第9章-風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(第4次)

8.1RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009如何理解“百年一遇”等2008年新聞，三峽大壩可抵御百年一遇大洪水2007年開(kāi)始的“金融海嘯”，人們常常說(shuō)其是一場(chǎng)百年一遇的金融危機(jī)如何理解“百年一遇”或“千年一遇”8.2RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009如何理解百年一遇等（續(xù)）一種直觀的理解是在一年的時(shí)間內(nèi)有1%的可能會(huì)發(fā)生。RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20098.3風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度

(ValueatRisk-VaR)第9

章1.1什么風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(VaR)?8.4RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.1什么風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(VaR)?（續(xù)）8.5RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009這里的變量V就是交易組合的VaR。VaR

是以下兩個(gè)變量的函數(shù):T,時(shí)間段,和

X,置信水平.8.6RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20098.7RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.1什么風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(VaR)?（續(xù)）當(dāng)使用VaR來(lái)檢測(cè)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，我們是在陳述以下事實(shí)：“我們有X%的把握，在T時(shí)間段，我們的損失不會(huì)大于V?！?.8RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.2風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度產(chǎn)生的背景之前學(xué)習(xí)的風(fēng)險(xiǎn)敏感度雖然對(duì)交易員管理風(fēng)險(xiǎn)暴露非常有幫助，但對(duì)于銀行高層管理人員管理整體風(fēng)險(xiǎn)其作用卻不大。急需一個(gè)能反映整體風(fēng)險(xiǎn)的度量。8.9RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.3VaR的優(yōu)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度(valueatrisk-VaR)試圖對(duì)金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個(gè)單一風(fēng)險(xiǎn)度量，而這一度量恰恰能體現(xiàn)金融機(jī)構(gòu)的整體風(fēng)險(xiǎn)。容易理解。它提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：“事情能有多壞？”8.10RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.4VaR計(jì)算例子No.1例1.假定一個(gè)交易組合在6個(gè)月是的收益服從正態(tài)分布，分布均值為,μ=$200萬(wàn)美元，標(biāo)準(zhǔn)差

σ=$1000萬(wàn)美元.求置信度,X%,等于99%的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度（VaR）.8.11RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.4VaR計(jì)算例子No.1（續(xù)）解：

由于–V=μ–x

σ，有風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度（VaR）V=–（μ–x

σ）=μ–

N–1(99%)σ

=$2–2.33×$1000萬(wàn).=2130萬(wàn)因此,對(duì)于6個(gè)月展望期，在99%置信度下的

VaR

為2130萬(wàn)美元.8.12RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.4VaR計(jì)算例子No.1（續(xù)）練習(xí)：P146,9.68.13RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.4VaR計(jì)算例子No.2例2：假定一個(gè)1年的項(xiàng)目的最終結(jié)果介于

最大$4000萬(wàn)損失和

最大$6000萬(wàn)收益之間.并且在兩個(gè)極端之間的任何結(jié)果具有均等的可能.求：置信度,X,為99%的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度？8.14RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.4VaR計(jì)算例子No.2（續(xù)）解：由于項(xiàng)目的最終損失結(jié)果服從a=–$6000萬(wàn)

到

b=+$4000萬(wàn)的均勻分布.故均勻分布的左側(cè)x%分位數(shù),

V,等于

a+x(b–a).即：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度本V=a+x(b–a)

=–6000+0.99×[4000–(–6000)]=3900.因此,對(duì)于1年展望期，在99%置信度下的VaR為$3900萬(wàn)。8.15RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.5VaR

和資本金VaR被監(jiān)管當(dāng)局以及金融機(jī)構(gòu)用來(lái)確定資本金的持有量。對(duì)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管人員所要求的資本金等于10天展望期的99%VaR的至少3倍。在BaselII協(xié)議框架下，對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管人員要求在資本金計(jì)算中要采用1年展望期及99.9%置信度計(jì)算得出的VaR. 8.16RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.6VaR計(jì)算例子No.3損失累計(jì)分布由下圖所示:8.17RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.6VaR計(jì)算例子No.3假定一個(gè)1年的項(xiàng)目有98%的概率收益為$200萬(wàn)，1.5%的概率損失為$400萬(wàn)，0.5%的概率損失為$1000萬(wàn)。（1）求99%置信水平的VaR（2）求99.5%置信水平的VaR8.18RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20091.6VaR計(jì)算例子3(續(xù))解（1）根據(jù)上圖的損失累積分布圖可知，對(duì)應(yīng)于99%累計(jì)概率的點(diǎn)為$400萬(wàn)。因此，對(duì)于1年展望期，在99%置信度下的VaR為$400萬(wàn)。

