第2章(23-26)交流電路(簡(jiǎn))

2.3單一元件的正弦響應(yīng)電阻元件的正弦響應(yīng)電感元件的正弦響應(yīng)電容元件的正弦響應(yīng)電阻元件的正弦響應(yīng)電壓電流關(guān)系功率關(guān)系電壓電流關(guān)系UmuiIm0t可見，電阻上的電壓和電流為同頻率的正弦量，二者同相。向量關(guān)系與向量圖將電路圖中電壓與電流用向量代替畫出向量圖分析多個(gè)正弦量之間的相位關(guān)系時(shí)，通常選一個(gè)正弦量作為參考正弦量，即令初相為零。歐姆定律的復(fù)數(shù)表達(dá)式功率關(guān)系瞬時(shí)功率平均功率（有功功率）瞬時(shí)功率

瞬時(shí)功率的幅值等于UI，并以2頻率發(fā)生變化且總有p

0。其波形如下圖所示：

在任意瞬時(shí)，電壓瞬時(shí)值u與電流瞬時(shí)值i的乘積，稱為瞬時(shí)功率，用字母p表示。對(duì)于電阻元件

由于電阻元件的瞬時(shí)功率在任意瞬間（除過零點(diǎn)外）均為正值，則R消耗功率，起著負(fù)載的作用。平均功率（即有功功率）

在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率的平均值，稱為平均功率,它表示電路實(shí)際消耗的功率，也稱有功功率，用Ｐ表示．0uip例：一只100電阻接入50Hz、有效值為10V的電源上，問電流是多少？若頻率改為5000Hz呢？

因電阻與頻率無(wú)關(guān)，所以，電流不會(huì)因?yàn)轭l率的改變而改變。解電感元件的正弦響應(yīng)電壓電流關(guān)系功率關(guān)系例題分析電壓電流關(guān)系瞬時(shí)值關(guān)系有效值關(guān)系——感抗的概念向量關(guān)系——復(fù)感抗與向量圖瞬時(shí)值關(guān)系iuLu、i為同頻率的正弦量，u在相位上超前i900有效值關(guān)系定義具有電阻的量綱感抗感抗的性質(zhì)電流的阻礙能力為零―對(duì)直流相當(dāng)于短路。電流的阻礙能力為無(wú)窮大―對(duì)高頻交流相當(dāng)于開路。電感元件的感抗與頻率成正比。相量關(guān)系iuLL畫出相量圖：復(fù)感抗歐姆定律復(fù)數(shù)表達(dá)式電壓、電流相量關(guān)系：功率關(guān)系瞬時(shí)功率p有功功率P無(wú)功功率Q瞬時(shí)功率

知道了電壓u和電流i的變化規(guī)律及相互關(guān)系后，便可找出元件瞬時(shí)功率的變化規(guī)律

可見，p是以幅值為UI、角頻率為2變化的交變量。瞬時(shí)功率

當(dāng)u

與

i

的瞬時(shí)值為同號(hào)時(shí)，p

0，電感元件取用功率(為負(fù)載)，磁能增加；當(dāng)u

與

i

的瞬時(shí)值為異號(hào)時(shí)，p0，電感元件發(fā)出功率(相當(dāng)于電源)，元件的磁能減少。有功功率P電感元件不消耗功率無(wú)功功率

由于電感元件在電路中沒有能量損耗，只與電源間進(jìn)行能量交換，其能量交換的規(guī)模我們用無(wú)功功率Q表示:為了與有功功率有所區(qū)別,無(wú)功功率Q的單位為乏(Var)或千乏(kVar).規(guī)定無(wú)功功率為瞬時(shí)功率p的幅值UI，即例題分析

一電感交流電路，L=100mH，f=50Hz，已知：求電壓u;

