2.2 平面向量的線性運(yùn)算

平面向量的線性運(yùn)算2．2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義．(2)會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力．2．過程與方法通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過對(duì)向量的加法運(yùn)算的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，體會(huì)由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神與創(chuàng)新意識(shí)．(2)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，不斷提高自己的文化修養(yǎng)．●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量．難點(diǎn)：理解向量加法的定義．●教學(xué)建議首先從數(shù)及數(shù)的運(yùn)算談起，有了數(shù)只能進(jìn)行計(jì)數(shù)，只有引入了運(yùn)算，數(shù)的威力才得以充分展現(xiàn)．類比數(shù)的運(yùn)算，向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算．運(yùn)算引入后，向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮．實(shí)際上，引入一個(gè)新的量后，考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律，是數(shù)學(xué)研究中的基本問題．?dāng)?shù)學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)考察一個(gè)量的運(yùn)算問題，最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律，這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算．1．教學(xué)中，應(yīng)以熟悉的位移的合成和力的合成為背景，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依據(jù)“三角形法則”來進(jìn)行”．在此基礎(chǔ)上，給出向量加法的定義．2．向量加法運(yùn)算主要是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．教科書從幾何角度具體給出了通過三角形法則或平行四邊形法則作兩個(gè)向量和的方法．教學(xué)中要注意向量加法的三角形法則和平行四邊形法則所對(duì)應(yīng)的物理模型．另外，使學(xué)生體會(huì)兩種加法法則在本質(zhì)上是一致的．對(duì)任意向量與零向量相加，教科書中給出了規(guī)定．3．為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的加法與向量加法的區(qū)別及聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生探究有關(guān)向量加法中模的大小關(guān)系加強(qiáng)理解，只不過兩個(gè)數(shù)的和是一個(gè)數(shù)，兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量．4．引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算律，通過畫圖驗(yàn)證向量加法的交換律與結(jié)合律．●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：對(duì)比數(shù)的加法運(yùn)算，如何求出兩個(gè)向量的和呢？)?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合物理中力的合成、位移的合成，觀察、比較分析，采取類比方法發(fā)現(xiàn)并給出向量加法的定義.)?eq\x(通過引導(dǎo)學(xué)生回答所提問題，理解向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，并探究模的有關(guān)性質(zhì)及其作用.)?eq\x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握運(yùn)用加法的三角形法則進(jìn)行化簡(jiǎn)的思路及策略.)?eq\x(通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握運(yùn)用向量的運(yùn)算法則進(jìn)行幾何證明的方法思路.)?eq\x(通過例3及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律在解決實(shí)際問題中的用法思路.)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正.)?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).)(見學(xué)生用書第37頁(yè))課標(biāo)解讀1.理解向量的加法及其運(yùn)算法則、運(yùn)算律．(重點(diǎn))2.理解向量加法的幾何意義．(難點(diǎn))3.數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點(diǎn))向量加法的定義及其運(yùn)算法則【問題導(dǎo)思】分析下列實(shí)例：(1)飛機(jī)從廣州飛往上海，再?gòu)纳虾ｏw往北京(如圖)，這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的．(2)有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000N，F(xiàn)2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果．1．從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算？【提示】后面的一次位移叫前面兩次位移的合位移，四邊形OACB的對(duì)角線eq\o(OC,\s\up10(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OB,\s\up10(→))表示力的合力．體現(xiàn)了向量的加法運(yùn)算．2．上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用什么法則？【提示】三角形法則和平行四邊形法則．1．向量加法的定義圖2－2－1定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up10(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，如圖2－2－1.對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點(diǎn)A，作Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Beq\o(C,\s\up10(→))＝b，則向量Aeq\o(C,\s\up10(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a，b，作Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝b，以Aeq\o(B,\s\up10(→))，Aeq\o(D,\s\up10(→))為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量Aeq\o(C,\s\up10(→))＝a＋b向量加法的運(yùn)算律【問題導(dǎo)思】實(shí)數(shù)的運(yùn)算律有哪些？