曾謹(jǐn)言量子力學(xué)教程第3版考研練習(xí)題

1練習(xí)題一、選擇題光子和電子的波長(zhǎng)都為5.0多少?（）[中南大學(xué)2009研]A．1B．3×1010C．3.3×10-11D．8.7×10-21【答案】A【解析】由德布羅意波長(zhǎng)公式,波長(zhǎng)相同則二者動(dòng)量大小必定同，選A?？紤]如圖的電子干涉實(shí)驗(yàn)，電子從距屏為L(zhǎng)有兩個(gè)特別窄的狹縫（縫寬為電子的德布羅意波長(zhǎng)數(shù)量級(jí)），觀察干涉圖樣的探測(cè)器置于屏的另一側(cè)L處．如果電子槍向上移動(dòng)（沿y方向）離d，則干涉圖樣（）。[中南大學(xué)2009研]圖1-1A．向上移動(dòng)距離dB．向下移動(dòng)距離dC．向上移動(dòng)距離d／2D．向下移動(dòng)距離d／2【答案】B【解析】分析未移動(dòng)前位于屏幕正中間的點(diǎn)，令偏上的光線為a，偏下的光線為b，未移動(dòng)前，a和b的光程相等，電子槍上移后，a在狹縫左邊光程減小，b在狹縫右邊光程增加，為保證a和b光程再次相等，應(yīng)該使a在狹縫右邊光程相對(duì)于b在狹縫右邊光程增加，于是干涉圖樣只能下移．再考慮到狹縫與電子槍和屏幕距離相等，于是整個(gè)裝置具有對(duì)稱性，為保證a和b的光程相等，干涉圖樣只能向下移動(dòng)距離d．上題中，如果電子槍開始以較太的能量向屏發(fā)射電子，則（ ）。[中南大學(xué)2009研]A．干涉圖樣中相鄰最大值之間的距離減小B．干涉圖樣向上移動(dòng)C．干涉圖樣變藍(lán)D．干涉圖樣消失【答案】A解析】A項(xiàng)，由德布羅意波長(zhǎng)公以及 可知，當(dāng)量E增加后，動(dòng)量p增加，導(dǎo)致電子的德布羅意波減小，而干涉紋間距，因而增加電子能量將導(dǎo)致干涉條紋間距減小．B項(xiàng)，電C子能量增加并不會(huì)改變屏的特征光譜，不會(huì)變藍(lán)．D項(xiàng)，題中提到狹縫間距尺寸在德布羅意波長(zhǎng)數(shù)量級(jí)，在電子能量變化不是很大時(shí)，電子波長(zhǎng)應(yīng)該仍與狹縫間距相當(dāng)，干涉圖樣不會(huì)消失．題2中，如果兩縫之間距離加倍，則干涉圖樣中相鄰最大值之距離（ ）。[中南大學(xué)2009研]加倍為原來(lái)的四倍CD．不變【答案】C【解析】設(shè)狹縫間距為d，則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距，則顯然當(dāng)d加倍時(shí)，必定導(dǎo)致條紋間距變?yōu)樵瓉?lái)的二分之一。題2中，如果每個(gè)縫寬度加倍．則干涉圖樣中相鄰最大值之間離（ ）。[中南大學(xué)2009研]加倍為原來(lái)的四倍CD．不變【答案】D【解析】設(shè)狹縫間距為d，則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距，則顯然條紋間距與縫的寬度無(wú)關(guān)，即條紋間距不變。題2中，如果只有一個(gè)縫的寬度加倍（原來(lái)兩縫寬度相同），則（ ）。[中南大學(xué)2009研A．干涉圖樣消失B．干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變C．干涉圖樣向變寬狹縫移動(dòng)D．干涉圖樣的最大強(qiáng)度與最小強(qiáng)度之差減小【答案】D【解析】A項(xiàng)，縫寬度的變化并不會(huì)影響產(chǎn)生干涉圖樣的條件——BC項(xiàng)，縫寬度變化也不會(huì)影響光程，干涉圖樣位置也不會(huì)因此發(fā)生變化．D項(xiàng)，只改變一個(gè)縫的寬度將導(dǎo)致從縫射出的兩列光波振幅不同，因而最小強(qiáng)度無(wú)法變?yōu)?，最終導(dǎo)致干涉圖樣的最大強(qiáng)度與最小強(qiáng)度之差減小．題2中，如果探測(cè)器置于某一狹縫的旁邊，由此可確定某一電是否通過(guò)該狹縫，則（ ）。[中南大學(xué)2009研]A．干涉圖樣向裝探測(cè)器的狹縫移動(dòng)BC．干涉圖樣消失【答案】C【解析】由題意，通過(guò)該狹縫的電子位置將會(huì)由于測(cè)不準(zhǔn)原理導(dǎo)致光子動(dòng)量不確定，以至于電子波長(zhǎng)和頻率會(huì)受到極大干擾，從狹射出的光波將不再是相干光，而干涉圖樣產(chǎn)生的重要條件之一就是參與干涉的光必須是相干光，因而干涉圖樣消失．二、填空題普朗克的量子假說(shuō)揭示了微觀粒子 特性，愛因斯坦的量子假說(shuō)揭示了光的 性。[中南大學(xué)2010研]【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克為解釋黑體輻射規(guī)律而提出量子假說(shuō)，愛因坦后來(lái)將此應(yīng)用到了光電效應(yīng)上，并因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)，二人為解釋微觀粒子的波粒二象性作出了重大貢獻(xiàn)，這位量子力學(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ)．對(duì)一個(gè)量子體系進(jìn)行某一物理量的測(cè)量時(shí)，所得到的測(cè)量值肯定是 當(dāng)中的某一個(gè)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的．除非體系于 。