第四章-機(jī)械振動(dòng)

振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振振動(dòng)的合成波動(dòng)機(jī)械波及其波動(dòng)方程機(jī)械波的能量與能流波動(dòng)反射折射與衍射波的疊加、干涉與駐波多普勒效應(yīng)（物理量隨時(shí)間在某一固定值附近作周期性變化）（振動(dòng)在空間的傳播現(xiàn)象）振動(dòng)與波動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一特定的位置（平衡位置）

附近做周期性運(yùn)動(dòng)。廣義振動(dòng)：任一物理量在某固定值附近作

周期性的變化。振動(dòng)振動(dòng)在空間的傳播。振動(dòng)是產(chǎn)生波動(dòng)的根源波動(dòng)是振動(dòng)這種運(yùn)動(dòng)形式和能量在空間的傳播波動(dòng)是相互聯(lián)系著的一系列振動(dòng)。各種振動(dòng)和波動(dòng)運(yùn)動(dòng)有著很多共同的特征。波動(dòng)第4章機(jī)械振動(dòng)4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的案例分析4.3諧振動(dòng)的合成4.4阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)和共振§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表述4.諧振動(dòng)振動(dòng)的能量4.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

定義:

特點(diǎn):(1)等幅振動(dòng)(2)周期振動(dòng)x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.m

研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的意義:mxO§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)mxO§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的代數(shù)表達(dá)——諧振方程利用歐拉方程表達(dá)成復(fù)數(shù)形式：諧振方程諧振方程由A、T、三個(gè)參量確定。諧振方程中各量的物理意義：位移x：振子在時(shí)刻t相對(duì)平衡位置的位移，單位為m。振幅A：振子相對(duì)平衡位置的最大位移，單位為m。周期T：振動(dòng)一次所用的時(shí)間，單位為s?！?.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)若令：稱(chēng)為頻率振子單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù)，單位為1/s=Hz（赫茲）再令：稱(chēng)為角頻率振子在2秒時(shí)間振動(dòng)的次數(shù)，單位為rad/s§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率：角頻率：簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由（t+）唯一決定。

表征了簡(jiǎn)諧振子t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。也稱(chēng)為相角，它是時(shí)間的函數(shù)，單位為rad（弧度）。簡(jiǎn)諧振子在0時(shí)刻的相位值，由振子的初始狀態(tài)決定。相位（t+）：初相位：§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位（t+）的性質(zhì)：①當(dāng)特征參量給定后，振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相位唯一決定。②相位是時(shí)間的函數(shù)，規(guī)定了振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化趨勢(shì)。③相位也反映了簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)的周期性。相位每改變2振動(dòng)重復(fù)一次,相位2范圍內(nèi)變化,狀態(tài)不重復(fù).txOA-A

=2§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)

相位差若若兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱(chēng)同相。兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱(chēng)反相。

m2x2Ok2m1

k1x1

xtoA1A2-A2x1x2T-A1x2TxoA1-A1A2-A2x1t§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖形表達(dá)——振動(dòng)曲線(xiàn)振動(dòng)曲線(xiàn)t（s）x（m）A1-A1TTA1cos1A2-A2A2cos2§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)t（s）x（m）A-A曲線(xiàn)1曲線(xiàn)2tt振動(dòng)2比振動(dòng)1落后§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)t（s）x（m）A-A曲線(xiàn)1曲線(xiàn)2tt振動(dòng)2比振動(dòng)1超前§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)例1.如圖的諧振動(dòng)x-t曲線(xiàn)，試求其諧振方程解：由圖知振動(dòng)表達(dá)式為由t=0時(shí)：§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)又由：即：§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)例2.如圖的諧振動(dòng)x-t曲線(xiàn)，試求其諧振方程解：由圖知由t=1時(shí)：振動(dòng)表達(dá)式為§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)即：§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)4.1.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)描述1.受力特點(diǎn)機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)特點(diǎn)線(xiàn)性恢復(fù)力

Okxl0xm§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)其中為

固有角頻率§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)2.動(dòng)力學(xué)方程運(yùn)動(dòng)微分方程其中4.振幅和初相位的確定注意:如何確定最后的.§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)3.速度和加速度4.1.3諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量表示法t+oxxtt=0va特點(diǎn):直觀(guān)方便.··§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)M

