第四章年金精算現(xiàn)值

第四章生存年金的精算現(xiàn)值本章結(jié)構(gòu)生存年金年付一次生存年金年付多次的生存年金第一節(jié)生存年金年金的概念和種類概念按一定的時(shí)間間隔支付的一系列付款種類確定性年金：支付與否、支付的數(shù)額都是確定的不確定性年金：未來相應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)上的支付是否發(fā)生不確定，由其生命狀態(tài)決定生存年金生存年金：在已知某人生存的條件下，按預(yù)先約定金額進(jìn)行一系列的給付的保險(xiǎn)，且每次年金給付必須以年金受領(lǐng)人生存為條件；一旦年金受領(lǐng)人死亡，給付便立即中止。

分類期初付年金/延付（期末付）年金連續(xù)年金/離散年金定期年金/終身年金即期年金/延期年金生存年金（與確定性年金關(guān)系）確定性年金支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金）生存年金與確定性年金的聯(lián)系都是間隔一段時(shí)間支付一次的系列付款生存年金（與確定性年金的區(qū)別）生存年金支付期數(shù)是不確定的，它以被保險(xiǎn)人生存為給付條件，被保險(xiǎn)人一旦死亡，給付就終止年金確定性年金支付期數(shù)是確定的，無論中間發(fā)生什么事情，支付時(shí)期都不可發(fā)生更改生存年金（用途）被保險(xiǎn)人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式某些場合保險(xiǎn)人保險(xiǎn)理賠的保險(xiǎn)金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險(xiǎn)傷殘保險(xiǎn)撫恤保險(xiǎn)失業(yè)保險(xiǎn)

現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)。也就是上一章講到的n年期生存保險(xiǎn)。n年期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為在生存年金研究中習(xí)慣用表示該保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值，且將其稱為精算折現(xiàn)因子。精算折現(xiàn)因子的含義

(x)要在n年后生存時(shí)獲得1元，此時(shí)需要存入元。

與折現(xiàn)因子有何區(qū)別與聯(lián)系？一次性生存給付-精算折現(xiàn)因子【例4.1】計(jì)算25歲的男性購買40年定期生存險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。已知假定i＝6％假定i＝2.5％一次性生存給付例題分析精算積累因子(x)現(xiàn)在存入1元，僅其n年后生存時(shí)才獲得給付，則n年后生存時(shí)的給付額為元。一次性生存給付-精算積累因子年齡xx+tx+n現(xiàn)值11S1一次性生存給付相關(guān)公式及意義生存年金精算現(xiàn)值的求法現(xiàn)時(shí)支付法以生存給付事件為考慮線索考慮未來連續(xù)支付的現(xiàn)時(shí)值之和將時(shí)刻t時(shí)的年金給付額折現(xiàn)至簽單時(shí)的現(xiàn)值，再將所有的現(xiàn)值相加或積分總額支付法以死亡事件發(fā)生為考慮線索考慮年金在死亡或到期而結(jié)束時(shí)的總值先求出在未來壽命期限內(nèi)所有可能年金給付額現(xiàn)值，再求現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望。兩種方法是等價(jià)的（最終的結(jié)果相同）掌握現(xiàn)時(shí)支付法的計(jì)算公式第二節(jié)年付一次生存年金一、期初付年金及其精算現(xiàn)值(掌握現(xiàn)時(shí)支付法)二、期初付年金精算現(xiàn)值與壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值之間的關(guān)系三、期末付年金及其精算現(xiàn)值四、用換算函數(shù)計(jì)算年金精算現(xiàn)值(重點(diǎn))一、終身生存年金

-精算現(xiàn)值的總額支付法步驟一：計(jì)算到死亡發(fā)生時(shí)間K為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和步驟二：計(jì)算這個(gè)年金現(xiàn)值關(guān)于時(shí)間求和所得的年金期望值，即終身生存年金精算現(xiàn)值為何是而不是一、終身生存年金

-精算現(xiàn)值的現(xiàn)時(shí)支付法步驟一：計(jì)算時(shí)間K所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值步驟二：計(jì)算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時(shí)間求和，得到精算現(xiàn)值【例4.2】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以在每年年初獲得1000元的生存給付，假設(shè)年利率為9%。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-終身生存年金現(xiàn)時(shí)支付法：一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-n年定期生存年金一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-延期生存年金延期m年的終身生存年金延期m年的n年定期生存年金一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-變額生存年金一般公式n年定期變額生存年金的精算現(xiàn)值終身變額生存年金的精算現(xiàn)值一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-變額生存年金等差遞增生存年金等差遞減生存年金一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-變額生存年金等比例變額生存年金應(yīng)用場合：養(yǎng)老保險(xiǎn)中，其給付額在一個(gè)基礎(chǔ)水平上按一個(gè)規(guī)定比例增長，這個(gè)比例常是價(jià)格指數(shù)或社會平均工資指數(shù)精算現(xiàn)值其中：【例4.3】已知：