[中南大學(xué)2010研]【答案】本征值；定態(tài)【解析】物理量的測(cè)量值應(yīng)該對(duì)應(yīng)其本征值，對(duì)于非定態(tài)，由于它是各個(gè)本征態(tài)的混合態(tài)，這就導(dǎo)致物理量的測(cè)量值可以是它的各個(gè)本征值，測(cè)得各個(gè)本征值滿足一定概率分布，只有當(dāng)體系處于定態(tài)，即位于該物理量對(duì)應(yīng)的本征態(tài)，測(cè)得值才有可能為確定值．三、簡(jiǎn)答題什么是定態(tài)？若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為，問(wèn)Ψ（x，t）是否處于定態(tài)？[湖南大學(xué)2009研]答：體系能量有確定的不隨時(shí)間變化的狀態(tài)叫定態(tài)，定態(tài)的概率密度和概率流密度均不隨時(shí)間變化．不是，體系能量有E和-E兩個(gè)值，體系能量滿足一定概率分布而并非確定值．及其理由。[南京大學(xué)2009研]答：量子態(tài)的疊加原理：若 為粒子可能處于的態(tài)，那這些態(tài)的任意線性組合仍然為粒子可能處于的態(tài)．疊加系數(shù)不依賴于時(shí)空變量．因?yàn)榱孔討B(tài)的疊加原理已經(jīng)明確說(shuō)明了是任意線性組合，即表明了疊加系數(shù)不依賴于任何變量。四、計(jì)算題設(shè)一維諧振子的初態(tài)為即基態(tài)與第一激發(fā)疊加，其中θ為實(shí)參數(shù)。求t時(shí)刻的波函數(shù)ψ(x，t)。求t時(shí)刻處于基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的概率。-ψ(x，t)所需的最短時(shí)間tmin。[中科院2010研]解：（1）一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)：任意時(shí)刻t的波函數(shù)可表示為已知t=0時(shí)刻的波函數(shù)是由得， ，n=0,1的本征態(tài)的相應(yīng)能量分別為：則任意時(shí)刻t的波函數(shù)可以表示為．t時(shí)刻處于基態(tài)的幾率為，處于第一激發(fā)態(tài)的幾．設(shè) 時(shí)刻粒子的波函數(shù)是，即可得，解得所以當(dāng)n=1時(shí)有最小時(shí)間，即 ．2練習(xí)題一、選擇題一維自由電子被限制在x和x+Δx處兩個(gè)不可穿透壁之間，Δx=0.5埃，如果E0是電子最低能態(tài)的能量，則電子的較高一級(jí)能態(tài)的能量是少？（ ）[中南大學(xué)2009研]2E0B．3E0C．4E0【答案】C【解析】一維無(wú)限深方勢(shì)阱中能級(jí)公式為，則可知，較級(jí)能量與基態(tài)能量比值為，由題意，基態(tài)能量為，則第一激發(fā)態(tài)能量為二、填空題自由粒子被限制在x和x＋1理．如果沒(méi)有給出其他資料，則粒子在x和x＋1／3之間的概率是 。[中南大學(xué)2010研A．025B．033C．011D．067【答案】B【解析】按照經(jīng)典力學(xué)，粒子處于空間的概率密度為常數(shù)，故概率與體積成正比，即所求概率為上題中，按照量子力學(xué)．處于最低能態(tài)的粒子在x和x+l/3之間被找到的概率是 A．019B．072C．033D．050【答案】A

。[中南大學(xué)2010研]【解析】取x所求概率即三、計(jì)算題在一維情況下，若用Pab（t）表示時(shí)刻t在a＜x＜b子的幾率．從薛定諤方程出發(fā)，證明其中J（x,t）是幾率流密度．對(duì)于定態(tài)，證明幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)．[華南理工大2009研設(shè)t時(shí)刻粒子的波函，波函數(shù)滿足薛定諤方程：對(duì)（1）兩端取復(fù)共軛得，（2）做運(yùn)算得上式兩邊同除以移項(xiàng)得，則幾率流密度公式為，上式可表示為 ，兩端積分得：又由于t時(shí)刻在區(qū)間（a，b）內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為：代入上式可得，（b）對(duì)于定態(tài)波函數(shù)，代入幾率流密度方可得，是一個(gè)與t無(wú)關(guān)的量，故定態(tài)的幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)．是線性諧振子的本征波函數(shù)，并此本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征能量．式中A為歸一化常數(shù)[華南理工大2009研]解：已知線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)和本征能量為，，本題中波函數(shù)本題中波函數(shù)所以 是線性諧振子的本征波函數(shù)，對(duì)應(yīng)量子數(shù)n=2，因此容易得到其，本征能量為質(zhì)量為m的粒子在寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出哈密頓算符，求解定態(tài)薛定諤方程．當(dāng)粒子處于狀態(tài)ψ（x）=ψ2（x）時(shí)，求測(cè)量粒子能量時(shí)的可能取得及相應(yīng)的概率．其中ψ1（x）和ψ2（x）第一激發(fā)態(tài)．若上式的ψ（x）是t=0的波函數(shù)．