向量的加法是否也有相似的運(yùn)算律？【提示】交換律和結(jié)合律、有.交換律結(jié)合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(見學(xué)生用書第38頁(yè))向量的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))；(2)eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OP,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).【思路探究】多個(gè)向量相加，可嘗試運(yùn)用向量加法的三角形法則，也可以觀察向量的字母直接運(yùn)算．解題時(shí)要靈活運(yùn)用運(yùn)算律，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．【自主解答】(1)eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→)))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OP,\s\up10(→))＝(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→)))＝eq\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.1．進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)常常用到向量平移，還要運(yùn)用運(yùn)算律來調(diào)整順序．2．當(dāng)運(yùn)算結(jié)果為零向量時(shí)，不要寫成數(shù)字0，因?yàn)橄蛄康暮腿詾橄蛄浚?jiǎn)下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))；(2)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→)).【解】(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→))＝eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)).利用向量證明幾何問題如圖所示，已知E、F分別是?ABCD的邊DC、AB的中點(diǎn)，求證：四邊形AECF是平行四邊形．圖2－2－2【思路探究】要證四邊形AECF為平行四邊形，只需證eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→)).【自主解答】在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，又由E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，得eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(FB,\s\up10(→)).所以eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))＝eq\o(FB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→))，又A、E、C、F四點(diǎn)不共線，故四邊形AECF是平行四邊形．1．用向量證明幾何問題的一般步驟：(1)把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量；(2)通過向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系；(3)還原成幾何問題．2．要注意有向線段表示的向量相等，說明有向線段所在直線平行或重合且長(zhǎng)度相等．已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，DO＝OB.圖2－2－3求證：四邊形ABCD為平行四邊形．【證明】∵AO＝OC，DO＝OB，∴eq\o(AO,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(DO,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→)).∴eq\o(DO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))，∴eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).即DC∥AB且|eq\o(DC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))|，∴四邊形ABCD為平行四邊形.向量加法的實(shí)際應(yīng)用如圖所示，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．圖2－2－4【思路探究】解答本題先明確飛行路程與兩次位移和的含義，再解Rt△ABC，求出|eq\o(AC,\s\up10(→))|和∠BAC，最后結(jié)合圖形作答．【自主解答】設(shè)eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up10(→))|＋|eq\o(BC,\s\up10(→))|；兩次飛行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up10(→))|＋|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up10(→))|2＋|\o(BC,\s\up10(→))|2)＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向?yàn)楸逼珫|35°＋45°＝80°.從而飛機(jī)飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\向量加法的實(shí)際問題的解題步驟如下：(1)用向量表示相應(yīng)問題中既有大小又有方向的量；(2)利用平行四邊形法則或三角形法則求向量的和；(3)利用直角三角形知識(shí)解決問題．為了調(diào)運(yùn)急需物資，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東5km/h.圖2－2－5(1)試用向量表示江水的速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水的速度方向間的夾角表示)．【解】(1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up10(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up10(→))表示水速．易知AD⊥AB，以AD，AB為鄰邊作矩形ABCD，則eq\o(AC,\s\up10(→))表示船實(shí)際航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up10(→))|2＋|\o(BC,\s\up10(→))|2)＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因?yàn)閠an∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up10(→))|,|\o(AB,\s\up10(→))|)＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船實(shí)際航行的速度大小為10km/h，方向與江水的速度方向間的夾角為60°.