求電流

i

。解并畫相量圖。

由題知，感抗為

XL=

L=2×50×0.1=31.4則由相量形式的歐姆定律知：L瞬時(shí)值(2)電流為相量圖為：

例3：指出下列各式哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的?電容元件的正弦響應(yīng)電壓電流關(guān)系功率關(guān)系例題分析電壓電流關(guān)系瞬時(shí)值關(guān)系有效值關(guān)系——容抗的概念向量關(guān)系——復(fù)容抗與向量圖瞬時(shí)值關(guān)系iuC電流與電壓為同頻率的正弦量，在相位上電流超前電壓90°其中：i20u有效值關(guān)系定義具有電阻的量綱容抗容抗的性質(zhì)電流的阻礙能力為無(wú)窮大―對(duì)直流相當(dāng)于開路電流的阻礙能力為零―對(duì)高頻交流相當(dāng)于短路。電容元件的容抗與頻率成反比。向量關(guān)系iuCC畫出相量圖：復(fù)容抗歐姆定律的復(fù)數(shù)形式功率關(guān)系瞬時(shí)功率p有功功率P無(wú)功功率Q瞬時(shí)功率

由上式可見，p是一個(gè)幅值為UI，并以2的角頻率隨時(shí)間而變化的交變量，其變化波形如下圖所示。

P>0儲(chǔ)能；P<0放能有功功率電容元件不消耗功率無(wú)功功率

電容元件不消耗電能,只與電源之間進(jìn)行能量交換,其能量交換的規(guī)模我們用無(wú)功功率Q表示:為與電感元件的無(wú)功功率進(jìn)行比較，我們也設(shè)電流初相為0，即：由此可見，電容元件的無(wú)功功率即電容性無(wú)功功率是負(fù)值。例題分析

例1：把一個(gè)25μF的電容元件接到頻率為50Hz，電壓有效值為10V的正弦電源上，問電流是多少？如保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時(shí)電流將為多少？iuC解：當(dāng)

f=50Hz時(shí)當(dāng)

f=5000Hz時(shí)

可見，在電壓有效值一定時(shí)，頻率愈高，則通過電容元件的電流就愈大。例2：在圖示正弦交流電路中，已知表Ａ的讀數(shù)為Ｉ=5A，表Ａ１的讀數(shù)Ｉ1=4A，試求電路中表Ａ２的讀數(shù)Ｉ2=？因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相同，所以，電流同相。因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相同，所以，電流同相。元件電路符號(hào)ｕｉ關(guān)系

關(guān)系復(fù)數(shù)歐姆定律向量圖RLC小結(jié)（電壓電流關(guān)系）RiuiuCiuL小結(jié)（功率關(guān)系）元件電路符號(hào)UI關(guān)系有功功率P無(wú)功功率QRU=RIUI=RI2=U2/R0LU=XLI0UI=XLI2=U2/XLCU=XCI0-UI=-XCI2=-U2/XCRiuiuCiuL2.4R、L、C串聯(lián)電路

的正弦響應(yīng)電壓電流關(guān)系阻抗與復(fù)阻抗功率與功率因數(shù)例題分析電壓電流關(guān)系iuuLLuRuCRC瞬時(shí)值關(guān)系由KVL得：電壓電流關(guān)系

同頻率的正弦量相加，得出的仍為同頻率的正弦量。

—KVL的相量表達(dá)式相量關(guān)系電壓電流關(guān)系通過相量圖計(jì)算由電壓相量組成一個(gè)直角三角形，稱為電壓三角形，利用這個(gè)電壓三角形，可求得電源電壓的有效值。與電流間的相位差電壓超前于電流電壓電流關(guān)系電壓三角形阻抗與復(fù)阻抗由定義：阻抗具有電阻的量綱，它對(duì)電流起著阻礙的作用阻抗阻抗與復(fù)阻抗阻抗三角形阻抗與復(fù)阻抗定義仍具有電阻的量綱。電抗歐姆定律的復(fù)數(shù)表達(dá)式與電路元件參數(shù)有關(guān)，其值決定了電路的性質(zhì)。電抗電抗復(fù)數(shù)形式的歐姆定律討論