[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）如圖建立坐標(biāo)系，圖2-1設(shè)，哈密頓算符波函數(shù)滿足薛定諤方程當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，則的通解可表示為利用邊界條件得， 由歸一化可解得，定態(tài)薛定諤方程的解為對(duì)應(yīng)的定態(tài)能量為當(dāng)粒子處于態(tài)時(shí)，能量的可能值及幾率為：幾率1/4；幾率3/4任意時(shí)刻t的波函數(shù)可以表示為下面形式，其中，在此題中，故任意時(shí)刻t的波函數(shù)，其中粒子的一維運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程： ．若ψ1（x，t）和ψ2（x，t）與時(shí)間無(wú)關(guān)．若勢(shì)能V不顯含時(shí)間t程，并寫出含時(shí)薛定諤方程的通解形式．[華南理工大學(xué)2011研]解：證：取式（1）之復(fù)共軛，得即=0所以與時(shí)間無(wú)關(guān)．設(shè)代入薛定諤方程，分離變量后，得E為既不依賴t，也不依賴r的常數(shù)．這樣，所以因此，通解可以表示為其中，是滿足不含時(shí)的薛定諤方程勢(shì)阱：V（x）=－V0[δ（x+a）+δ（x－a）]，其中V0＞0，a＞0．推導(dǎo)在x=a處波函數(shù)的連接條件．對(duì)于偶宇稱的解，即ψ（－x）=ψ（x），滿足的方程，并用圖解法說(shuō)明本征值的數(shù)目．[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）薛定諤方程可表示為為方程的奇點(diǎn)，在x=a對(duì)上述方程積分得出（2）由題意知當(dāng)x＞a時(shí)，因此解為當(dāng)-a＜x＜a時(shí)， 因此解為結(jié)合x=a處的邊界條件和此處的波函數(shù)連續(xù)條件，可得化去A，C后可得，此即能量本征值所要滿足的方程．圖2-2所以滿足此方程的本征值只有一個(gè)．驗(yàn)證球面波滿足自由粒子的薛定諤方程：（注：，其中代表僅與角度有關(guān)的微分算符）[2008研]解：故（1）則故 （2）=E （3）由（1）（2）（3）式可得，此所需證明方程.一粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)．[湖南大學(xué)2009研]解：由一維定態(tài)薛定諤方程有又在邊界處應(yīng)該滿足連續(xù)條件故，0＜x＜2a由歸一化條件有故對(duì)應(yīng)能量為設(shè)一維簡(jiǎn)諧振子的初始（t=0）波函數(shù)為其中φn（x）為簡(jiǎn)諧振子的三個(gè)（n=0，1，2）最低能量的定態(tài)波函數(shù)．試求系數(shù)A=?t時(shí)刻的波函數(shù)φ（x，t）；t時(shí)刻的能量平均值．[南京大學(xué)2009研解：（1）由波函數(shù)的正交歸一化條件有故.（2）一維諧振子能量為故t時(shí)刻波函數(shù)為.（3）各自對(duì)應(yīng)概率為， ，t時(shí)刻粒子能量平均值為.設(shè)無(wú)外勢(shì)場(chǎng)時(shí)，質(zhì)量為μ能量為E＞0寫．試導(dǎo)出決定S波（l=0）波函數(shù)的常微分方程；求出所有S波的球面波波函數(shù)；計(jì)算對(duì)應(yīng)于S波解的速度流矢量并作出圖示．[南京大學(xué)2009研]解：（1）無(wú)外勢(shì)場(chǎng)可看做有心勢(shì)場(chǎng)的特殊情況。則粒子在球坐標(biāo)系中薛定諤方程為在s波情況下，l=0,,令，則.（2），故對(duì)應(yīng)波函數(shù)為其中A為歸一化系數(shù)．（3）概率概率流密度公式為球坐標(biāo)系中明顯與角度無(wú)關(guān)，故對(duì)應(yīng)概率流密度的三個(gè)分量為而 ,故 ，同理.設(shè)粒子從x=-∞入射，進(jìn)入一維階躍勢(shì)場(chǎng)：當(dāng)x＜0時(shí)，V（x）=0；而當(dāng)x＞0時(shí)，V（x）=V0（V0＞0）．如果粒子能量E＞V0，試寫出波動(dòng)方程式并求解；求透射系數(shù)；求反射系數(shù)并求與透射系數(shù)之和．[南京大學(xué)2009研解：（1）粒子波動(dòng)方程為令則方程的解為，其中第一部分為入射波，第二部分為反射波，此即透射波函數(shù)．由波函數(shù)連續(xù)及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)有，即解得則波函數(shù)為 ，其中.由概率流密度公式可知入射波函數(shù)概率流密度為反射波函數(shù)概率流密度為透射波函數(shù)概率流密度為透射系數(shù)即.顯然R+T=1.一質(zhì)量為m的粒子，可在寬為at=0的初始時(shí)刻其波函數(shù)為其中A為實(shí)常數(shù)．求A使ψ（x，0）滿足歸一化條件．如果進(jìn)行能量測(cè)量，則能得到哪些能量值?的概率又是多少?再計(jì)算能量的平均值?求t時(shí)刻的波函數(shù)ψ（x，t）．[中南大學(xué)2010研]解（1）無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的本征波函數(shù)為初始時(shí)刻波函數(shù)可化為由歸一化條件有解得A=.無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的本征能量為.