(見學(xué)生用書第39頁(yè))因忽略特殊向量而出錯(cuò)下列命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0；③在eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【錯(cuò)解】C【錯(cuò)因分析】①中，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，命題不成立，因此①是假命題；②是真命題；③中，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，也可以有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0，因此③是假命題；④中，只有當(dāng)a與b為同向向量時(shí)，|a＋b|與|a|＋|b|才相等，其他情況下均為|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命題．故真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)．【防范措施】在進(jìn)行向量的加、減法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意一些特殊情況，如零向量、共線向量等．特別是判斷一些相關(guān)命題的真假時(shí)，一定要考慮到這些特殊的情況，如果忽略這些就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．【正解】B1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行．(見學(xué)生用書第40頁(yè))1．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同D．不確定【解析】如果a和b方向相同，則它們的和的方向應(yīng)該與a(或b)的方向相同；如果它們的方向相反，而a的模大于b的模，則它們的和的方向與a的方向相同．【答案】A2．下列等式錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)＋0＝0＋a＝aB.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝0D.eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(NP,\s\up10(→))＋eq\o(PM,\s\up10(→))【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AC,\s\up10(→))≠0，故B錯(cuò)．【答案】B3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四邊形【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))符合平行四邊形法則，所以四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】D4．化簡(jiǎn)：(1)eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→)).【解】(1)eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).(2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→)))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FG,\s\up10(→))＝eq\o(AG,\s\up10(→)).一、選擇題1．a(chǎn)、b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)、b是方向相反的向量C．a(chǎn)＝－bD．a(chǎn)、b無論什么關(guān)系均可【解析】只有a∥b，且a與b方向相同時(shí)才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A項(xiàng)正確．【答案】A2．已知菱形的兩鄰邊eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b,其對(duì)角線交點(diǎn)為D，則eq\o(OD,\s\up10(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋bB.eq\f(1,2)b＋aC.eq\f(1,2)(a＋b)D．a(chǎn)＋b【解析】作出圖形，eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b，∴eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．【答案】C3．(2013·阜陽(yáng)高一檢測(cè))下列向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是()A.eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))C.eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→))【解析】A項(xiàng)，eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))；B項(xiàng)，eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))＝eq\o(PM,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(MN,\s\up10(→))；C項(xiàng)，eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝0＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))；D項(xiàng)，eq\o(MP,\s\up10(→))＋eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→))＝(eq\o(GM,\s\up10(→))＋eq\o(MP,\s\up10(→)))＋(eq\o(PQ,\s\up10(→))＋eq\o(QG,\s\up10(→)))＝eq\o(GP,\s\up10(→))＋eq\o(PG,\s\up10(→))＝0.【答案】D4．(2013·濟(jì)南高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不確定【解析】∵|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(BD,\s\up10(→))|，|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝|eq\o(AC,\s\up10(→))|，∴?ABCD是矩形．【答案】B5．(2013·嘉興高一檢測(cè))已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PC,\s\up10(→))成立時(shí)，點(diǎn)P位于()A．△ABC的AB邊上B．△ABC的BC邊上C．△ABC的內(nèi)部D．△ABC的外部【解析】如圖eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PC,\s\up10(→))，則P在△ABC的外部．【答案】D二、填空題6．化簡(jiǎn)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝__________.【解析】(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝0.【答案】07．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，則|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝__________.【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，又AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，∴|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))|＝eq\r(13).【答案】eq\r(13)8．當(dāng)非零向量a，b滿足________時(shí)，能使a＋b平分a與b的夾角．【解析】以a，b為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為菱形時(shí)，a＋b平分a與b的夾角，此時(shí)|a|＝|b|.【答案】|a|＝|b|三、解答題9．已知|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【解】如圖，∵|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝3，∴四邊形OACB為菱形．連OC、AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2).∴|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).10.圖2－2－6如圖所示，在?ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E、F，使BE＝DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【證明】eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))，eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\o(FD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))，又∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(FD,\s\up10(→)).∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→)).∴AE綊FC，∴四邊形AECF是平行四邊形．11．如圖所示，中心為O的正八邊形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝eq\o(OAj,\s\up10(→))(j＝1,2，…，8)，試化簡(jiǎn)a2＋a5＋b2＋b5＋b7.