第九章歐氏空間

第九章

歐氏空間內容摘要1

內積和歐幾里得空間(1)

設V

是實數(shù)域R上一個線性空間，如果對V中任意兩個元素,有一個確定的實數(shù)(,)與它們對應，且滿足：1)

(,)=

(

,

)；2)

(k,)=k(,)；3)

(+,)=

(

,

)+(

,

)；4)

(,

)0，當且僅當

=0時(,

)=0.則稱(,)為與的內積，定義了內積的實線性空間稱為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間.(,

)=a1b1+a2b2+…+anbn=T.(2)

一些常見的歐氏空間：

1)Rn——對于實向量

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),內積為

2)Rs×n——對于實矩陣A=(aij)s×n,B=(bij)s×n,內積為

3)P[x]——對于實系數(shù)多項式f(x),g(x),內積為(3)

內積具有如下性質：

設V是歐氏空間，

,,

,

i,j

V;k,ki,liR,則

1

)

(,k)=

(k,)=

k(

,

)=

k(,

)；2

)

(,+)=

(+,)=

(

,

)+(,)=

(

,

)+(,).3

)

(,0

)=

(0

,)=

0；5

)

|(,

)||||

|，當且僅當,線性相關時，等號才成立.

2

長度、夾角與正交(1)設V是歐氏空間，對任意V，非負實數(shù)稱為向量的長度，記為||.即，長度為1的向量稱為單位向量.如果≠0，則是單位向量，稱為將單位化.(2)非零向量,的夾角<,>規(guī)定為(3)如果向量,的內積為零，即(,)=0，那么,稱為正交或互相垂直，記為

.(4)長度具有如下性質(設V是歐氏空間，

,V;kR)：1)(非負性)||≥0，當且僅當=0時||=0；2)(齊次性)|k|=|k|||；3)(三角不等式)|+|||+|

|.(5)正交向量組的性質(設V是歐氏空間，

,,iV)：1)當

時,|+

|2=|

|2+|

|2；2)如果1,2,…,s兩兩正交,則|1+2+…+s

|2=|1

|2+|2

|2+…+|s

|2

；3)兩兩正交的非零向量組是線性無關的.3

度量矩陣(1)設V是n維歐氏空間，1,2,…,n是

V

的一組基，稱矩陣為基1,2,…,n的度量矩陣.(2)度量矩陣有如下的性質：1)設,V在基1,2,…,n下的坐標分別為x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，則(,)=xTAy

，其中A是基1,2,…,n的度量矩陣，這表明任意兩個向量的內積可以通過坐標和度量矩陣的乘積表示出來，即度量矩陣完全確定了內積；2)基的度量矩陣是對稱正定的；3)設1,2,…,n是歐氏空間V的另外一組基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的過渡矩陣為C,

即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.則基1,2,…,n的度量矩陣A和基

1,2,…,n的度量矩陣B滿足B=CTAC，即不同基的度量矩陣是合同的，且合同變換矩陣是兩組基之間的過渡矩陣.4

標準正交基(1)設1,2,…,n是

n維歐氏空間V

的一組基，如果它們兩兩正交，則稱之為V的正交基；由單位向量組組成的正交基稱為標準正交基.(2)n維歐氏空間V必存在正交基與標準正交基.對n維歐氏空間V的任一組基

1,2,…,n都可以用施密特(Schmidt)正交化過程化為正交基1,2,…,n.施密特正交化過程如下：如果再把每個i單位化，即得到V的一組標準正交基.(3)標準正交基的有關結果如下：設V是n維歐氏空間，1,2,…,n是

V

的一組標準正交基，則1)標準正交基的度量矩陣是單位矩陣；2)設,V，且,在基1,2,…,n下的坐標分別為x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，則(,)=x1y1+

x2

y2+…+

xn

yn=xTy

3)V中任一向量在基1,2,…,n下的坐標為((,1

),

(,2

),…,

(,n

))T.