故粒子可能測(cè)能量即測(cè)得能量的平均值為.t時(shí)刻波函數(shù)為.3練習(xí)題一、選擇題量子諧振子的能量是（ ）[中南大學(xué)2010研A．En＝hω（n＋1/2）En＝?ω（n＋1/2）C．En＝hv（n＋1/2）D．En＝?v（n＋1/2）【答案】A【解析】由于諧振子的哈密頓算符為,而 本征值為于是諧振子能量為．下面關(guān)于厄米算符的定義式中．正確的為（ ）[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】A【解析】量子力學(xué)中力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符必須為厄米算符，這是因?yàn)榱W(xué)量算符的本征值必須為實(shí)數(shù)．厄米算符定義式為 二、填空題力學(xué)量算符必須是 算符，以保證它的本征值為 [中南大學(xué)2010研]【答案】厄米；實(shí)數(shù)【解析】力學(xué)量的測(cè)量值必須為實(shí)數(shù)，即力學(xué)量算符的本征值必須為實(shí)數(shù)，而厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)，于是量子力學(xué)中就有了一條基本假設(shè)——量子力學(xué)中所有力學(xué)量算符都是厄米算符．在量子力學(xué)原理中．體系的量子態(tài)用希爾伯特空間中的 來(lái)描述．而力學(xué)量用 描述．力學(xué)量算符必為 算符，以保其 為實(shí)數(shù)．[中南大學(xué)2010研]【答案】函數(shù)矢量；張量（一般是二階張量，即矩陣）；厄米；本征值【解析】希爾伯特空間中的函數(shù)矢量對(duì)應(yīng)體系的量子態(tài)，力學(xué)量對(duì)應(yīng)張量，一般情況下力學(xué)量對(duì)應(yīng)二階張量，也就是矩陣．力學(xué)量算符必須保證其厄米性，否則將導(dǎo)致測(cè)量值即其本征值不是實(shí)數(shù)，這顯然不符合事實(shí)．當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行某一力學(xué)量?的測(cè)量時(shí)．測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是確定的．測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)源于 ．[中南大學(xué)2010研]【答案】測(cè)量的干擾【解析】當(dāng)我們對(duì)物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，不可避免地對(duì)體系施加影響，而這影響將導(dǎo)致體系的波函數(shù)發(fā)生變化，這最終導(dǎo)致對(duì)物理量的測(cè)量的不確定性．三、簡(jiǎn)答題寫出角動(dòng)量的三個(gè)分量，的對(duì)易關(guān)系．[湖南大學(xué)2009研]答：這三個(gè)算符的對(duì)易關(guān)系為，，量子力學(xué)中的力學(xué)量算符有哪些性質(zhì)?為什么需要這些性質(zhì)[京大學(xué)2009研]答：量子力學(xué)中力學(xué)量算符為厄米算符，因而具有所有厄米算符的性質(zhì)．符為厄米算符．四、計(jì)算題1．對(duì)于角動(dòng)量算符，的表達(dá)式．[Lz,L±]和[L2,L±]證明：若f是L2和Lz的共同本征態(tài)，則L±f也是L2和Lz的本征態(tài)．在球坐標(biāo)系中，求解Lz的本征方程．[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）由得，，同理可得則的三個(gè)分量之間的關(guān)系通式為：，其中是符號(hào)．（b）若是和的共同本征函數(shù)，可設(shè)＝，則，可見是和的共同本征函數(shù)，本征值分別為．（c）在球坐標(biāo)中，，代入 的本征方程 得利用周期性邊界條件可得由歸一化條件可得 ，則 的本征態(tài)為相應(yīng)的本征方程為．2．（1）對(duì)于任意的厄米算符，證明其本征值為實(shí)數(shù)．證明厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交．對(duì)于角動(dòng)量算符，證明它是厄米算符，并且求解其本方程．[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）證：對(duì)于厄米算符 ，因?yàn)榇嬖?，所以，即本征值為?shí)數(shù)．（2）證： ．（3）因?yàn)椋O(shè)本征方程為C為積分常數(shù)，可由歸一化條件決定．又因?yàn)椴ê瘮?shù)滿足周期性邊界條件的限制，由此可得，即角動(dòng)量z分量的本征值為是量子化的，相應(yīng)本征函數(shù)記為．再利用歸一化條件可得，即為其本征函數(shù)．相應(yīng)的征方程為．3．（1）設(shè)算符對(duì)易，證明；（2）試將表示成的線性疊加．其中為單位算符[中科院2010研]證：利用化簡(jiǎn)可得：解：4．（1）求算符和的對(duì)易關(guān)系．（2）證明，其中．[北京航空航天大學(xué)2008研]解：即算符與不對(duì)易．證：則 得證．一粒子處于勢(shì)場(chǎng)V（x）中，且勢(shì)V（x）沒(méi)有奇點(diǎn)．