圖2－2－7【解】因?yàn)閑q\o(OA3,\s\up10(→))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝0，所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝eq\o(A2A3,\s\up10(→))＋eq\o(A5A6,\s\up10(→))＋eq\o(OA2,\s\up10(→))＋eq\o(OA5,\s\up10(→))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝(eq\o(OA2,\s\up10(→))＋eq\o(A2A3,\s\up10(→)))＋(eq\o(OA5,\s\up10(→))＋eq\o(A5A6,\s\up10(→)))＋eq\o(OA7,\s\up10(→))＝eq\o(OA6,\s\up10(→))＝b6.【教師備課資源】1．求向量和的作圖方法【典例】(1)已知向量a，b如圖(1)，求作向量a＋b；(2)已知向量a，b，c如圖(2)，求作向量a＋b＋c.圖(1)圖(2)【思路探究】按三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行．【嘗試解答】(1)法一(三角形法則)在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，連接OB，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b.如圖(甲)所示．法二(平行四邊形法則)在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.連接OC，則eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b.如圖(乙)所示．(2)(三角形法則)在平面內(nèi)取一點(diǎn)O.作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，連接OC，則由三角形法則得eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a＋b＋c.如圖所示．應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則作向量和時(shí)需注意的問題：(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”，即n個(gè)首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合．(3)求作三個(gè)或三個(gè)以上的向量和時(shí)，用三角形法則更簡(jiǎn)單．如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作a＋b＋c＋d.【解】如圖所示，首先在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，接著作eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則得eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，則得eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b＋c，再作eq\o(CD,\s\up10(→))＝d，則向量eq\o(OD,\s\up10(→))＝a＋b＋c＋d為所求．2．知識(shí)拓展向量加法運(yùn)算中模的性質(zhì)(1)當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b不共線時(shí)，由向量加法的三角形法則可知a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.(2)當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b共線且同向時(shí)(如圖1)，則向量a＋b與a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.圖1圖2(3)當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b反向且|a|<|b|時(shí)(如圖2)，則a＋b與b方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝||a|－|b||.(4)當(dāng)兩個(gè)向量a與b中至少有一個(gè)為0時(shí)，則必有|a＋b|＝|a|＋|b|＝||a|－|b||.綜上可知任意兩個(gè)向量a，b恒有：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.3．動(dòng)態(tài)課件制作一個(gè)動(dòng)態(tài)課件探究：|a＋b|≤|a|＋|b|.通過改變a，b的位置(共線且同向、共線且反向、不共線)動(dòng)態(tài)演示|a＋b|與|a|＋|b|的關(guān)系，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)和理解．

2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)了解相反向量的概念．(2)掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義．2．過程與方法通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生利用類比的方法探究向量減法的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新意識(shí)．●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法．難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定．●教學(xué)建議關(guān)于向量的減法，在向量代數(shù)中，常有兩種定義方法．第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，也就是，如果b＋x＝a，則x叫做a與b的差，記作a－b.這樣，作a－b時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，再作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up10(→))就是a－b(圖1)圖1圖2第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量加法定義向量減法，即定義a－b＝a＋(－b)．在這種定義下，作a－b時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OB′,\s\up10(→))＝－b，eq\o(OA,\s\up10(→))＝－a(圖2)，則由向量加法的平行四邊形法則知eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋(－b)．實(shí)際上，這兩種定義方法沒有本質(zhì)區(qū)別．由b＋x＝a，可知圖中四邊形也是平行四邊形，因此為了便于學(xué)生接受，降低理論要求，教科書先定義了相反向量，然后把a(bǔ)＋(－b)定義向a－b，并探索了在此定義下作兩個(gè)向量差的方法以及向量減法的幾何意義．含有向量的等式叫做向量等式，在向量等式的兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的向量，仍得到向量等式，移項(xiàng)法則對(duì)向量等式也是適用的．對(duì)這些性質(zhì)，教科書未作專門介紹，實(shí)際上通過作圖很容易驗(yàn)證．教學(xué)時(shí)，可以不專門講這些內(nèi)容，需要時(shí)能正確運(yùn)用就行了．向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形和三角形來進(jìn)行講述的，兩種作圖方法各有千秋，第一種作法結(jié)合向量減法的定義，第二種作法結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，直接做出從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量a、b的差，即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．第二種作圖方法比較簡(jiǎn)捷．●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：類比數(shù)的減法，試探究向量是否有減法？如何理解向量的減法？)?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生探究向量減法的定義及三角形法則，掌握并理解向量減法的幾何意義.)?eq\x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握向量表達(dá)式的化簡(jiǎn)策略及思路.)?eq\x(通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握向量的線性表示方法.)?eq\x(通過例3及其互動(dòng)探究，使學(xué)生掌握向量方法在平面幾何問題中的使用思路.)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正.)?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).)(見學(xué)生用書第40頁(yè))課標(biāo)解讀1.掌握向量減法的運(yùn)算，理解其幾何意義．(重點(diǎn))2.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．(難點(diǎn))3.能將向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算．(易混點(diǎn))相反向量【問題導(dǎo)思】實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為－a，向量a與－a關(guān)系應(yīng)叫做什么？【提示】相反向量．1．定義：如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，而方向相反，那么稱這兩個(gè)向量是相反向量．2．性質(zhì)：(1)對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量．向量的減法【問題導(dǎo)思】1．兩個(gè)相反數(shù)的和為零，那么兩個(gè)相反向量的和也為零向量嗎？【提示】是零向量．2．根據(jù)向量的加法，如何求作a－b?【提示】先作出－b，再按三角形或平行四邊形法則作出a＋(－b)．1．定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量．圖2－2－82．作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up10(→))，如圖2－2－8所示．3．幾何意義：a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．(見學(xué)生用書第40頁(yè))化簡(jiǎn)向量關(guān)系式化簡(jiǎn)：(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))．【思路探究】解答本題可先去括號(hào)，再利用相反向量及加法交換律、結(jié)合律化簡(jiǎn)．