第9章-模型階次的確定

1第9章模型階次的確定29.1引言多種參數(shù)辯識方法需要假定模型的結(jié)構(gòu)已知實(shí)際，模型的結(jié)構(gòu)多數(shù)情況下不可能預(yù)先知道模型結(jié)構(gòu)辯識沒有模型結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識時利用輸入-輸出關(guān)系確定模型的結(jié)構(gòu)3模型結(jié)構(gòu)的辯識包括模型驗(yàn)前結(jié)構(gòu)的假定模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定線性系統(tǒng)模型驗(yàn)前結(jié)構(gòu)–

直接采用差分方程或狀態(tài)方程的表達(dá)形式模型結(jié)構(gòu)辯識–

確定模型階次（單變量過程）或Kronecker不變量（多變量過程）4非線性系統(tǒng)模型驗(yàn)前結(jié)構(gòu)–

需要采用非線性差分方程、Volterra級數(shù)、Hammerstein模型或Winner模型等表達(dá)形式模型結(jié)構(gòu)辯識–

比較復(fù)雜5單輸入-單輸出（SISO)過程的階次辯識包括Hankel矩陣判秩法、行列式比法、F檢驗(yàn)法、AIC法、最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則法這些方法不是通用的方法，不可能適用于任何情況各種方法試試，選擇最合理的需要的階次作為模型的階次6模型階次和參數(shù)估計(jì)互相依賴，不能分離進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時，需要已知階次辯識階次時，利用參數(shù)估計(jì)值同時辯識階次和參數(shù)估計(jì)目前研究的課題79.2根據(jù)Hankel矩陣的秩估計(jì)模型的階次對一個可觀可控SISO過程利用相關(guān)分析法或最小二乘類方法，可獲得相應(yīng)的脈沖響應(yīng)的序列。進(jìn)一步把脈沖響應(yīng)序列轉(zhuǎn)變成參數(shù)模型，需要確定模型的階次8設(shè)過程的脈沖響應(yīng)序列記作構(gòu)造Hankel矩陣

-決定Hankel矩陣的維數(shù)可在1至之間選擇，它決定用那些脈沖響應(yīng)序列組成Hankel矩陣9如果（過程的真實(shí)階次）Hankel矩陣的秩等于即10

式意味著當(dāng)大于過程的真實(shí)階次時Hankel矩陣的秩仍然等于利用這一事實(shí)可通過對不同的值判斷Hankel矩陣的奇異性來確定過程的階次11（1）無噪聲情況設(shè)脈沖響應(yīng)序列不含噪聲，則判定過程模型階次的步驟是：①按（1）式構(gòu)造Hankel矩陣H(l,k),對給定的l值，計(jì)算k取1至L-2l+2時Hankel矩陣的行列式。②若l從1逐漸增加到，對所有的k，都有；而l增加至后，對所有的k，都有，這說明Hankel矩陣在處由非奇異變成奇異陣，由此可判定過程模型的階次為12（2）弱噪聲情況設(shè)脈沖響應(yīng)序列含有噪聲，這時即使l已增加至，但對所有的k，Hankel矩陣的行列式都不會絕對為零。這樣就難于按無噪聲的情況來確定模型的階次。若果脈沖響應(yīng)所含的噪聲較小，則可引進(jìn)Hankel矩陣工行列式的平均比值（3）13

來觀察Hankel矩陣是否已由非奇異變成奇異。當(dāng)l從1開始逐一增加時，不斷計(jì)算值，可取到達(dá)最大值的l作為模型的階次。這時因?yàn)楫?dāng)時，（3）式分母項(xiàng)雖不為零，也較分子急劇下降，從而使在處取得最大值。當(dāng)時，取最大值14（3）強(qiáng)噪聲情況如果脈沖響應(yīng)序列所含的噪聲比較大，未來還能可靠地確定過程模型的階次，構(gòu)造Hankel矩陣時，不能直接采用脈沖響應(yīng)序列，可用脈沖響應(yīng)序列的自相關(guān)系數(shù)構(gòu)成如下的Hankel矩陣（4）（5）159.3利用行列式比估計(jì)模型的階次利用行列式比估計(jì)模型的階次的方法稱作行列式比定階法行列式比定階法基本思想類似于Hankel矩陣判秩定階法但行列式比定階法利用的是輸入輸出數(shù)據(jù)16（1）無噪聲情況如果過程能用如下模型描述其中u(k)和y(k)表示過程的輸入輸出變量，設(shè)（6）其中L為數(shù)據(jù)長度。17如果輸入是充分激勵的信號，它保證始終是滿秩的，意味著。但對不同n，不一定滿秩，但其秩不會大于過程的真實(shí)階次。為此有：其中為模型階次的估計(jì)值。當(dāng)時，，一定是滿秩的；當(dāng)時，，即的秩小于的列數(shù)，故是奇異陣。（7）18有如下結(jié)論當(dāng)時，乘積矩陣是正定的；當(dāng)時，乘積矩陣是奇異的，即有根據(jù)這一結(jié)論，當(dāng)從1開始逐一增加，若有，則應(yīng)取作為過程的模型階次。不過由于計(jì)算誤差的影響，真正讓是比較困難的，為了提高判斷精度，采用如下行列式比來確定模型的階次。當(dāng)從1開始逐一增加時，若較有顯著增加，則這時的可認(rèn)為比較接近真實(shí)階次，應(yīng)取。

