工程中的數(shù)學(xué)方法

工程中的數(shù)學(xué)方法第一頁，共二十頁，2022年，8月28日引言

機(jī)械裝配過程中，在保證各組成零件適當(dāng)功能的前提下，各組成零件所定義的、允許的幾何和位置上的誤差稱為公差。公差的大小不僅關(guān)系到制造和裝配過程，還極大影響著產(chǎn)品的質(zhì)量、功能、生產(chǎn)效率以及制造成本。公差分析或稱偏差分析，即通過已知零部件的尺寸分布和公差，考慮偏差的累積和傳播，以計(jì)算裝配體的尺寸分布和裝配公差的過程。公差分析的目的在于判斷零部件的公差分布是否滿足裝配功能要求，進(jìn)而評(píng)價(jià)整個(gè)裝配的可行性。

當(dāng)前的公差分析多采用計(jì)算機(jī)輔助的形式，在此基礎(chǔ)上，有多種數(shù)學(xué)建模方式被應(yīng)用。第二頁，共二十頁，2022年，8月28日目錄CATALOGUE公差分析的應(yīng)用與分析難點(diǎn)>計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)>建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究>漂移公差帶模型>虛擬邊界模型>矢量空間模型>齊次變換矩陣法>用戶定義法>第三頁，共二十頁，2022年，8月28日公差分析的應(yīng)用與分析難點(diǎn)Toleranceinformationutilizationandtransferinamanufacturingenterprise可互換性質(zhì)量經(jīng)濟(jì)效益理論幾何形狀與尺寸公差選擇要求和規(guī)范生產(chǎn)制造CAPPCAPP：ComputerAidedProcessPlanning計(jì)算機(jī)輔助工藝過程設(shè)計(jì)檢查實(shí)際配合與性能第四頁，共二十頁，2022年，8月28日公差分析的應(yīng)用與分析難點(diǎn)MMC：MaximumMaterialCondition最大材料條件>LMC：LeastMaterialCondition最小材料條件>Parratt提出最大實(shí)體(MMP)的概念，用以定義在指定公差允許的條件下零件的最大實(shí)體。MMP：MaximumMaterialPartsLMP：LeastMaterialParts>第五頁，共二十頁，2022年，8月28日公差分析的應(yīng)用與分析難點(diǎn)SingularitiesPROBLEM第六頁，共二十頁，2022年，8月28日計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)公差分析是指己知尺寸鏈中各組成環(huán)公差，確定最終裝配后所要保證的封閉環(huán)公差，是設(shè)計(jì)與制造高質(zhì)量產(chǎn)品的關(guān)鍵一步。公差分析的方法主要有兩種:極值法和統(tǒng)計(jì)法公差分析ToleranceAnalysis計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)(ComputerAidedTolerancing,簡(jiǎn)稱CAT)技術(shù)是指在機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、加工、裝配、檢測(cè)等過程中,利用計(jì)算機(jī)對(duì)產(chǎn)品及其零部件的尺寸和公差進(jìn)行并行優(yōu)化和監(jiān)控,力圖用最低的成本設(shè)計(jì)并制造出滿足用戶精度要求的產(chǎn)品。·設(shè)計(jì)階段·制造階段·檢測(cè)階段·性能相關(guān)蒙特卡羅法（MonteCarlosimulationmethod）公差綜合ToleranceSynthesis公差綜合是指在保證產(chǎn)品裝配技術(shù)要求下，規(guī)定各組成環(huán)尺寸的經(jīng)濟(jì)合理的公差,可以看成是從制造和檢測(cè)的角度對(duì)公差設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化和補(bǔ)充。制造階段——CAPP包括選擇機(jī)床和加工過程檢測(cè)階段——測(cè)量偏差與規(guī)范一致性性能相關(guān)——與偏差相關(guān)的性能第七頁，共二十頁，2022年，8月28日建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究漂移公差帶模型此方法是由Requicha提出的，最早的一種用于建立公差帶的數(shù)學(xué)方法。它基于閔科夫斯基和（Minkowskisum）的方法，對(duì)實(shí)體進(jìn)行漂移操作。對(duì)于表面特征和相關(guān)公差信息則運(yùn)用偏差圖（VGraph）來表示。VGraph主要是作為一種分解實(shí)體表面特征的手段，將實(shí)體的邊界部分定義為特征，公差信息則封裝在特征屬性中。漂移公差帶模型很好地表達(dá)了輪廓公差，輪廓公差包含了所有實(shí)際制造過程中的偏差。該模型提供了公差的通用理論且易于實(shí)現(xiàn)，但是不能區(qū)分不同類型的形狀公差。閔科夫斯基和（Minkowskisum）是兩個(gè)歐幾里得空間的點(diǎn)集的和，以德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基命名。點(diǎn)集A與B的閔可夫斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如，平面上有兩個(gè)三角形，其坐標(biāo)分別為A={(1,0),(0,1),(0,?1)}及B={(0,0),(1,1),(1,?1)}，則其閔可夫斯基和為A+B={(1,0),(2,1),(2,?1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,?1),(1,0),(1,?2)}。在CAD中，利用半空間、布爾運(yùn)算，可以得到綜合公差結(jié)果。MMCsolid=（S