【自主解答】法一(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋Beq\o(D,\s\up10(→)))＋(eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.法二(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＋(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→)))＝eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝0.法三設(shè)O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))－(Oeq\o(D,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝0.注意滿足下列兩種形式可以化簡(jiǎn)：(1)首尾相接且為和．(2)起點(diǎn)相同且為差．做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)要注意逆向應(yīng)用、統(tǒng)一向量起點(diǎn)方法的應(yīng)用．化簡(jiǎn)下列各式：(1)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))；(2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))．【解】(1)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→)))－(eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→)))－(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)))＝eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→)))＋(eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))－(eq\o(EF,\s\up10(→))－eq\o(EA,\s\up10(→)))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))－eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(EF,\s\up10(→)).用已知向量表示其他向量如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O是正六邊形中一點(diǎn)，若已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OF,\s\up10(→))＝b，eq\o(EO,\s\up10(→))＝c，eq\o(DO,\s\up10(→))＝d，試用向量a，b，c，d表示eq\o(ED,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(DB,\s\up10(→)).圖2－2－9【思路探究】運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則，將所求向量用已知向量a、b、c、d的和與差來表示．【自主解答】eq\o(ED,\s\up10(→))＝eq\o(EO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(EO,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))＝c－d.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(DO,\s\up10(→))＝－a－d.eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(FA,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(EO,\s\up10(→))＝a＋c.1．解決此類問題應(yīng)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、平行向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．2．通過表示向量的有向線段的字母符號(hào)運(yùn)算來解決問題時(shí)，運(yùn)算過程中，將“－”改為“＋”，只需把表示向量的兩個(gè)字母的順序顛倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up10(→))”改為“＋eq\o(BA,\s\up10(→))”．如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，試用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(BE,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))及eq\o(CE,\s\up10(→)).圖2－2－10【解】∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))＝c，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\o(AE,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝b－a＋c.向量加減法在平面幾何中的應(yīng)用已知O是?ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(OD,\s\up10(→))＝c，證明：c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).【思路探究】法一，可將c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→))轉(zhuǎn)化為證明c＋a＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋b，可利用向量加法證明；法二，可綜合應(yīng)用向量加減法證明．【自主解答】法一c＋a＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＋b＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))，∴c＋a＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋b，即c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).法二c＋a－b＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)).在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))，則eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，∴c＋a－b＝eq\o(OD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))，即c＋a－b＝eq\o(OB,\s\up10(→)).1．法一是利用三角形加法法則證明兩個(gè)向量的和相等；法二是利用向量減法法則證明兩個(gè)向量的差相等，證明時(shí)可靈活選擇方法．2．靈活選擇方法，優(yōu)化思維過程，通過恒等變形來證明等價(jià)命題是常用的證明恒等式的方法．在本例中設(shè)eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(CB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，求證：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→)).【證明】∵c－a＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－b，∴c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→))－b，即b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up10(→)).(見學(xué)生用書第42頁(yè))錯(cuò)用向量減法法則致誤如圖所示，已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別為r1、r2、r3，求eq\o(OD,\s\up10(→)).圖2－2－11【錯(cuò)解】因?yàn)閑q\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))，所以eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝r3＋r2－r1.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤使用了向量的減法法則導(dǎo)致解錯(cuò)．【防范措施】減法口決：始點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，箭頭指向被減向量．應(yīng)把首尾相接的放在一起計(jì)算，始點(diǎn)相同的放在一起計(jì)算．必要時(shí)，可畫出圖象，結(jié)合圖象觀察將使問題更為直觀．【正解】eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝r3＋r1－r2.1．向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，即：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，如：a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”．解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆．3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，則兩條對(duì)角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up10(→))＝a－b.這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住．(見學(xué)生用書第42頁(yè))1．如圖所示，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，則用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up10(→))和eq\o(BD,\s\up10(→))圖2－2－12分別是()A．a(chǎn)＋b和a－bB．a(chǎn)＋b和b－aC．a(chǎn)－b和b－aD．