假設(shè)ψn（x）與ψm（x）是束縛態(tài)的波函數(shù)，相應(yīng)的本征能量色En≠Em明這兩個(gè)波函數(shù)對(duì)應(yīng)的態(tài)矢正交．[武漢大學(xué)2008研]解：由題意III并在方程兩邊同時(shí)積分有考慮到哈密頓算符的厄米算符性質(zhì)并利用式II有又，則III設(shè)粒子本征波函數(shù)完備集為，則由正交歸一化條件有IV態(tài)矢為 ，態(tài)矢為即VIV、V代入III有此即，亦即兩個(gè)波函數(shù)對(duì)應(yīng)態(tài)矢正交．一體系初始時(shí)刻的態(tài)為（1）求（ψ，其中x＋iy．如果對(duì)z測(cè)量，能得到哪些結(jié)果？相應(yīng)的概率又是多少？如果對(duì)z進(jìn)行了測(cè)量，并得到結(jié)果lz＝－?，計(jì)算不確定度△Lx和△Ly及它們的乘積△Lx△Ly．[中南大學(xué)2010研]解：（1）由公式可得故．由題意，m＝1，0,1而本征值為 ，故可能測(cè)得值為．于是有．因此．4練習(xí)題一、選擇題對(duì)力學(xué)量?進(jìn)行測(cè)量．要能得到確定結(jié)果的條件是（ ）[中南學(xué)2010研]A．體系可以處于任一態(tài)B．體系必須處于?宏觀態(tài)C．力學(xué)量?必須是守恒量D．體系必須處于?【答案】D【解析】于定態(tài)，而處于定態(tài)的條件即體系處于力學(xué)量對(duì)應(yīng)的本征態(tài).二、簡(jiǎn)答題什么是費(fèi)米子?什么是玻色子?兩者各自服從什么樣的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律?[湖南大學(xué)2009研]答：費(fèi)米子是自旋為半奇數(shù)的粒子，玻色子是自旋為整數(shù)的粒子.費(fèi)米子遵守費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，玻色子遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律.三、計(jì)算題設(shè)限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)已知的，其中基態(tài)是非簡(jiǎn)并的，而第一激發(fā)態(tài)與第二激發(fā)態(tài)都是3重簡(jiǎn)并的.具體而言，基態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（1）與；激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（2）與：第2激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（3）與,．且前三個(gè)單粒子能級(jí)是等間隔的.設(shè)由4個(gè)上述單粒子構(gòu)成的全同粒子體系，限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中.計(jì)算體系的較低的2個(gè)本征能量及相應(yīng)的簡(jiǎn)并度.[武漢大學(xué)2008研]解：題中并未給出粒子是費(fèi)米子還是玻色子，故分兩種情況討論由題意I粒子為費(fèi)米子此時(shí)粒子應(yīng)該遵守泡利不相容原理，每個(gè)波函數(shù)最多容下兩個(gè)粒子.體系最低能量對(duì)應(yīng)波函數(shù)有其簡(jiǎn)并度為6.體系第一激發(fā)態(tài)能量其簡(jiǎn)并度為粒子為玻色子體系最低能量,其簡(jiǎn)并度為1.體系第一激發(fā)態(tài)能量為 ,其簡(jiǎn)并度為3.5練習(xí)題一、選擇題中心力場(chǎng)中，算符2和z的共同征函數(shù)為Ylm（θ，φ），則關(guān)于這兩個(gè)算符的本征值方程正確的式子是（ ）[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】C【解析】角動(dòng)量的平方算符以及叫動(dòng)量算符在z方向分量有著共同本征波函數(shù)，即球諧函數(shù)，它們滿足如下關(guān)系二、計(jì)算題設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值.[華南理工大學(xué)2009研]解：氫原子的定態(tài)能量為由氫原子所處的態(tài)函數(shù)所以氫原子能量的取值為 ，幾率為1，能量的平均值為；角動(dòng)量平方的取值為，幾率為1，其平均值為；角動(dòng)量z分量的取值為：1/4，3/4，其平均值＝己知?dú)湓拥膹较虿ê瘮?shù) ，其中a為波爾半徑.求歸一化常數(shù)A。1 己知連帶勒讓德函數(shù)P0＝cosθ，P1＝sinθ，求氫原子的歸一化本征函數(shù)ψ210，ψ211，ψ211 對(duì)于本征態(tài)ψ21－1，其對(duì)應(yīng)的能量、角動(dòng)量、角動(dòng)量z少?[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）.本征函數(shù)可以表示為所以.對(duì)于本征態(tài) ，其對(duì)應(yīng)的能量為角動(dòng)量角動(dòng)量的z分量.設(shè)t＝0時(shí)刻氫原子處于狀態(tài)，其中，φ）是氫原子哈密頓算符的正交歸一化本征波函數(shù)求：（1）t＝0時(shí)刻，體系能量的平均值.t＝0時(shí)刻，體系角動(dòng)量平方L2的平均值.t＝0時(shí)刻，體系角動(dòng)量x分量Lx的平均值.