在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)R0時(shí)，感抗XL與容抗XC的大小對(duì)電路性質(zhì)的影響。

電路端電壓超前電流角。在這種電路中電感的作用比電容的作用大，電路呈感性。UL>UC討論UL<UC電路端電壓滯后電流角。在這種電路中電容的作用比電感的作用大，電路呈容性。討論

由于電路中感抗的作用和容抗的作用相互抵消，總電壓和總電流同相，電路呈純電阻特性，這種現(xiàn)象稱為諧振。XL=XCX=XL-XC=0UL=UC，串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗

對(duì)于串聯(lián)交流電路，其總的等效復(fù)阻抗等于各元件復(fù)阻抗的代數(shù)和，即：uiZ1Z2Z3注意：復(fù)阻抗不是相量，它沒有對(duì)應(yīng)的正弦量，僅僅是個(gè)復(fù)數(shù)計(jì)算量，字符上面不打點(diǎn)。瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率消耗或吸收功率釋放功率有功功率P只有電阻消耗功率無(wú)功功率Q視在功率可見：有功功率和無(wú)功功率分別與R和X對(duì)應(yīng)，即：電阻消耗功率，電抗交換功率。定義視在功率單位為伏安（VA）或（KVA）視在功率

由視在功率、有功功率和無(wú)功功率也可以組成一個(gè)三角形,其圖形如下

視在功率也稱為設(shè)備的容量。功率三角形電壓、阻抗、功率為相似直角功率因數(shù)iuuLLuRuCRC例：

40Ω電阻與一電阻為20Ω、電感為250mH的電感線圈和28μF的電容器相串聯(lián)后，外接220V，50Hz的正弦交流電源，如圖所示。求該電路的電流和各元件的電壓，設(shè)電壓的初相為零，畫出相量圖并寫出各電壓、電流的瞬時(shí)值表達(dá)式；求有功功率P和無(wú)功功率Q。分析

求該電路的電流和各元件的電壓。設(shè)電壓的初相位為零畫出相量圖并寫出各電壓電流的瞬時(shí)值表達(dá)式；求P和Q。向量表示RiuLuRuCRCuRＬ例題分析例題分析因?yàn)轭}中已設(shè)電壓初相為零例題分析同理注意：并聯(lián)交流電路的分析計(jì)算并聯(lián)電路總的等效復(fù)阻抗例3.求下圖電路中，A0和V0的讀數(shù)。克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0解：以u(píng)1為參考相量畫相量圖，如右下圖電感支路的電流：即V0的讀數(shù)為141.4V。2.5正弦交流電路的頻率響應(yīng)頻率特性的概念和定義RLC電路的頻率特性頻率特性的概念和定義

如果電源的頻率發(fā)生變化，則上述各量都會(huì)發(fā)生變化，我們稱各電量隨頻率發(fā)生變化的關(guān)系曲線為頻率特性。

對(duì)于線性電路，當(dāng)激勵(lì)（輸入）為正弦量，穩(wěn)態(tài)時(shí)，響應(yīng)（輸出）亦為同頻率的正弦量。激勵(lì)響應(yīng)頻率特性的定義X恒定f：0→∞Y和y隨f變化線性電路頻率特性的定義定義:頻率特性幅頻特性相頻特性

諧振的定義：在含有電感電容元件的電路中，如果滿足某種條件使電路的總電壓和總電流同相，整個(gè)電路呈電阻性，cos=1，我們把電路的這種狀態(tài)稱為諧振狀態(tài)（簡(jiǎn)稱諧振）。RLC電路的頻率特性

每一個(gè)電路都有自己的頻率特性，而且，在不同的激勵(lì)和響應(yīng)下，其頻率特性也不相同。在RLC串聯(lián)電路中，最具特色的頻率特性是電壓與電流之間的頻率特性。串聯(lián)諧振并聯(lián)諧振串聯(lián)諧振RLC串聯(lián)諧振的條件：RLCui或電源電壓u與電路中的電流i同相，電路發(fā)生諧振諧振條件——諧振頻率——諧振角頻率