b－a和b＋a【解析】由向量的加法、減法得，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a.故選B.【答案】B2．下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3B．4C．5D．6【解析】根據(jù)相反向量的概念知①②③④⑤正確，所以正確的個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選C.【答案】C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝|eq\o(CA,\s\up10(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|的值為________．【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))，而|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝1＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|.【答案】14．化簡(jiǎn)：eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(DA,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→)))．【解】eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→))－(eq\o(DA,\s\up10(→))－eq\o(CF,\s\up10(→)))＝eq\o(DC,\s\up10(→))－eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→)).一、選擇題1．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up10(→))的相反向量是()A．a(chǎn)－b B．b－aC．a(chǎn)＋b D．－a－b【解析】∵eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up10(→))的相反向量為－(b－a)＝a－b.【答案】A2．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A.eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))B.eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))C.eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(OF,\s\up10(→))＋eq\o(OE,\s\up10(→))D.eq\o(EF,\s\up10(→))＝－eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→))【解析】∵O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，∴eq\o(OE,\s\up10(→))＋eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))，由此可以推出eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(OF,\s\up10(→))－eq\o(OE,\s\up10(→)).故選B.【答案】B3.圖2－2－13如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up10(→))B.eq\o(FC,\s\up10(→))C.eq\o(FE,\s\up10(→))D.eq\o(DF,\s\up10(→))【解析】由圖易知eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))，∴eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BE,\s\up10(→))，又eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→))，∴eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).【答案】D4.圖2－2－14(2013·中山高一檢測(cè))如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))B.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))C.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))D.eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，故C項(xiàng)錯(cuò)．【答案】C5．O是四邊形ABCD所在平面上任一點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))，且|eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))|，則四邊形ABCD一定為()A．菱形B．任意四邊形C．矩形D．平行四邊形【解析】由|eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OD,\s\up10(→))|知|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，且eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))，故四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】D二、填空題6．在△OAB中，已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，則|a－b|＝________.【解析】a－b＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，∵|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，故△AOB為等邊三角形，∴|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝4，即|a－b|＝4.【答案】47．(2013·徐州高一檢測(cè))已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up10(→))可用eq\o(OA,\s\up10(→))、eq\o(OB,\s\up10(→))表示為________．【解析】eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→)).【答案】2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))8．給出以下五個(gè)命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②任一非零向量的方向都是唯一的；③|a|－|b|＜|a＋b|；④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，則b＝0；⑤已知A、B、C是平面上任意三點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0.其中正確的命題有________．【解析】由|a|＝|b|，得不到a＝b，因?yàn)閮蓚€(gè)向量相等需要模相等，方向相同，故①不正確；當(dāng)b＝0時(shí)，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正確．【答案】②④⑤三、解答題9．設(shè)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝c，若以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個(gè)頂點(diǎn)為H.試用a，b，c表示Deq\o(C,\s\up10(→))、Oeq\o(H,\s\up10(→))、Beq\o(H,\s\up10(→)).【解】由題意可知四邊形OADB為平行四邊形，∴Oeq\o(D,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))＋Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋b.∴Deq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(D,\s\up10(→))＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四邊形ODHC為平行四邊形，∴Oeq\o(H,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))＋Oeq\o(D,\s\up10(→))＝c＋a＋b.∴Beq\o(H,\s\up10(→))＝Oeq\o(H,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋b＋c－b＝a＋c.10．(2013·泰安高一檢測(cè))已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點(diǎn)，eq\o(CM,\s\up10(→))＝a，eq\o(CA,\s\up10(→))＝b，求證：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.【證明】如圖，在等腰Rt△ABC中，由M是斜邊AB的中點(diǎn)，得|eq\o(CM,\s\up10(→))|＝|eq\o(AM,\s\up10(→))|，|eq\o(CA,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(CM,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝|eq\o(CM,\s\up10(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＝a－b，所以eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(MB,\s\up10(→))－eq\o(MC,\s\up10(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．從而由|eq\o(CB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CA,\s\up10(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.11．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，先用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up10(→)