t）第八頁，共二十頁，2022年，8月28日建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究虛擬邊界模型Jayaraman和Srinivasan以漂移公差法作為基礎(chǔ)，將裝配件的功能要求描述為虛擬表面的功能要求剛性集臺(tái)。這種用虛擬表面或虛擬半空間的邊界的剛性集合來描述的功能要求的方法稱為虛擬表面法或虛擬邊界要求法(VBRS)。虛擬邊界實(shí)際上是滿足公差定義的零件偏差的極值邊界，所以虛擬邊界模型可用于極值公差分析，但不適用于尺寸鏈復(fù)雜的裝配體。首先，從裝配件的各組成零件的功能集合出發(fā)。抽取每對(duì)理想匹配特征；再對(duì)每對(duì)特征定義一個(gè)合適的虛擬表面；為了術(shù)語(不是實(shí)體邊，包圍)簡(jiǎn)單化和為方便產(chǎn)生軟件量規(guī)(這種軟件量規(guī)可用來直接驗(yàn)證零件的功能)．定義一個(gè)虛擬半空間．使得虛擬表面是虛擬半空間的邊界。為了進(jìn)一步進(jìn)行零件設(shè)計(jì)公差的有效性驗(yàn)證提供加工路線進(jìn)行工序控制。使用統(tǒng)計(jì)公差技術(shù)，又將有位置要求和實(shí)效體積要求的裝配件的VBRS描述的公差轉(zhuǎn)化為條件公差t并且給出了具體的數(shù)學(xué)公式．這些公式可作為零件檢驗(yàn)的軟件量規(guī)。第九頁，共二十頁，2022年，8月28日建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究矢量空間模型在數(shù)學(xué)上，矢量的操作比代數(shù)的操作要方便，而且隨著計(jì)量技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，出現(xiàn)CMM(三坐標(biāo)測(cè)量機(jī))。CMM主要是進(jìn)行點(diǎn)測(cè)量，因此，為了適應(yīng)CMM測(cè)量技術(shù)，可將實(shí)際零件看作空間上的點(diǎn)來處理，提出了矢量公差法。Hoffmann提出了矢量空間模型，Turner擴(kuò)展了這一模型。這種理論適用于公差分析和合成的場(chǎng)合，是公差自動(dòng)化分析系統(tǒng)GEOT的基礎(chǔ)。但是對(duì)于不同零件的定義，就有不同的模型變量類型和數(shù)目，因此不可能存在通用的矢量空間。因此相對(duì)較為麻煩。矢量空間模型首先需要定義公差變量、設(shè)計(jì)變量和模型變量。公差變量表示零件名義尺寸的偏差。設(shè)計(jì)變量由設(shè)計(jì)者確定，用以表示最終裝配體的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。模型變量是控制零件各個(gè)公差的獨(dú)立變量。第十頁，共二十頁，2022年，8月28日建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究齊次變換矩陣法用戶定義法齊次變換矩陣法（HomogeneousTransformationMatrixMethod）基于TTRS模型，利用矩陣求解公差范圍。用戶定義法（User-DefinedToleranceZonesUsingParametricCurves)利用B樣條曲線，進(jìn)行公差范圍求解。Desrocher等從研究建立獨(dú)立于造型系統(tǒng)的公差信息表示模型的角度出發(fā),提出了基于TTRS(TopologicallyandTechnologicallyRelatedSurface,TTRS)的公差信息表示方法。它首先從CAD系統(tǒng)中提取必需的信息,將零件的各表面以二叉樹的形式組織,形成零件的TTRS二叉樹結(jié)構(gòu);然后構(gòu)造此TTRS的最小幾何基準(zhǔn)元(MinimumGeometricDatumElement,MGDE)。第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日Summaryofvariousapproachesfortheconstructionoftolerancezones第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日公差分析方法簡(jiǎn)介公差分析是公差設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，常用的方法主要包括極值法、統(tǒng)計(jì)公差分析法和Monte-Carlo模擬法極值法是原理最簡(jiǎn)單、計(jì)算量最小、應(yīng)用范圍最廣泛的公差分析方法。