假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，試分別用總額法和現(xiàn)時(shí)支付法求該終身年金的精算現(xiàn)值。

9091929310072390283339－例題分析一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-變額生存年金一、期初付年金及其精算現(xiàn)值

-變額生存年金例題答案二、期初付年金的精算現(xiàn)值與

壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值之間的關(guān)系年齡為x歲的人，投資1元能使其在生存期間每年得到利息額d的給付，一旦其死亡，便立即獲得1元的死亡保險(xiǎn)金注：上述各式的成立不需要任何條件三、期末付年金的精算現(xiàn)值

-終身生存年金未來年金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量：精算現(xiàn)值：三、期末付年金的精算現(xiàn)值

-n年定期生存年金未來年金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量：精算現(xiàn)值：三、期末付年金的精算現(xiàn)值

-延期生存年金基本公式與期初付生存年金的關(guān)系三、期末付年金的精算現(xiàn)值

-變額生存年金等差遞增生存年金：等差遞減生存年金：險(xiǎn)種期初付期末付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金四、用換算函數(shù)計(jì)算年金的精算現(xiàn)值重點(diǎn)記住期初付的相關(guān)公式！例4.4某人今年45歲，花費(fèi)10000元購買了一份年金產(chǎn)品，保單承諾從下一年開始，每年活著的話可以領(lǐng)到等額的給付。已知年利率為6%，依據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993，男女混合表）。計(jì)算每次領(lǐng)取的金額。例4.4答案此例為期末付終身生存年金這份生存年金的精算現(xiàn)值為10000元，要求計(jì)算的是年金的每次給付額。設(shè)每次年金給付額為P，則有其中所以例4.5指出下列年金產(chǎn)品的類型，并寫出其躉繳凈保費(fèi)的精算符號：（1）王明在40歲時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，承諾在未來20年內(nèi)，如果他存活，則可以在每年年初領(lǐng)取1000元的給付，一旦死亡，則給付立即停止。20年滿期，保單自動(dòng)中止，無論20年后是否存活，不再繼續(xù)給付。（2）對于（30）的從60歲起每年年初6000元的生存年金。（3）對于（35）的從60歲退休起的25年內(nèi)，每年年初給付5000元生存年金。例4.6某人在30歲時(shí)購買了一份年金，約定的給付為：從51歲起，如果被保險(xiǎn)人生存，每年可以得到5000元的給付，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。設(shè)年利率為6%，存活函數(shù)為：計(jì)算這筆年金在購買時(shí)的精算現(xiàn)值。例4.6答案這是一個(gè)延期20年的期末付終身生存年金產(chǎn)品從存活函數(shù)可以看出，極限年齡為ω=100歲生存概率為：這筆年金的精算現(xiàn)值例4.7某30歲的人投保養(yǎng)老年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定：如果被保險(xiǎn)人存活到60歲，則確定給付10年年金，即若被保險(xiǎn)人在60-69歲間死亡，由其指定的受益人繼續(xù)領(lǐng)取，直到領(lǐng)滿10年為止；如果被保險(xiǎn)人在70歲仍存活，則從70歲起以生存為條件得到年金。如果年金每年年初支付一次，一次支付6000元，預(yù)定利率為6%。依據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993，男女混合表），計(jì)算該保單的躉繳凈保費(fèi)。例4.7答案這是一個(gè)定期確定的生存年金：在一定時(shí)期內(nèi)年金的給付是確定的，無論被保險(xiǎn)人是否生存，在這一時(shí)期以后的年金給付以被保險(xiǎn)人生存為條件。此年金的精算現(xiàn)值為連續(xù)型給付年金與年付一次生存年金的關(guān)系計(jì)算精算現(xiàn)值時(shí)理論基礎(chǔ)完全相同離散－求和連續(xù)－積分連續(xù)場合不存在初付延付問題，離散場合初付、延付要分別考慮第三節(jié)年付多次的生存年金一、每年支付h次的期初付生存年金(重點(diǎn))二、每年支付h次的期末付生存年金年付h次生存年金簡介在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，生存年金常常按月、按季度或半年給付一次，這時(shí)稱為年付h次的生存年金。推導(dǎo)思路尋找與年付年金之間的關(guān)系基本公式UDD假定下的公式近似公式（實(shí)際操作公式）一、年支付h次的期初付生存年金-終身生存年金一、年支付h次的期初付生存年金

-定期生存年金基本關(guān)系式UDD假定下的推導(dǎo)公式近似公式（實(shí)際操作公式）一、年支付h次的期初付生存年金

-延期生存年金延期終身生存年金（UDD假定）延期定期生存年金（UDD假定）二、年支付h次的期末付生存年金精算現(xiàn)值例4.8現(xiàn)年35歲的人預(yù)購買如下生存年金，且均于每月月初給付，每次給付1000元，年實(shí)質(zhì)利率為6%，且已知：求下列年金現(xiàn)值：（1）月付終身生存年金（2）延期15年月付終身生存年金（3）15年定期月付終身生存年金例4.8答案例4.9某保單提供從60