時(shí)刻，體系所處的狀.[北京航空航天大學(xué)2008研]解：（1）由題意可知n＝2,3故t＝0時(shí)，體系能量平均值為.由題意知l＝1,2則 ，的平均值為.由關(guān)系式有 ①而②另外，由正交歸一條件有③故t＝0時(shí) 平均值為.時(shí)刻體系所處的狀態(tài)為.設(shè)氫原子處于狀態(tài)：測(cè)得該原子的能量的可能值為多少?相應(yīng)的概率又為多少?測(cè)得的角動(dòng)量分量的可能值和相應(yīng)概率為多少?[湖南大學(xué)2009研]解：（a）氫原子能級(jí)為玻爾半徑.故氫原子可能能量為，對(duì)應(yīng)概率為對(duì)應(yīng)概率為（b）而可能取值為故可能取值有，對(duì)應(yīng)概率，對(duì)應(yīng)概率，對(duì)應(yīng)概率氫原子處在基態(tài)，求：r的平均值；動(dòng)能的平均值；動(dòng)量的概率分布函數(shù)。[湖南大學(xué)2009研]【提示：，】解：（1）r的平均值即5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各向同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度，與三維各向同性諧振子比較.[上]3.9題由維里定理(為勢(shì)能關(guān)于r的冪次)有動(dòng)能平均值,而氫原子基態(tài)能量為，其中玻爾半徑故5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度， 與三維各向同性諧振子比較.[上]3.9題5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各向同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度，與三維各向同性諧振子比較.6練習(xí)題求電荷為q的一維諧振子在外加均勻電場(chǎng)E中的能級(jí)，哈密頓量為H＝[中科院2008研]解：記 ，，則哈密頓量可時(shí)的哈密頓量相比，相差一常數(shù)，且x，p換為 ，，對(duì)易關(guān)系變，而這不影響原有的能級(jí)，所以7練習(xí)題一、選擇題下面哪組是泡利矩陣（ ）[中南大學(xué)2010研A．B．C．D．【答案】A【解析】泡利矩陣必須滿足以下對(duì)易關(guān)系最終推導(dǎo)出泡利矩陣只能為再由.，二、計(jì)算題在和 的共同表象中，算符的矩陣為L(zhǎng)X＝，求 的征值和歸一化的本征函數(shù)，并將矩陣LX對(duì)角化.[華南理工大2009研]解：（1）設(shè)的本征方程為其中本征函容易解得的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)矢分別為：。（2）將表象中 的三個(gè)本征矢并列，得到從表象表象變換矩陣 利用變換公式,得到的對(duì)角化矩陣 .質(zhì)量為m的粒子處于角頻率為ω的一維諧振子勢(shì)中。寫出在坐標(biāo)表象中的哈密頓算符，本征值及本征函數(shù)（一化）.寫出在動(dòng)量表象中的哈密頓算符.證明在動(dòng)量表象中，哈密頓算符的矩陣元為.[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）在坐標(biāo)表象中一維諧振子的哈密頓算符為本征值和波函數(shù)：在動(dòng)量表象中坐標(biāo)算符可表示為 ，則一維諧振子的勢(shì)能為則哈密頓算符為證：在動(dòng)量表象中哈密頓的矩陣元可表示為設(shè)已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為試在Sy取值為的本征態(tài)下求Sx的可能取值和相應(yīng)概率及Sx的平均值.[北京航空航天大學(xué)2009研]解： 可能取得的值有和－，設(shè)的本征態(tài)矢為則由可以解得 .同理由可以解得 時(shí)態(tài)矢為 ，概率為 ，態(tài)矢為 ，概率。平均值為求一寬度為a能量表象中的矩陣元[湖南大學(xué)2009研]【提示：，解：【注：題中所給積化和差公式有誤，正確的積化和差公式為】在勢(shì)阱內(nèi)有定態(tài)方程，①處于定態(tài)時(shí)有E>0,設(shè)則有由于勢(shì)函數(shù)滿足V（x）＝V（－x），則波函數(shù)滿足奇宇稱或偶宇稱。滿足偶宇稱時(shí)有 ，注意到①有1,2,3則,再考慮到歸一化條件 有注意到波函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)描述的仍為同一個(gè)狀態(tài)，則.同理，對(duì)奇宇稱有，綜合（1）（2）討論有波函數(shù)本征能量 ，.矩陣元即若m＝n，可得到若 ，則可得8練習(xí)題計(jì)算題σx，σy，σz，表象中求σx和σy的歸一化本征函數(shù)。若（cosα,cosβ,cosγ）為某一方向余弦，證明算符σn＝σxcosα＋σycosβ＋σzcosγ的本征值為±1，說(shuō)明其物理意義。對(duì)于兩個(gè)電子組成的體系，若用|↑〉和|↓〉分別表示單電子自旋平方和自旋z分量的共同本征態(tài)，證明態(tài)矢量|X〉＝|↑↓〉＋|↓↑系總自旋平方的本征態(tài)。[華南理工大學(xué)2010研]解：（1）在表象中，由和由的本征方程，很容易求得的本征值與本征矢：.（2）的本征方程可得，，故能取兩個(gè)值：.（3）在耦合角動(dòng)量表象中，總自旋與的共同本征其中則題中，故是的本征態(tài).