（8）（9）19（2）白噪聲情況如果過程能用如下模型描述其中u(k)和z(k)表示過程的輸入輸出變量，v(k)是均值為零，方差為的不相關(guān)的隨機(jī)噪聲，設(shè)模型階次的估計(jì)值為，構(gòu)造數(shù)據(jù)如下矩陣（10）其中L為數(shù)據(jù)長度。（11）20定義如下行列比式同理，當(dāng)從1逐一增加時，若較有顯著增加，則這時的認(rèn)為比較接近過程的真實(shí)階次，應(yīng)取。（12）（13）21例考慮如下對象其中v(k)是均值為零，方差為的不相關(guān)隨機(jī)噪聲；輸入信號u(k)采用M序列，循環(huán)周期，幅度為1；數(shù)據(jù)長度取L=1100。按（11）構(gòu)造數(shù)據(jù)陣，其中分別計(jì)算對應(yīng)的行列式比，如下圖所示。當(dāng)時，行列式比顯著增加，故模型的階次可以定為2階。12345229.4利用殘差的方差估計(jì)模型的階次Hankel矩陣判秩定階法或行列式比定階法在獲得模型參數(shù)估計(jì)值之前就可預(yù)先確定模型的階次基本上與參數(shù)辯識方法無關(guān)23殘差的方差定階法需要在獲得模型參數(shù)估計(jì)值之后求得模型殘差序列并借以統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法對殘差的方差進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)來確定模型的階次它和參數(shù)辯識方法是密切相關(guān)的24考慮如下模型描述的SISO過程其中u(k)和z(k)表示過程的輸入輸出變量；v(k)是均值為零，方差為，服從正態(tài)分布的不相關(guān)隨機(jī)噪聲。且（14）（15）將（14）式寫成（16）25令（17）26其中，L為數(shù)據(jù)長度，則（16）式可以寫成在最小二乘意義下，參數(shù)的估計(jì)值為其中表示模型的階次估計(jì)值，為過程的真實(shí)階次。于是模型的輸出殘差可寫成（18）（19）（20）27

表示過程模型的真實(shí)參數(shù)，殘差的方差為：以概率收斂情況，即：（21）（22）28由于是白噪聲，故最后一項(xiàng)為零，而且：所以（23）（24）29故此當(dāng)時，輸出殘差的方差趨于固定值利用殘差方差的這一性質(zhì)，從1開始逐一增加，觀察方差的變化情況，若L充分大，則將隨遞減，減至某一固定值時，對應(yīng)的可認(rèn)為是過程模型的階次。在實(shí)際中的變化趨勢不可能有曲線①這樣的情況，而是像曲線②那樣緩慢下降。因此必須根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法對進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即是當(dāng)出現(xiàn)明顯下降時，對應(yīng)的可認(rèn)為是過程模型的階次。如右圖所示（25）309.5利用Akaike準(zhǔn)則估計(jì)模型的階次Akaike提出（1974年）一種具有客觀水準(zhǔn)的判定方法采用一種稱作赤池信息準(zhǔn)則（AIC）作為標(biāo)準(zhǔn)，從而能比較客觀地確定過程的模型階次31考慮如下的數(shù)學(xué)模型

-輸出量

-個獨(dú)立的輸入變量

-模型的參數(shù)

-模型的噪聲（26）32為了確定模型（26）式的階次（或獨(dú)立的參數(shù)個數(shù)）Akaike引進(jìn)如下準(zhǔn)則AIC–AkaikeInformationCriterion的縮寫

-參數(shù)的極大似然估計(jì)值

-在條件下的似然函數(shù)

