1]內(nèi)變化相應(yīng)的迭代為

xn+1=axn(1-xn)

從[0,1]內(nèi)點(diǎn)x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成了一個(gè)序列，即xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}稱為x0的軌道第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日●數(shù)值迭代1．倍周期分叉現(xiàn)象■當(dāng)0<a<1時(shí)，由于0<xn<axn+1

xn

→0物種逐漸滅亡■當(dāng)1<a<3時(shí)，任何(0,1)中初始值的軌道趨于

x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f的不動(dòng)點(diǎn)(周期1點(diǎn))例：a=1.5時(shí)

xn→1/3.兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1*,

x2*,一個(gè)穩(wěn)定(吸引),另一個(gè)不穩(wěn)定，軌道{xn}趨向穩(wěn)定點(diǎn)第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

這兩個(gè)數(shù)滿足■當(dāng)3<a<1+61/2時(shí)，xn

繞著兩個(gè)數(shù)x3*，x4*振動(dòng),例a=3.2x2k-1→0.799455x2k

→o.513045■當(dāng)1+61/2<a<3.5440903506…時(shí),從任意的點(diǎn)x0出發(fā)的軌道將逐漸沿著四個(gè)數(shù)值振動(dòng)例a=3.45

x4k→0.44391661x4k+1

→0.84768002x4k+2

→

0.44596756

x4k+3

→0.85242774也稱為周期2點(diǎn),對應(yīng)軌道稱周期2軌道.(原來周期點(diǎn)失穩(wěn))第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日這四個(gè)數(shù)滿足稱為周期4點(diǎn)，對應(yīng)軌道稱周期4軌道(原有周期點(diǎn)又失穩(wěn))

若a再增大，周期4點(diǎn)又會(huì)失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的穩(wěn)定周期8點(diǎn)，這個(gè)周期不斷加倍的過程將重復(fù)無限次，會(huì)依次出現(xiàn)周期16點(diǎn)，周期32點(diǎn)….，(請考慮什么是周期n)這種過程稱為倍周期分叉.相應(yīng)的分叉值c1=3,c2=1+61/2…構(gòu)成一個(gè)單調(diào)增加的數(shù)列{ck}.其極限值為c*=3.569945557391…。分叉值如何求?第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日任務(wù)：求分叉值和畫分叉圖依賴于數(shù)值方法第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日2．渾沌與遍歷性當(dāng)c*<a<4時(shí)，Logistic映射進(jìn)入渾沌區(qū)域.反映出的是：■遍歷性：點(diǎn)x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期軌道,它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何一個(gè)子區(qū)間(a,b)內(nèi)都會(huì)出現(xiàn)無數(shù)次.這是渾沌的

■敏感性：

軌道表現(xiàn)出對初始條件的強(qiáng)烈敏感性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的軌道也終將以某種方式分離.■存在周期小窗口渾沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

Feigenbaum常數(shù)比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趨于無窮時(shí)，趨于常數(shù)

q=4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口也適用，還適用其他映射任務(wù)：驗(yàn)證遍歷性、敏感性周期3窗口的分叉、(結(jié)合Feigenbaum常數(shù)

)五.圖象方法●蛛網(wǎng)迭代在以xn為橫坐標(biāo)、xn+1為縱坐標(biāo)的第一象限作拋物線弧：

xn+1＝a

xn(1-xn)第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

作圖的過程第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

任取(0,1)中的點(diǎn)x0,可以通過作圖來取得迭代的數(shù)值序列{xn},從而也通過圖象直觀地看出由x0出發(fā)的軌道的變化.這作圖的過程頗象蜘蛛織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代.

第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

1<a<3從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動(dòng)點(diǎn)(周期1點(diǎn))第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

■3<a<61/2+1

從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點(diǎn)第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日■61/2+1<a<

3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點(diǎn)第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

a=3.58軌道進(jìn)入渾沌狀態(tài)第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

a=4軌道的渾沌性表現(xiàn)充分第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日蛛網(wǎng)迭代的優(yōu)點(diǎn)是軌道非常直觀形象.缺點(diǎn)是當(dāng)周期數(shù)較大時(shí)不易看清軌道變化細(xì)節(jié)●密度分布圖■密度

從一個(gè)初始點(diǎn)x0出發(fā)，由迭代所產(chǎn)生的序列{xn}(n一般很大)在區(qū)間[0,1]上的概率分布密度.■具體算法將[0,1]區(qū)間分成m個(gè)長度為h=1/m的小區(qū)間，序列{xn}nN=0落在各個(gè)小區(qū)間[ih,(i+1)h]的個(gè)數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為pi=ki/N

i=0,1,2,…,m第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日■密度圖

橫軸為區(qū)間[0,1],縱軸為概率p.每個(gè)小區(qū)間上的細(xì)柱線的高度等于該區(qū)間上密度■

a=3.2(m=100N=10000x0=0.1)第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

a=3.45(這是周期4情況)(這是周期2情況)第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日■

a=3.55(周期8的情況)第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日以上密度圖顯示在0<a<c*的情況下,{xn}只有極少數(shù)落在周期點(diǎn)以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點(diǎn)所在的小區(qū)間?！?/p>

a=3.6(進(jìn)入渾沌區(qū))第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日

(最渾沌狀態(tài))■

a=4第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日任務(wù)：用蛛網(wǎng)迭代的方法在計(jì)算機(jī)上作圖,

考察Logstic映射在a逐步變化時(shí)由同一點(diǎn)出發(fā)的軌道情況.任務(wù)：用密度圖的方法在計(jì)算機(jī)上作圖,考察Logstic映射在a逐步變化時(shí)由同一初值點(diǎn)出發(fā)的{xn}的分布.考察映射進(jìn)一步的任務(wù)第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日●試考察當(dāng)a逐漸增大時(shí),

有沒有倍周期分叉情況出現(xiàn)?

求出第一個(gè)分叉值和第二個(gè)分叉值利用Feigenbaum