兩個(gè)質(zhì)量為m的粒子處于一個(gè)邊長(zhǎng)為a＞b＞c盒子中.求下列條件該體系能量最低態(tài)的波函數(shù)（只寫出空間部分）及對(duì)應(yīng)能量.非全同離子；零自旋全同離子；自旋為1／2的全同離子中國(guó)科學(xué)院2010研]解：?jiǎn)瘟Ｗ釉谶呴L(zhǎng)a＞b＞c的盒子中的定態(tài)波函數(shù)和定態(tài)能量為當(dāng)兩粒子是非全同離子時(shí)，體系能量最低的波函數(shù)為對(duì)應(yīng)能量為。系能量最低的函波數(shù)是對(duì)應(yīng)能量為。對(duì)于自旋為1/2的。自旋對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)有4個(gè)：，，，。已知是交換反對(duì)稱的，要配對(duì)稱的空間波函數(shù)；，，是交換對(duì)稱的，要配反對(duì)稱的空間波函數(shù)。所以體系能量最低的態(tài)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)是：對(duì)應(yīng)能量。Z方向的均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)（只考慮自旋），在tX方向，求在t＞0時(shí)的自旋波函數(shù)以及Sy的平均值.[北京航空航天大學(xué)2008研解：在 和表象下由 可以解得時(shí)態(tài)矢為即t＝0時(shí)刻電子自選波函數(shù) ＝ ＝，其中α和β分別為朝上和朝下時(shí)的波函數(shù)。電子由于自旋產(chǎn)生的能量對(duì)應(yīng)哈密頓量為故α和β狀態(tài)為 的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)本征值為和t＞0時(shí)刻電子自旋波函數(shù)應(yīng)為寫成矩陣形式即而平均值即：.設(shè)有三個(gè)自旋算符S0，S2，S3組成的系統(tǒng)，其哈密頓量為H＝AS1·S2＋BS2·S3＋BS3·S1，試給出系統(tǒng)的力學(xué)量完全集；求解能級(jí)；給出每一個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度.為書寫簡(jiǎn)單計(jì)，可令約化普朗克常數(shù)[南京大學(xué)2009研]解：哈密頓量為其中,，故系統(tǒng)的力學(xué)量完全集為能量與無(wú)關(guān)，可由完全確定時(shí)，能量為時(shí)，能量為時(shí)，能量為 。當(dāng)完全確定時(shí)，能級(jí)簡(jiǎn)并度將僅由可取值個(gè)數(shù)確定，時(shí)，，可取值的個(gè)數(shù)為2，故簡(jiǎn)并度為2時(shí)，，可取值個(gè)數(shù)為2，故簡(jiǎn)并度為2時(shí)，，可取值個(gè)數(shù)為4，故簡(jiǎn)并度為4.設(shè)Sx、Sy與Sz是自旋為1/2的粒子的沿x、y與zΦ是某一角度.寫出粒子的自旋算符Sx，、Sy與Sz在Sz-式；將述算符的乘積化簡(jiǎn)為粒子自旋算符的線組合武漢大學(xué)2008研]解：（1），， .（2）由公式且令I(lǐng)其中n為正整數(shù)則上式即II題中 ，利用公式III則IV結(jié)合II、IV有所求即.。對(duì)于一個(gè)限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中的自旋為1/2、質(zhì)量為m的粒子，計(jì)算基態(tài)與第二激發(fā)態(tài)的本征能量及相應(yīng)的本征態(tài)波函數(shù).[武漢大學(xué)2008研]解：這是一個(gè)三維方勢(shì)阱問(wèn)題，，例子波函數(shù)為S,S為自旋波函數(shù)可分離變量得最終解得，代表例子自旋朝上和朝下兩種狀由于粒子自旋此時(shí)并不會(huì)對(duì)粒子能量產(chǎn)生影響故粒子能量基態(tài)對(duì)應(yīng)波函數(shù)為對(duì)應(yīng)波函數(shù)有對(duì)應(yīng)波函數(shù)有考慮一自旋量于救s＝1的粒子，忽略空間自由度，并假定粒子處在外磁場(chǎng)中（為x軸的單位矢量），粒子的哈米頓算符為H＝gB·S若虬S2，Sz同本征矢|s，m1＞為基，求自旋算符S示.。如果初始時(shí)刻t＝0粒子的態(tài)為|11＞，求在t＞0后粒子的態(tài)?發(fā)現(xiàn)粒子處在|1-1＞態(tài)的概率是多少?[中南大學(xué)2010研解：（1）由于， ，故由于哈密頓量為則能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)于本征態(tài).解得而故t＞0后粒子的態(tài)為.由于故所求概率為9練習(xí)題一、選擇題在量子力學(xué)中．對(duì)每一個(gè)物理量A，都有一個(gè)厄米算符?與之對(duì)應(yīng)，若體系處在由波函數(shù)ψ（r，t）描述的態(tài)中．則在t時(shí)刻．對(duì)物理A測(cè)量時(shí)所得的平均值A(chǔ)．t為（ ）。[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】B【解析】物理量平均值定義為，分別為物理量本征值及取值概率，而 ，并考慮到正交歸一化條件和力量算符的厄米性，于是．二、填空題體系處在用歸一化波函數(shù)ψ（x）描述的狀態(tài)．且此波函數(shù)可以力學(xué)量A所對(duì)應(yīng)的厄米算符?