-模型階次或獨(dú)立參數(shù)個數(shù)的估計(jì)值（27）33Akaike證明了使為最小的是模型相對合理的階次。34白噪聲情況設(shè)SISO過程可用如下模型描述其中u(k)和z(k)表示過程的輸入輸出變量；v(k)是均值為零，方差為，服從正態(tài)分布的不相關(guān)隨機(jī)噪聲。若按（17）式定義，可將上述模型寫成輸出變量在條件下的似然函數(shù)為（28）（29）（30）35對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為其中L為數(shù)據(jù)長度，根據(jù)極大值原理,（29）式模型參數(shù)及噪聲v(k)方差的極大似然估計(jì)為將和回代到（31）式，可得（31）（32）（33）36由上式，可得AIC準(zhǔn)則為其中表示模型階次的估計(jì)值；噪聲方差估計(jì)值按（32）式計(jì)算。（34）式是模型（28）式的AIC定階公式，對不同階次，分別計(jì)算，找到使的作為模型的階次。一般來說，這樣得到的模型階次都能比較接近實(shí)際過程的真實(shí)階次。37利用最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則估計(jì)模型的階次利用最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則估計(jì)模型的階次一種依靠極小化一個準(zhǔn)則函數(shù)的判階方法簡稱FPE定階法Akaike指出“最好”的估計(jì)模型應(yīng)該能給出“最好”的輸出一步預(yù)報值也就是最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則要達(dá)到最小38根據(jù)Akaike指出的道理當(dāng)估計(jì)模型的階次從小開始逐一增加時分別求得最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則（FPE）找到使FPE為最小的階次把它作為模型階次的估計(jì)值39閉環(huán)系統(tǒng)辯識40引言許多實(shí)際問題辯識不一定都能在開環(huán)情況下進(jìn)行如：運(yùn)行著的工業(yè)過程利用辯識方法研究動態(tài)特性時，不能切斷反饋回路否則會造成過程失控，影響生產(chǎn)辯識必須在閉環(huán)狀態(tài)下進(jìn)行41研究參數(shù)自適應(yīng)控制時辯識和控制有機(jī)結(jié)合辯識一定在閉環(huán)狀態(tài)下進(jìn)行，以便實(shí)時控制有些系統(tǒng)本身存在內(nèi)在的、固有的反饋（如：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或生物系統(tǒng)）反饋是客觀的、無法解除的辯識只能在有反饋?zhàn)饔玫臓顟B(tài)下進(jìn)行42閉環(huán)系統(tǒng)辯識應(yīng)注意（1）系統(tǒng)的反饋?zhàn)饔貌幻黠@時必須判明系統(tǒng)到底存在不存在反饋?zhàn)饔萌缓鬀Q定采用什么樣的辯識方法（2）必須弄清楚該如何把開環(huán)辯識方法用于閉環(huán)辯識或者開環(huán)辯識方法附加什么條件后才能用于閉環(huán)辯識43主要內(nèi)容判明系統(tǒng)是否存在反饋?zhàn)饔玫姆椒ㄩ]環(huán)辯識條件閉環(huán)辯識方法開環(huán)辯識方法在閉環(huán)系統(tǒng)中的應(yīng)用44判明系統(tǒng)是否存在反饋?zhàn)饔玫姆椒ㄈ绻粋€系統(tǒng)的反饋是隱含的難以直截了當(dāng)?shù)刈鞒雠袛嗖灰饔^認(rèn)為系統(tǒng)是開環(huán)的或者就是閉環(huán)的必須經(jīng)過計(jì)算才能對系統(tǒng)內(nèi)部到底存在不存在反饋?zhàn)饔米鞒雒鞔_的判斷45最簡單的判斷方法檢驗(yàn)系統(tǒng)的輸入信號與輸出測量噪聲相關(guān)性如果輸入信號與輸出測量噪聲不相關(guān)則系統(tǒng)內(nèi)部沒有反饋存在否則系統(tǒng)內(nèi)部存在著反饋46但是由于系統(tǒng)的輸出測量噪聲是不可測的，或者是確定性的系統(tǒng)輸出測量噪聲為零因此想通過檢驗(yàn)系統(tǒng)的輸入信號與輸出測量噪聲的相關(guān)性判斷系統(tǒng)是否存在反饋實(shí)際上是不現(xiàn)實(shí)的47閉環(huán)系統(tǒng)的可辯識性概念辯識結(jié)果的好壞與以下幾個方面的考慮有關(guān)（1）具體的辯識對象（2）所用的模型結(jié)構(gòu)（3）所采用的辯識方法（4）所考慮的實(shí)驗(yàn)條件48對閉環(huán)辯識有一個可辯識性問題在不同的辯識對象、模型結(jié)構(gòu)、辯識方法、實(shí)驗(yàn)條件下閉環(huán)系統(tǒng)不一定是可以辯識的49閉環(huán)辯識方法及可辯識性條件閉環(huán)辯識要求在不打開控制環(huán)的情況下進(jìn)行在這之前必須對系統(tǒng)是否可辯識作出明確的答復(fù)間接辯識法必須先獲得閉環(huán)系統(tǒng)模型在此基礎(chǔ)上利用反饋通道上的控制器模型從中導(dǎo)出前向通道的模型50直接辯識法利用前向通道的輸入輸出數(shù)據(jù)直接建立前向通道的數(shù)學(xué)模型反饋通道的控制器模型可以未知51兩種方法的區(qū)別間接法要求反饋通道的控制器模型已知直接法要求前向通道的輸入輸出變量是可測的辯識性觀點(diǎn)只要在反饋通道上加上一個均值為零與輸出測量噪聲無關(guān)的持續(xù)激勵攝動信號兩種閉環(huán)辯識方法可以是等效的52閉環(huán)系統(tǒng)的階次辯識閉環(huán)辯識方法一般必須事先假定模型的階次已知53最小二乘法在閉環(huán)辯識中的應(yīng)用SISO離散閉環(huán)系統(tǒng)54前向通道的模型寫成反饋通道的模型為55其中和是互不相關(guān)分別服從高斯和的白噪聲和表示前向通道和反饋通道的純遲延56對模型式可利用最小二乘法，直接獲得模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)值其中57輔助變量法在閉環(huán)辯識中的應(yīng)用辯識對象（閉環(huán)系統(tǒng)）58設(shè)前向通道模型為反饋通道模型為

