第16講 時(shí)諧電磁場(chǎng)(II)

電磁場(chǎng)與電磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主講：史琰Review2023/2/3shiyan@2時(shí)諧場(chǎng)量與其相量間的關(guān)系復(fù)數(shù)（頻域）形式的Maxwell方程組極化磁化傳導(dǎo)介電常數(shù)(電容率)磁導(dǎo)率電導(dǎo)率靜態(tài)場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)正數(shù)復(fù)數(shù)2023/2/3shiyan@3實(shí)常數(shù)Review虛部反映介質(zhì)的損耗注：金屬導(dǎo)體的電導(dǎo)率在直到紅外線的整個(gè)射頻范圍內(nèi)均可看作實(shí)數(shù)，且與頻率無(wú)關(guān)復(fù)介質(zhì)參數(shù)：等效復(fù)介電常數(shù)損耗角正切（反映介質(zhì)在該頻率的損耗大?。┑刃?fù)介電常數(shù)等效位移電流2023/2/3shiyan@4電介質(zhì)損耗與電導(dǎo)率同時(shí)考慮Review第16講時(shí)諧電磁場(chǎng)(I)2023/2/3shiyan@5復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭定理時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理波動(dòng)方程復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@6對(duì)正弦電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)：復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@7對(duì)于正弦電磁場(chǎng)，場(chǎng)量隨時(shí)間作周期性的簡(jiǎn)諧變化，每一點(diǎn)處瞬時(shí)電磁功率密度的時(shí)間平均值更具有時(shí)間意義：Note1：周期T=2π/ω；Note2：為復(fù)坡印廷矢量，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，表示復(fù)功率 流密度；Note3：實(shí)部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛 部為無(wú)功功率流密度；Note4：Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@8電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：復(fù)坡印亭矢量2023/2/3shiyan@9源輸出功率密度、導(dǎo)電損耗功率密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：各向同性線性介質(zhì)的坡印亭定理（無(wú)介質(zhì)損耗情況下）時(shí)間平均的坡印亭定理復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@10考慮矢量恒等式復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@11復(fù)矢量表示的坡印廷定理，稱為復(fù)坡印廷定理若設(shè)宏觀電磁參數(shù)σ為實(shí)數(shù)，磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@12重新回顧電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度的復(fù)數(shù)表示及平均值：有介質(zhì)損耗情況下復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@13重新回顧Maxwell方程（有介質(zhì)損耗情況下）：導(dǎo)電損耗功率密度的復(fù)數(shù)表示及平均值介質(zhì)損耗功率密度的平均值復(fù)坡印亭定理這里pav,c、pav,e、pav,m分別是單位體積內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率、極化損耗功率和磁化損耗功率的時(shí)間平均值。分別取實(shí)部和虛部：2023/2/3shiyan@14復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@15對(duì)于一個(gè)任意的時(shí)諧場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)通常有一個(gè)相位差。電場(chǎng)能量在某些時(shí)刻達(dá)到最大值，磁場(chǎng)能量在其他的時(shí)刻達(dá)到最大值。在一個(gè)周期中，在某個(gè)時(shí)刻部分磁場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量，在另一時(shí)刻，部分電場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能量，這就類比于LC振蕩電路，即在某一時(shí)刻電感中儲(chǔ)存的能量轉(zhuǎn)換為電容中的能量，在另一時(shí)刻電容中儲(chǔ)存的能量轉(zhuǎn)換為電感中的能量。假定在體積V中，最大的電場(chǎng)能量大于最大的磁場(chǎng)能量，當(dāng)電場(chǎng)能量達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)額外的功率被需要。在另一時(shí)刻，當(dāng)電場(chǎng)能量減小，磁場(chǎng)能量達(dá)到最大值時(shí)，這部分功率就必須消失。這部分額外的功率稱為感應(yīng)功率(reactivepower)。由功率守恒可知，這部分功率要么來(lái)自于源，要么來(lái)自于體積V的外部。時(shí)間平均的坡印亭定理復(fù)坡印亭定理2023/2/3shiyan@16若感應(yīng)功率來(lái)自于源的功率在一個(gè)周期內(nèi)，在某一時(shí)刻被源產(chǎn)生，在另一時(shí)刻被源拿走。類似地，若感應(yīng)功率來(lái)自于體積V的外部的功率，在一個(gè)周期內(nèi)，在某一時(shí)刻進(jìn)入體積V中，在另一時(shí)刻又離開(kāi)體積V中。進(jìn)一步考慮時(shí)變的情況復(fù)坡印亭定理例1已知無(wú)源(ρ=0,J=0)的自由空間中時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng) 度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；(2)坡印廷矢量的瞬時(shí)值；(3)平均坡印廷矢量。[解](1)2023/2/3shiyan@17復(fù)坡印亭定理(2)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為坡印廷矢量的瞬時(shí)值為