例3之（2）

（2）由于對(duì)于置信度為99.5%的VaR，介于$400萬(wàn)和$1000萬(wàn)美元之間的任何一點(diǎn)的損失，均有99.5%的把握不會(huì)被超出，VaR在這一情形下不具有唯一性。

一個(gè)合理的選擇是將VaR設(shè)定為這一區(qū)間的中間值。因此,在本例中,在99.5%置信度下的VaR為

$700萬(wàn)。

8.19RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20098.20RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092、VaR

和ExpectedShortfall使用風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度（VaR）遇到的問(wèn)題：

通過(guò)控制VaR額度的方法，不能完全約束交易員的冒險(xiǎn)行為，可能會(huì)給銀行帶來(lái)額外的風(fēng)險(xiǎn)。考慮如下兩者不同的分布函數(shù)

8.21RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.VaR

和ExpectedShortfall（續(xù)）考慮如下兩者不同的分布函數(shù)VaR1–

XLossProfitProfitLossVaR1–

X2.1預(yù)期虧損的定義預(yù)期虧損（expectedshortfall，簡(jiǎn)稱ES）(有時(shí)也被稱為條件預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度（conditionalVaR,或

C-Var）或條件尾部期望（conditionaltailexpectation）或尾部損失（tailloss）)是在損失超過(guò)VaR的條件下的期望值.具有相同

VaR

的兩個(gè)投資組合可以擁有完全不一樣的

expectedshortfall.8.22RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20098.23RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.1關(guān)于預(yù)期虧損的說(shuō)明具有相同

VaR

的兩個(gè)投資組合可以擁有完全不一樣的

expectedshortfall:VaR1–

XLossProfitVaR1–

XProfitLoss8.24RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20092.2ES計(jì)算例子例4：假設(shè)有一1,000萬(wàn)的貸款，其違約的概率為2%，如果違約發(fā)生，收回本金的數(shù)量不確定。但是我們過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)告訴我們回收率介于0%與100%的可能性為均等。（1）

請(qǐng)計(jì)算置信度為99%的VaR。（2）請(qǐng)計(jì)算置信度為99%的ES。8.25RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20093、一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度（需要添加到資產(chǎn)組合里現(xiàn)金量，以使其風(fēng)險(xiǎn)在可接受范圍內(nèi)）如果滿足以下條件，則它一致性的:單調(diào)性(如果在所有的不同情形下，第1個(gè)交易組合的回報(bào)均低于另一個(gè)交易組合的回報(bào)，那么第1個(gè)交易組合的風(fēng)險(xiǎn)度量一定要比另一個(gè)更大);平移不變性(如果我們?cè)诮灰捉M合中加入K數(shù)量的現(xiàn)金，交易組合所對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)度量要減少K數(shù)量);同質(zhì)性(假定一個(gè)交易組合內(nèi)含資產(chǎn)品種和相對(duì)比例不變，但內(nèi)含資產(chǎn)的數(shù)量增至原數(shù)量的λ倍，此時(shí)新的交易組合的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)是原風(fēng)險(xiǎn)的λ

倍);次可加性(兩個(gè)交易組合相加所組成的一個(gè)新交易組合的風(fēng)險(xiǎn)度量小于或等于最初兩個(gè)交易組合的風(fēng)險(xiǎn)度量的和).8.26RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009VaR

和ExpectedShortfallVaR

滿足前三個(gè)條件，但是不滿足第四個(gè).expectedshortfall

滿足所有四個(gè)條件.VaR

不滿足一致性，也就不是一個(gè)一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，然而expectedshortfall是一個(gè)一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度.8.27RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009VaR計(jì)算例子n.5假定兩個(gè)獨(dú)立貸款項(xiàng)目在1年內(nèi)均有0.02的概率損失$1000萬(wàn)，同時(shí)有0.98的概率損失$100萬(wàn).任意一個(gè)單筆貸款在展望期為1年，97.5%的置信度下的VaR為$100萬(wàn).8.28RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009VaR計(jì)算例子n.5如果把兩個(gè)貸款疊加產(chǎn)生一個(gè)資產(chǎn)組合，組合