-均值為零的有色噪聲59用最小二乘法獲得參數(shù)的無偏一致估計(jì)這種情況不僅與的現(xiàn)在值有關(guān)而且與的過去值相關(guān)獲得好的參數(shù)估計(jì)值設(shè)法解除與的相關(guān)性60若在給定端加入激勵信號（加M序列）系統(tǒng)的輸入輸出變量分解成腳標(biāo)“

”和“

”表示相應(yīng)變量是由或激勵生成的和與是不相關(guān)的61若用和代替和構(gòu)成一個輔助矩陣其中62利用輔助變量法可得參數(shù)估計(jì)值由于與不相關(guān)故可以是無偏估計(jì)值輔助矩陣中的元素和是不可測的只能用迭代的方法計(jì)算6364多變量線性過程辯識65引言MIMO過程辯識問題可看作SISO過程的擴(kuò)展包含一個以上的輸入量和輸出量SISO過程一樣，也是利用輸入輸出數(shù)據(jù)準(zhǔn)則意義上，尋找與過程特性等價的數(shù)學(xué)模型66MIMO過程示意圖67輸入輸出變量–

向量的形式表現(xiàn)68含有噪聲的MIMO過程示意圖69輸出向量含有測量噪聲輸出向量應(yīng)表示成其中70研究MIMO線性過程辯識時首先選擇描述多變量過程的模型類型一般有四種描述形式（模型之間互相等價，可以互相轉(zhuǎn)換）狀態(tài)空間模型輸入輸出差分方程傳遞函數(shù)矩陣脈沖響應(yīng)矩陣或稱Markov參數(shù)矩陣71當(dāng)過程的輸入輸出變量可測時使用輸入輸出差分方程、傳遞函數(shù)矩陣、Markov參數(shù)矩陣的模型比較方便它們可以直接利用輸入輸出數(shù)據(jù)獲得72SISO過程模型結(jié)構(gòu)的辯識–

確定模型的階次MIMO過程模型結(jié)構(gòu)的辯識–

確定一組Kronecker不變量確定了模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)單變量的許多參數(shù)估計(jì)算法都可以推廣到多變量過程73多變量過程的描述多變量過程的參數(shù)估計(jì)方法多變量過程的結(jié)構(gòu)辯識主要內(nèi)容74多變量過程的描述多變量過程的描述和單變量過程類似可以用狀態(tài)方程、差分方程、傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)等形式來描述這些模型的形式是可以互相轉(zhuǎn)化的75狀態(tài)空間描述及規(guī)范型線性多變量過程可以表示成狀態(tài)方程的形式

-維的狀態(tài)變量

-分別是維（和）的常數(shù)矩陣

-噪聲向量76MIMO過程的狀態(tài)方程描述不是唯一的狀態(tài)變量經(jīng)過任意的非奇異線性變換就轉(zhuǎn)化成另一種新的狀態(tài)方程矩陣分別用代替

-非奇異線性變換矩陣77MIMO過程的狀態(tài)方程非唯一性需要研究MIMO過程的規(guī)范型表達(dá)形式可分成矩陣規(guī)范后出現(xiàn)若干行單位向量矩陣規(guī)范后出現(xiàn)若干列單位向量78常見的六種規(guī)范表達(dá)形式行同伴型列