(3)平均坡印廷矢量：2023/2/3shiyan@18時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理2023/2/3shiyan@19[反證法]：假設(shè)有兩組解都是體積V中滿足麥克斯韋方程組、邊界條件和初始條件的解，令時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理對(duì)于t>0的所有時(shí)刻，由曲面S所圍成的閉合域V內(nèi)的電磁場(chǎng)是由V內(nèi)的電磁場(chǎng)E、H在t=0時(shí)刻的初始值以及t≥0時(shí)刻邊界面S上的切向電場(chǎng)或切向磁場(chǎng)唯一確定。時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理2023/2/3shiyan@20則可得考慮矢量恒等式時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理2023/2/3shiyan@21考察邊界條件：由假設(shè)知兩組解滿足相同的切向邊界條件，則利用矢量恒等式：從而可得于是有時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理2023/2/3shiyan@22由假設(shè)知兩組解滿足相同的初始條件，因此t=0時(shí)刻最終可得，t≥0時(shí)即，唯一性定理得證。時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理2023/2/3shiyan@23只要給定時(shí)變電磁場(chǎng)的初始值及電場(chǎng)或磁場(chǎng)在邊界面上的切向分量就一定能確定該時(shí)變電磁場(chǎng)的分布；對(duì)于一個(gè)封閉曲面包圍的區(qū)域，或者給定曲面上電場(chǎng)的切向分量，或者給定曲面上磁場(chǎng)的切向分量，又或者給定部分曲面上電場(chǎng)的切向分量以及其他曲面上磁場(chǎng)的切向分量，那么區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)能被唯一確定；為了能由麥克斯韋方程組求解出時(shí)變電磁場(chǎng)，一般需要同時(shí)應(yīng)用邊界面上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)切向分量邊界條件。波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@24電磁波的存在是麥克斯韋方程組的一個(gè)重要結(jié)果，1865年，麥克斯韋從他的方程組推導(dǎo)出波動(dòng)方程，并得到電磁波波速的一般表示式，預(yù)言了電磁波的存在及電磁波與光波的同一性。麥克斯韋第一方場(chǎng)和第二方程說(shuō)明：變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)一旦交變的場(chǎng)源在空間激發(fā)起電磁場(chǎng)，由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互激發(fā)，即使場(chǎng)源消失，電磁場(chǎng)仍可獨(dú)立地存在，并由近及遠(yuǎn)地向外傳播，從而形成電磁波任何波動(dòng)都滿足一個(gè)共同的規(guī)律——波動(dòng)方程。波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@25考慮媒質(zhì)均勻、線性、各向同性的無(wú)源區(qū)域(J=0,ρ=0)且σ=0的情況，這時(shí)麥克斯韋方程變?yōu)椴▌?dòng)方程2023/2/3shiyan@26同理可得無(wú)源無(wú)耗區(qū)域的瞬時(shí)值矢量齊次波動(dòng)方程求解方法有兩種： 直接求解矢量方程將矢量方程分解為標(biāo)量方程求解直角坐標(biāo)系下的標(biāo)量波動(dòng)方程只有在直角坐標(biāo)系下，每個(gè)標(biāo)量方程才能只含一個(gè)未知函數(shù)，其它正交曲線坐標(biāo)系中矢量波動(dòng)方程得到的標(biāo)量波動(dòng)方程都有復(fù)雜的形式。波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@27復(fù)數(shù)形式的正弦電磁場(chǎng)波動(dòng)方程矢量齊次亥姆霍茲方程解必須滿足相應(yīng)地散度為零的條件波數(shù)波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@28若介質(zhì)有耗，即介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，則k也相應(yīng)的變?yōu)閺?fù)數(shù)：若是導(dǎo)電介質(zhì)，則需用等效復(fù)介電常數(shù)代替原介電常數(shù)；波動(dòng)方程的解表示時(shí)變電磁場(chǎng)將以波動(dòng)形式傳播，構(gòu)成電磁波；波動(dòng)方程的解是一個(gè)沿某一方向以光速傳播的電磁波；研究電磁波的傳播問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程的問(wèn)題。波動(dòng)方程=02023/2/3shiyan@29例2在無(wú)源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足 的波動(dòng)方程。[解]由于求解問(wèn)題為均勻?qū)щ娒劫|(zhì)和無(wú)源區(qū)域，由麥克斯韋方程組有波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@30電場(chǎng)強(qiáng)度E滿足的波動(dòng)方程為磁場(chǎng)強(qiáng)度H滿足的波動(dòng)方程為時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)非齊次矢量波動(dòng)方程2023/2/3shiyan@31非齊次矢量波動(dòng)方程回顧有源區(qū)域的Maxwell方程組：根據(jù)場(chǎng)源分布及變化可以由非齊次矢量波動(dòng)方程求解空間場(chǎng)的分布，但是很多情況下，該方程很難求解。時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@32矢量磁位根據(jù)磁通連續(xù)性原理：利用矢量恒等式可以定義：考慮Maxwell方程：利用梯度場(chǎng)性質(zhì)可知：