有96,04%(=98%×98%)的概率損失$2(=$1+$1)00萬(wàn),

有3,92%(=2×2%×98%)的概率損失$11(=$1+$10=$10+$1)00萬(wàn)，

,

有0,04%(=2%×2%)的概率損失$20(=$10+$10)00萬(wàn).對(duì)于整個(gè)組合，在展望期為1年，97.5%的置信度下的VaR為$1100萬(wàn).單筆貸款所對(duì)應(yīng)VaR的和為$200萬(wàn).因此,這個(gè)投資組合的VaR

比貸款VaR

的總和高$9(=$11–$2)00萬(wàn).這違反了次可加性.8.29RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009ES計(jì)算例子n.6在單一貸款損失概率分布函數(shù)的右尾部，有2.0%的概率損失為$1000萬(wàn)，有0.5%的概率損失為$100萬(wàn).如果我們只計(jì)算在單一貸款損失概率分布函數(shù)的右尾部2.5%范圍內(nèi)，則有80%[=2,0%/(0,5%+2,0%)]的概率損失為$1000萬(wàn)以及20%[=0,5%/(0,5%+2,0%)]的概率損失為$100萬(wàn).所以，ES等于$8.2(=$10×0,8+$1×0,2)00萬(wàn).8.30RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009ES計(jì)算例子n.6如果我們考慮貸款組合的話，有0.04%(=2%×2%)的概率損失為$20(=$10+$10)00萬(wàn)以及有2,46%(=2,5%–0,04%)的概率損失為$11(=$10+$1=$1+$10)00萬(wàn).因此,如果只計(jì)算在貸款組合損失概率分布函數(shù)的右尾部2.5%范圍內(nèi)，則有1.6%(=0,04%/2,5%)的概率損失為$2000萬(wàn)以及有98.4%(=2,46%/2,5%)的概率損失為$1100萬(wàn).因此，貸款組合的ES等于$11,144(=$20×0,016+$11×0,984)00萬(wàn).得出預(yù)期虧損滿足次可加性條件($8,2+$8,2>$11,144).8.31RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度對(duì)損失（收益）分布中的所有分位數(shù)賦予不同權(quán)重，并由此定義光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。VaR

對(duì)于第X個(gè)分位數(shù)設(shè)定了100%的權(quán)重，而對(duì)于其他分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重。ExpectedShortfall

對(duì)于高于X%的分位數(shù)所有的分位數(shù)設(shè)定了相同比重.當(dāng)光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度分配給第q個(gè)分位數(shù)的權(quán)重為q的非遞減函數(shù)時(shí)，這一光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度一定滿足一致性條件。

8.32RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009VaR中的參數(shù)選擇時(shí)間展望期.時(shí)間展望期的選取要根據(jù)因場(chǎng)合而決定.對(duì)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管人員選擇10天的展望期；對(duì)于信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管人員選擇1年的展望期。養(yǎng)老基金通常選擇1個(gè)月作為展望期.8.33RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009這里面最簡(jiǎn)單的假設(shè)時(shí)每天的收益/損失是獨(dú)立的，0均值，的正態(tài)分布。在這種情況下，計(jì)算十分方便:可以從標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出

VaR(比如99%的VaR=2,33σ);

N

天的

VaR

可以從1天的

VaR

得出(N

天的

VaR

=正態(tài)分布假設(shè)1天的VaR

×);8.34RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009自相關(guān)如果資產(chǎn)組合每天的變化量是獨(dú)立同分布的話，N天的方差就等于N倍的1天的方差.如果，投資組合價(jià)值每天之間變化滿足一階自相關(guān)的話，則N天的方差就從N倍的1天的方差變?yōu)?/p>

σ2[N+2(N–1)ρ+2(N–2)ρ2+2(N–3)ρ3+...+2ρN–1],

其中ρ

是相關(guān)系數(shù).

8.35RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull2009自相關(guān)(續(xù))ρT12510502500,001,001,412,243,167,0715,810,051,001,452,333,317,4316,620,101,001,482,423,467,8017,470,201,001,552,623,798,6219,35注:在計(jì)算中，我們假定組合每天價(jià)值變化均為正態(tài)分布，期望值為0，r為自相關(guān)系數(shù)。下表展示了當(dāng)存在一階自相關(guān)時(shí)T天的VaR同1天的VaR的比率

VaR中的參數(shù)選擇置信區(qū)間.置信區(qū)間的選擇與很多因素有關(guān).對(duì)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管人員選擇置信區(qū)間為99%的VaR；對(duì)于信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)，置信區(qū)間為99.9%。一家銀行想保持自己的AA信用評(píng)級(jí)，常常采用99,97%的置信區(qū)間.8.36RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright?JohnC.Hull20098.37Ris