4.1.4諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例)1.動(dòng)能2.勢(shì)能3.機(jī)械能（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）mxOExOA?A§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)x（m）At（s）Tt（s）E（J）1/2kA2EpEkE簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量特征：①動(dòng)能和勢(shì)能周期性變化，其周期為振動(dòng)周期的一半，二者彼此反相。②勢(shì)能的極大值與位移的極值同步，極小值與位移的零點(diǎn)同步，動(dòng)能正好相反。③無(wú)論勢(shì)能和動(dòng)能如何變化，其總能量保持不變。普遍特征：諧振系統(tǒng)的能量不隨時(shí)間變化，其大小與振幅A的平方成正比，與頻率的平方成正比。④諧振系統(tǒng)是無(wú)能量損耗的系統(tǒng)。這是一個(gè)理想的系統(tǒng)-無(wú)阻尼自由振動(dòng)。⑤諧振系統(tǒng)能量時(shí)間平均值表示：例如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)相繼通過(guò)距離為12cm的兩點(diǎn)A和B，歷時(shí)2s，并且在A(yíng)，B兩點(diǎn)處具有相同的速率；再經(jīng)過(guò)2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過(guò)B點(diǎn)。AB解Ox質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期和振幅。求由題意可知，AB的中點(diǎn)為平衡位置，周期為T(mén)=

42=8

(s)設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，則振動(dòng)方程可寫(xiě)為t=1時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn),所以§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析1.單擺2.復(fù)擺3.扭擺4.弦振動(dòng)5.U形管中液體無(wú)粘滯振蕩6.LC諧振電路（1）單擺以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，作受力分析.設(shè)角沿逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?P重力,T繩的拉力.沿切向方向的分量方程為（小角度時(shí)）令

結(jié)論:小角度擺動(dòng)時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng).周期和角頻率為：（牛頓第二定律）§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析（2）復(fù)擺（物理擺）以物體為研究對(duì)象設(shè)角沿逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎▌傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律）小角度時(shí)令

結(jié)論:小角度擺動(dòng)時(shí)，復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng).周期和角頻率為：§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析（3）扭擺以圓盤(pán)為研究對(duì)象在（扭轉(zhuǎn)角）不太大時(shí)，（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律）令

結(jié)論:在扭轉(zhuǎn)角不太大時(shí)，扭擺的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng).周期和角頻率為：金屬絲xyz（D為金屬絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)）圓盤(pán)的力矩為§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析（4）弦振動(dòng)T為弦對(duì)振子的恒定張力，m為振子的質(zhì)量。

動(dòng)力學(xué)方程為：

諧振方程為：TxmT2l§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析設(shè)（5）U形管中液體無(wú)粘滯振蕩為管內(nèi)液體密度，l為液體在管內(nèi)的長(zhǎng)度。

動(dòng)力學(xué)方程為：

諧振方程為：lxx§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析（6）LC諧振電路C為電容，L為電感。

電容電量滿(mǎn)足的方程為：

諧振方程為：CLq§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析1.同方向同頻率諧振動(dòng)的合成2.同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成拍3.相互垂直諧振動(dòng)的合成§4.3諧振動(dòng)的合成4.3.1同方向同頻率諧振動(dòng)的合成1.解析法分振動(dòng):合振動(dòng):

結(jié)論：合振動(dòng)x

仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)§4.3諧振動(dòng)的合成2.旋轉(zhuǎn)矢量法分振動(dòng)合振動(dòng)

結(jié)論：與解析法求得的結(jié)果一致，方法直觀(guān)、簡(jiǎn)捷.§4.3諧振動(dòng)的合成

討論:(1)若兩分振動(dòng)同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動(dòng)反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當(dāng)A1=A2時(shí),A=0兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)，兩分振動(dòng)相互減弱，當(dāng)A1=A2時(shí),A=2A1§4.3諧振動(dòng)的合成例：兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為：求合成振動(dòng)的振動(dòng)方程解：同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，根據(jù)合成公式，確定三個(gè)特征參量?！?.3諧振動(dòng)的合成§4.3諧振動(dòng)的合成例：將兩個(gè)振動(dòng)方向、振幅、周期均相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后，若合振幅和分振動(dòng)的振幅相同，則這兩個(gè)分振動(dòng)的相位差為多少？4.3.2同方向不同頻率諧振動(dòng)的合成拍分振動(dòng):合振動(dòng):當(dāng)時(shí),A有最大值:當(dāng)時(shí)，A有最小值:

結(jié)論：合振動(dòng)x不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng),合振動(dòng)振幅的頻率為§4.3諧振動(dòng)的合成當(dāng)21時(shí),

2-12+1，令其中隨

t緩變隨t快變

振幅相同不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng):分振動(dòng):

結(jié)論：合振動(dòng)x

可看作是振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。§4.3諧振動(dòng)的合成xx2x1ttt

拍的現(xiàn)象:振動(dòng)的振幅隨時(shí)間周期性變化的現(xiàn)象

OOO拍頻:

單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)即:拍原理的應(yīng)用§4.3諧振動(dòng)的合成例：為了測(cè)定音叉c的振動(dòng)頻率，另選兩個(gè)和c頻率相近的音叉a和b，其頻率已知νa=500Hz,νb=495Hz,先使音叉a和c同時(shí)振動(dòng)，測(cè)出每秒鐘聲響加強(qiáng)兩次，然后是音叉b和c同時(shí)振動(dòng)，測(cè)出每秒鐘聲響加強(qiáng)3次，則音叉c的振動(dòng)頻率§4.3諧振動(dòng)的合成解：根據(jù)題意，a,b,c三個(gè)音叉之間出現(xiàn)拍現(xiàn)象。根據(jù)拍頻定義：所以4.3.3兩個(gè)相互垂直諧振動(dòng)的合成李薩如圖1.兩個(gè)同頻率相互垂直的諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)合運(yùn)動(dòng)

討論

當(dāng)=2?1=k(k為整數(shù))時(shí):當(dāng)=(2k+1)/2(k為整數(shù))時(shí)：xy§4.3諧振動(dòng)的合成=0(第一象限)=/2==3/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)§4.3諧振動(dòng)的合成2.兩個(gè)不同頻率、相互垂直的諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)

結(jié)論：(1)ω1、ω2

之比為整數(shù)時(shí):合成運(yùn)動(dòng)仍是周期運(yùn)動(dòng),軌跡是穩(wěn)定的閉合曲線(xiàn)(李薩如圖)。(2)ω1、ω2

之比不為整數(shù)時(shí):合成運(yùn)動(dòng)為非周期運(yùn)動(dòng);運(yùn)動(dòng)的軌跡為永不閉合的?！?.3諧振動(dòng)的合成::李薩如曲線(xiàn)1.阻尼振動(dòng)2.受迫振動(dòng)§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介4.4.1阻尼振動(dòng)阻尼力振動(dòng)的微分方程式中，ω02=k/m,

n=/(2

m)

(阻尼系數(shù))

幾種阻尼振動(dòng)模式小阻尼大阻尼臨界阻尼

Okxl0xm§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介1.小阻尼(n2<02)XtO§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介①

阻尼振動(dòng)不是周期運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)其為

準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。阻尼使振動(dòng)變慢了②阻尼振幅減幅振動(dòng)：阻尼系數(shù)越大振幅衰減越快。③可以證明，阻尼振動(dòng)的能量不再是常數(shù)：能量也按指數(shù)規(guī)律衰減。反映了振蕩持續(xù)的時(shí)間的長(zhǎng)短。系統(tǒng)能量在耗散，耗散速率與時(shí)刻t的能量成正比?！?.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介2.臨界阻尼(n2=02)在過(guò)阻尼和臨界阻尼時(shí)無(wú)振動(dòng)3.大阻尼(n2>02)XtO大阻尼臨界阻尼§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介應(yīng)用：①.各類(lèi)機(jī)器，防振、減振，加大摩擦阻尼。各種弦樂(lè)器、聲源，希望它輻射足夠大的聲能，加大輻射阻尼。②.大型建筑彈簧門(mén)安裝消振油缸，使其工作于大阻尼狀態(tài)。③.指針式測(cè)量?jī)x表（電流計(jì)，精密天平）采用臨界阻尼系統(tǒng)，快速逼近正確讀數(shù)或返回平衡位置。4.4.2受迫振動(dòng)受力分析

彈性力阻尼力周期性驅(qū)動(dòng)力受迫振動(dòng)的微分方程l0x其解為§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介受迫振動(dòng)微分方程的穩(wěn)態(tài)解為:§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介t（s）ox（m）其中，振幅A

及受迫振動(dòng)與干擾力之間的相位差分別為：

受迫振動(dòng)特征①在驅(qū)動(dòng)力開(kāi)始作用時(shí)，可以看成兩個(gè)振動(dòng)的合成。

減幅振動(dòng)+簡(jiǎn)諧振動(dòng)②減幅振動(dòng)逐漸減弱，以至于可以忽略不計(jì)。穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧振動(dòng)③受迫振動(dòng)達(dá)到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱(chēng)之為穩(wěn)態(tài)。④從能量角度看：振動(dòng)因驅(qū)動(dòng)力作功而獲得能量，同時(shí)也因阻尼的作用而消耗能量。§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介1.位移共振(振幅取極值)（振幅共振曲線(xiàn)）共振頻率:共振振幅:2.速度共振(速度振幅取極值)共振頻率:共振速度振幅:（速度共振曲線(xiàn)）§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介4.4.3共振共振破壞：1940年,美塔科馬海峽大橋因微風(fēng)引起共振斷塌§4.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介本章