由此可見，要使電路達(dá)到諧振可以通過調(diào)節(jié)電路參數(shù)和電源頻率來實(shí)現(xiàn)。如：調(diào)節(jié)L、C或電源的頻率f。RLC串聯(lián)諧振的特點(diǎn)因?yàn)榇?lián)諧振發(fā)生在XL=XC處，所以，諧振時(shí)電路的阻抗最小，呈電阻性。由于阻抗最小，所以，在電壓有效值一定時(shí)，電路中電流將達(dá)到最大值。如果電路中電阻很小，則總電流會(huì)很大。如果由于電感上的電壓和電容上的電壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電源電壓，所以，我們稱串聯(lián)諧振為電壓諧振。注意：電力工程中應(yīng)避免串聯(lián)諧振的發(fā)生為了衡量電路中元件電壓比電源電壓高出的倍數(shù)，我們引入了品質(zhì)因數(shù)Q這個(gè)物理量。定義:

可見，Q值越高，電容（電感）元件兩端的電壓就比電源電壓高得越多。R越小，Q值就越大。

諧振時(shí)，電路呈電阻性。所以，電源供給的能量全部被電阻消耗，電路中，cosφ=1，電路和電源之間沒有能量的交換，電路中能量的交換只在電感與電容之間進(jìn)行。畫出電路的幅頻特性如下設(shè)：U的大小一定，則I()曲線見右圖所示。串聯(lián)諧振的應(yīng)用

串聯(lián)諧振在無(wú)線電工程中應(yīng)用廣泛，利用諧振的選頻性對(duì)所需頻率的信號(hào)進(jìn)行選擇和放大,而對(duì)其它不需要的頻率加以抑制。為通頻帶上限截止頻率下限截止頻率諧振選頻的說明收音機(jī)的調(diào)諧接收電路L1LC0.707I0I0

f下

f0f上fI0I0

f下

f0f上fQ大Q小

無(wú)線電信號(hào)經(jīng)天線接受，由L1耦合到L上。調(diào)節(jié)電容C，對(duì)所需頻率信號(hào)發(fā)生串聯(lián)諧振，則其輸出端信號(hào)最強(qiáng)，而沒有選中的頻率信號(hào)則盡量的加以抑制削減，從而達(dá)到選擇信號(hào)的目的。Q值越大，諧振曲線越尖銳，選擇信號(hào)的能力就越強(qiáng)。等效電路LCe2e0e1f2f0f1R并聯(lián)諧振電容器與線圈的并聯(lián)電路，其等效阻抗為RLCuiiCiL通常線圈電阻很小，諧振時(shí)一般有L>>R，則上式為上式分母中虛部為零時(shí)產(chǎn)生諧振，可得諧振頻率為即與串聯(lián)諧振頻率公式相同并聯(lián)諧振的特征(1)由復(fù)阻抗公式諧振時(shí)電路的阻抗為達(dá)到最大值，比非諧振時(shí)要大。在電源電壓一定的情況下，電路中的諧振電流有最小值。即例如：若已知C=0.02μF，L=20μH，R=0.5Ω，可見，在一個(gè)只有0.5Ω電阻的LC并聯(lián)電路中，諧振時(shí)呈現(xiàn)出2000Ω的阻抗。(3)各并聯(lián)支路電流為(2)電路的總電壓與總電流同相(=0)；因此，并聯(lián)諧振也稱電流諧振IL或

IC與總電流I0的比值為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)且當(dāng)時(shí)，(4)當(dāng)LC并聯(lián)電路由電流源供電時(shí)，由于電路諧振時(shí)阻抗最大，則得到的諧振電壓也最大；而在非諧振時(shí)，電路端電壓較小。這種特性也具有選頻作用，且Q越大選頻作用越強(qiáng)。電壓源供電并聯(lián)諧振曲線電流源供電并聯(lián)諧振曲線RLCiSiCi12.6功率因數(shù)的提高功率因數(shù)提高的意義提高功率因數(shù)的方法應(yīng)用舉例功率因數(shù)提高的意義（1）使電源容量得到充分利用（2）減小輸電線上的電壓降和功率損耗，提高輸電效率