該方法無須考慮零件尺寸在公差帶內(nèi)的分布，且能保證裝配成功率和零件互換性為100%。極值法實(shí)際生產(chǎn)中不會(huì)出現(xiàn)加工出的零件尺寸同時(shí)處于極值狀態(tài)的現(xiàn)象，因而利用此法進(jìn)行設(shè)計(jì)過于保守，使加工成本增加第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)公差分析法統(tǒng)計(jì)公差分析法是指以統(tǒng)計(jì)分布的形式來描述零件尺寸的變化，并計(jì)算得出零件的制造能力和裝配函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布。一旦確定了各零件尺寸的分布參數(shù)，就可以計(jì)算出設(shè)計(jì)尺寸的公差范圍。統(tǒng)計(jì)公差法在計(jì)算裝配公差時(shí)，假定各零件公差服從正態(tài)分布，裝配公差與零件公差之間是線性關(guān)系，通過假設(shè)使得實(shí)際情況得到了簡(jiǎn)化。第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日MonteCarlo模擬法用蒙特卡洛模擬法(MonteCarloSimulation)進(jìn)行公差分析,就是把求封閉環(huán)尺寸及其公差的問題,當(dāng)作求一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)問題來處理。因此封閉環(huán)尺寸及公差的確定,完全采用隨機(jī)模擬和統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法,在一定條件下,用這種方法得到的結(jié)果比較符合實(shí)際情況。用MonteCarlo模擬法進(jìn)行公差分析的具體步驟:①明確各組成環(huán)的分布規(guī)律②根據(jù)計(jì)算精度要求確定隨機(jī)模擬次數(shù)N③根據(jù)各組成環(huán)尺寸的分布規(guī)律和分布范圍,分別對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)抽樣,從而得到一組已知組成環(huán)和封閉環(huán)尺寸的隨機(jī)抽樣(X1,X2,......,Xn)④將隨機(jī)抽樣(X1,X2,......,Xn)代入公差函數(shù),計(jì)算未知的封閉環(huán)或組成環(huán)尺寸,得到該尺寸的一個(gè)子樣⑤將步驟③、④重復(fù)N次,即可得到封閉環(huán)尺寸的N個(gè)子樣,構(gòu)成一個(gè)樣本⑥對(duì)求解的封閉環(huán)或組成環(huán)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理,從而確定封閉環(huán)尺寸的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和公差等第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日

MonteCarlo模擬法的計(jì)算機(jī)流程第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日

MonteCarlo方法雖然能夠處理由裝配關(guān)系或零件的彈性變形所引起的非線性裝配函數(shù)，但該方法仍存在以下缺陷。蒙特卡羅方法的精度正比于樣本量的平方根，因此為保證計(jì)算的正確性，需要大量的統(tǒng)計(jì)樣本進(jìn)行多次重復(fù)運(yùn)算，計(jì)算次數(shù)一般在20萬次以上，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)。如果裝配函數(shù)中各分量的均值或方差發(fā)生改變，需要重新進(jìn)行運(yùn)算。第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日公差綜合公差綜合的優(yōu)化方法裝配函數(shù)具有明確的表達(dá)式非線性裝配函數(shù)線性規(guī)劃非線性規(guī)劃Langrage乘子法遺傳算法模擬退火算法MonteCarlo仿真方法第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日展望考慮到零件公差的多樣性及產(chǎn)品裝配過程的復(fù)雜性等因素的影響，今后需要在以下幾個(gè)方面進(jìn)行深入研究。（1）當(dāng)前的公差模型較多，而且各有其應(yīng)用層面上的優(yōu)勢(shì)和不足，應(yīng)盡快建立一種適用于所有