的本征函數(shù)系展開．即認(rèn)為是歸一的，則決定系數(shù)ck的表達(dá)式為 [中南大學(xué)2010研]【答案】【解析】由題意 ，在上式兩邊乘以 并積分得，考慮到正交歸一化條件有是算符?的本征值，則力學(xué)量A的平均值?。?[中南大學(xué)2010研]【答案】【解析】由平均值定義式以及正交歸一化條件有。題1中當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行力學(xué)量A測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不定的．但測(cè)量得到某一結(jié)果an的概率為 。[中南大學(xué)2010研]【答案】 ，為確定【解析】由題意，在上式兩邊乘以并積分得，考慮到正交歸一化條件有而概率應(yīng)該為 ，為定值．三、計(jì)算題一粒子在力學(xué)量的三個(gè)本征函數(shù)所張成三維子空間中運(yùn)動(dòng)，其能量算符和另一力學(xué)量算符的形式如其中a，b為實(shí)數(shù)．求的本征值和相應(yīng)的歸一化本征矢（用|u1>，|u2>和|u3>示）：證明的平均值不隨時(shí)間變化．[北京航空航天大學(xué)2008研解：（1）由，令 ＝ 可得I由久期方程可得解得能量算符的三個(gè)本征值II將II式中各個(gè)值代入I式中可以得時(shí)態(tài)矢 ，即時(shí)態(tài)矢 ，即態(tài)矢 ，即 （2）顯然，故，III其中k為的平均值而其中為3行的任意列矩陣，則＝0，k＝0 IVIV式可知，即的平均值不隨時(shí)間變化．設(shè)質(zhì)量為m的粒子處于勢(shì)場(chǎng)V（x）＝－Kx中，K為非零常數(shù)。在動(dòng)量表象中求與能量E對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)ΦE（p）．[學(xué)2008研]解：顯然勢(shì)場(chǎng)不含時(shí)，屬于一維定態(tài)問(wèn)題，而也屬于正冪級(jí)數(shù)故有定態(tài)方程I式中,令則I式可以化為令 ，上方程可化簡(jiǎn)為IIII式解得則其中C為歸一化常數(shù)．基矢有兩個(gè)：{φ1，φ2}，算有如下性質(zhì)：Q表象的本征值和本征函數(shù)；已知粒子狀態(tài)為，求測(cè)量力學(xué)量的可能值及相的概率和平均值。[湖南大學(xué)2009研]解：（1）先算出該算符在Q表象中的矩陣元。設(shè)其本證函數(shù)為則有①由久期方程 ，解得 ,再代回①可得，對(duì)應(yīng)本征函數(shù)為，對(duì)應(yīng)本征函數(shù)為．（2）粒子的力學(xué)量可能取值即其本征值．由題意時(shí)，相應(yīng)概率為時(shí)，相應(yīng)概率為．HamiltonianH，坐標(biāo)算符為x。利用利用能量本征態(tài)的完全性關(guān)系，將用E。，表出，其是能量本征值為E。，的本征矢．[武漢大學(xué)2008研]解：，則。利用，可得。于是 ，即 ．10練習(xí)題一、簡(jiǎn)答題1．假設(shè)體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間，而且可以分為兩部分：一部分是，它的本征值（非簡(jiǎn)并）和本征函數(shù)已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微擾.寫出在非簡(jiǎn)并狀態(tài)下考慮一修正下的波函數(shù)的表達(dá)式?及其包括了一級(jí)、二級(jí)能量的修正的能級(jí)表達(dá)式．[湖南大學(xué)2009研]答：一級(jí)修正波函數(shù)為二級(jí)近似能量為其中.二、計(jì)算題設(shè)基態(tài)氫原子處于弱電場(chǎng)中，微擾哈密頓量為，其中λ，T為常數(shù).求很長(zhǎng)時(shí)間后（t>>T）電子躍遷到激發(fā)態(tài)的概率中科院2010研]已知，a基態(tài)其中為玻耳半徑.已知，基態(tài)基態(tài)電子躍遷到下列哪個(gè)激發(fā)態(tài)的概率等于零?簡(jiǎn)述理由。(a)ψ200； (b)ψ211； (c)ψ21-1； (d)ψ200解：（1）根據(jù)躍遷幾率公式其中.可知，必須先求得根據(jù)題意知，氫原子在t>0時(shí)所受微擾為氫原子初態(tài)波函數(shù)為根據(jù)選擇定則，終態(tài)量子數(shù)必須是記由初態(tài)到末態(tài)的躍遷矩陣元為將 代入躍遷幾率公式（2）基態(tài)電子躍遷到、、的幾率均為0，因不符合躍遷的選擇定則。粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng).設(shè)該體系受到=λδ（x－a）的擾作用.利用微擾理論求第n能級(jí)的準(zhǔn)至二級(jí)的近似表達(dá)式.指出所得結(jié)果的適用條件.[中科院2010研解：（1）一維無(wú)限深方勢(shì)阱體系的零級(jí)近似波函數(shù)和零級(jí)近似能量： 求到二級(jí)，矩陣元一般形式則第n能級(jí)的二級(jí)近似能量.（2）結(jié)果適用的條件是 ， 即 .一體系未受微擾作用時(shí)只有三個(gè)能級(jí)：E01，E02及E03，現(xiàn)在受到微擾 的作用，微擾矩陣元為H′11=H′22=H′33=a，H′12=H′21=0，H′13=H′31=b，H′23=H′32=c；a，b和c都是實(shí)數(shù).用微擾公式