4)由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣(即滿足ATA=E的n級實矩陣).

又若兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，且其中一組基是標準正交基，則另一組基也是標準正交基.5

正交矩陣(1)如果n級實矩陣A滿足ATA=E(或AAT=E,或A-1A=E),則稱A為正交矩陣.(2)正交矩陣具有如下性質：1)如果A是正交矩陣，則|A|=±1；2)如果A是正交矩陣，則AT，A-1，A*，Ak均是正交矩陣；而lA是正交矩陣的充要條件是l=±1；3)如果A,B是n級正交矩陣，則AB也是正交矩陣；4)n級實矩陣A是正交矩陣的充要條件是A的n個列(或行)向量是兩兩正交的單位向量.(1)

設V與V是兩個歐氏空間，如果存在由V到V有一個雙射,且對任意

,V;kR有1)

(+

)=(

)+(

)；2)

(k

)=k(

),則稱是

V到V的同構映射，此時稱V與V同構.6歐氏空間的同構3)

((),

(

))=(,

).(2)同構歐氏空間的有關結論如下：1)同構的歐氏空間具有反身性、對稱性與傳遞性;3)

兩個有限維歐氏空間同構的充分必要條件是它們有相同的維數(shù).2)任一個n維歐氏空間都與Rn同構;7正交變換(1)

歐氏空間V的線性變換/A稱為正交變換，如果它保持向量的內積不變，即對于任意的,V，都有(/A,/A

)=(,

).(2)設/A是n維歐氏空間V的一個線性變換，于是下面四個命題是相互等價的：1)

/A是正交變換；

2)

/A保持向量的長度不變，即對于V，|/A|=||；

3)

如果1,2,…,n

是標準正交基，那么/A1,/A2,…,/An也是標準正交基;4)

/A在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.8正交子空間與正交補(1)

設V1,V2是歐氏空間V中兩個子空間，如果對于任意的V1，V2，

恒有(,)

=0.

則稱V1,V2為正交的，記為V1

V2.一個向量，如果對于任意的V1，恒有(,)

=0.

則稱與子空間V1正交，記為

V1.如果V1

V2，且V=V1

+

V2，則稱V2為V1的正交補，記為V1.(2)正交子空間有下列結果：1)設V是歐氏空間，,i,j

V，則

L(1,2,…,t)

等價于

j(j=1,2,...,t);

L(1,2,…,s)

L(1,2,…,t)等價于i

j(i=1,2,...,s;j=1,2,...,t).2)如果歐氏空間V的子空間

V1,V2,…,Vs

兩兩正交，則V1+V2+…+Vs

是直和.3)

n維歐氏空間V的每一個子空間V1都有唯一的正交補.且V1恰由所有與V1

正交的向量組成.4)在n維歐氏空間V的子空間W中取一組正交基(或標準正交基)1,2,…,r(0<r<n)，將其擴充成V的正交基(或標準正交基)1,2,…,r,r+1,…,n，則W=L(r+1,…,n)

.5)設W是歐氏空間V的子空間，則維(V)=維(W)+維(W).9實對稱矩陣的標準形(1)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).(2)實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量必正交.(3)對于任意一個n級實對稱矩陣A，都存在一個n級正交矩陣T，使得T'AT=T-1AT為對角矩陣.(4)實對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算：第一步求實對稱矩陣A的特征值和對應的線性無關的特征向量.設1,2,...,s是A的全部互異特征值，其重數(shù)分別為r1,r2,...,rs，且r1+r2+...+rs=n.又設對應特征值i的ri個線性無關的特征向量為第二步如果ri>1，將對應i的特征向量用施密特正交化過程正交化，再單位化得如果ri=1，直接將pi1單位化得qi1.第三步構造正交矩陣則有：10對稱變換(1)設V是歐氏空間，/A為V的線性變換，如果對任意

,