稱為矢量磁位，單位為Wb/m(韋伯/米)

稱為標(biāo)量位，單位為V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、確定的電磁場(chǎng)滿足Maxwell方程組，那么、也必能確定滿足Maxwell方程組的場(chǎng)解。時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)

稱為矢量磁位，單位為Wb/m(韋伯/米)

稱為標(biāo)量位，單位為V(伏)

和的取值具有多值性：即，若、確定的電磁場(chǎng)滿足Maxwell方程組，那么、也必能確定滿足Maxwell方程組的場(chǎng)解。2023/2/3shiyan@33時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@34洛倫茲規(guī)范根據(jù)亥姆霍茲定理，一個(gè)矢量場(chǎng)由其旋度和散度唯一確定。為了確定磁矢位，必須規(guī)定其散度。利用高斯定理：利用全電流定理：時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@35達(dá)朗貝爾方程兩個(gè)彼此相似而獨(dú)立的線性二階微分方程，在數(shù)學(xué)形式上稱為達(dá)朗貝爾方程；磁矢位的源是電流密度標(biāo)量位的源是電荷密度磁矢位和標(biāo)量位通過(guò)洛侖茲條件耦合在一起=時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@36洛倫茲條件或洛侖茲規(guī)范洛倫茲條件滿足電流連續(xù)性方程時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@37正弦電磁場(chǎng)的位函數(shù)正弦電磁場(chǎng)的洛倫茲條件正弦電磁場(chǎng)的位函數(shù)方程時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)2023/2/3shiyan@38k2=ω2με采用位函數(shù)使原來(lái)求解電磁場(chǎng)量B和E的六個(gè)標(biāo)量分量變?yōu)榍蠼釧和φ的四個(gè)標(biāo)量分量標(biāo)量位φ可以由洛倫茲條件求得，進(jìn)一步將電磁場(chǎng)求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為三個(gè)標(biāo)量分量的計(jì)算：洛倫茲條件是人為采用的散度值，若規(guī)定其它的散度值將會(huì)得到不同的位函數(shù)方程，但最終解得的場(chǎng)B和E是相同的。描述電磁場(chǎng)的位函數(shù)不僅限于這一種，可以有其它的輔助位函數(shù)，不同的位函數(shù)對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的物理模型。例3

已知時(shí)變電磁場(chǎng)中矢量位