當(dāng)電源電壓U和輸送的有功功率P一定時(shí)，若cosφ低，則輸電線上的電流就大。由于輸電線本身具有阻抗，因此，將導(dǎo)致輸電線路上阻抗壓降增大，同時(shí)輸電線路上的功率損耗也增加。若提高電路功率因數(shù)的方法

通常情況下，供電系統(tǒng)的功率因數(shù)低主要是由于電感負(fù)載造成的。而電感負(fù)載的電流滯后電壓，使電路中存在一個(gè)滯后電壓900的無(wú)功電流分量。因此，提高電路（而非負(fù)載）功率因數(shù)的方法：是在電感負(fù)載兩端并聯(lián)電容器產(chǎn)生一個(gè)超前于電壓90o的無(wú)功電流分量，以補(bǔ)償滯后電壓90o的無(wú)功電流分量，使線路上的總電流減小。并聯(lián)電容器提高功率因數(shù)的分析與計(jì)算如圖為電感性負(fù)載其功率因數(shù)為：cosφ1，為了將電路的功率因數(shù)提高到cosφ2，并聯(lián)電容C。畫相量圖

從相量圖可見，并聯(lián)電容器后，總電流由原來的IRL變成了I，其模值減小了，而且與電壓的相位差也由原來的φ1減小為φ2，則cosφ2>cosφ1但是必須注意

（1）并聯(lián)電容器前后，原負(fù)載支路的工作狀態(tài)沒有任何變化，負(fù)載電流仍然是IRL，原感性負(fù)載的功率因數(shù)仍然是cosφ1。因此，提高功率因數(shù)是就整個(gè)電路對(duì)原電路而言的。

（2）線路總電流的減小是由于并聯(lián)電容后總電流的無(wú)功分量減小的結(jié)果。而電流的有功分量在并聯(lián)電容前后并無(wú)改變。

因此，若需將電路的功率因數(shù)從cosφ1提高到cosφ2，就可以從相量圖中求出所需要的并聯(lián)電容的大小。

從相量圖上可見應(yīng)用舉例

例1.單相感應(yīng)電動(dòng)機(jī)接到50Hz，220V供電線上，吸收電功率700W，功率因數(shù)cos1=0.7。今并聯(lián)一電容器以提高電路的功率因數(shù)至0.9，求所需電容。解：因?yàn)閁=220V可選用耐壓為500V、電容量為25F的電容器。求出未補(bǔ)償時(shí)的電流I1和補(bǔ)償后的電流I2

如下

如果再將功率因數(shù)提高到1，則有：

可見，當(dāng)功率因數(shù)較高時(shí)，要再提高功率因數(shù)，則所需要的電容量并不小，提高功率因數(shù)的效率不高，通常并不須要把電路的功率因數(shù)提高到1。交流電路分析計(jì)算舉例R1=3ΩR2=8ΩXL=4ΩXC=6Ω求：（1）i、i1、i2（2）P解:(1)已知R1R2jXL-jXC總電流I

也可以這樣求：R1R2jXL-jXC（2）功率P的計(jì)算R1R2jXL-jXCP=UIcos=220×49.2cos26.5o=9680WP=I12R1+I22R2=442×3+222×8=9680WP=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680W方法1方法2方法3例題電路如圖所示，已知R=R1=R2=10Ω，L=31.8mH，C=318μF，f=50Hz，U=10V，試求（1）并聯(lián)支路端電壓Uab；（2）求P、Q、S及COSXL=2πfL=10Ω解：Z1=10＋j10ΩZ2=10－j10Ω+-uRR2R1CL+--uabab+-R+--Z1Z2abＰ＝ＵIcos=10×0.5×1