第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

引言信號與系統(tǒng)分析的基本任務是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應。時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分方程，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。連續(xù)時間系統(tǒng)可用微分方程表示，因此在時域下分析連續(xù)時間系統(tǒng)，實際上就是求解微分方程的過程。而對于離散時間系統(tǒng)可用差分方程表示，因此在時域下分析離散時間系統(tǒng)，實際上就是求解差分方程的過程。系統(tǒng)分析過程經(jīng)典法:電路分析基礎課里已經(jīng)討論過，求解微分方程的齊次解和特解，代入初始條件求解系數(shù)，得出全響應；卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過沖激響應來求。(新方法)線性系統(tǒng)完全響應的求解；零輸入響應和零狀態(tài)響應的求解；沖激響應h(t)

和階躍響應g(t)的求解；卷積的定義；圖解法求卷積；卷積的性質(zhì)；卷積積分法求系統(tǒng)響應；本章主要內(nèi)容§2.1系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典求解許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。一．物理系統(tǒng)的模型本節(jié)復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,以基爾霍夫電流定律KCL，基爾霍夫電壓定律KVL表示。二．微分方程的列寫1.元件約束VAR在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)電感L，

(3)電容C，(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。2.結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL下面舉例說明。例如圖所示電路，輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為輸出響應變量的方程式。

由KVL，列出電壓方程對上式求導考慮到所以根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))

整理上式后，可得三．n階線性時不變系統(tǒng)的描述

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應信號之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述若系統(tǒng)為時不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常系數(shù)微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。2.1.1微分方程的經(jīng)典解全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。齊次解滿足齊次微分方程

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0由高等數(shù)學經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0齊次解

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt或yh(t)=Aeatcos(bt-θ)

(4)特征根有一對m重復根。即共有m重λ1,2=a±jb的復根，則微分方程的齊次解系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為例系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為例特征根齊次解yh(t)特征根與相應的齊次解形式單根r重根共軛復根r重共軛復根激勵函數(shù)e(t)響應函數(shù)y(t)的特解幾種典型激勵函數(shù)相應的特解或如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

例等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為

這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：(2)全解將微分方程的齊次解和特解相加可得到全解。全解中的待定系數(shù)可由系統(tǒng)的初始條件確定。試求的全解。

給定微分方程式（1）系統(tǒng)特征方程為例由此求的系統(tǒng)特征根為λ1=-2、λ2=-3。其齊次解形式為（2）已知激勵信號為e(t)=2e-tε(t),可設特解將特解與激勵e(t)=2e-tε(t)帶入原微分方程，可得P=1所以（3）微分方程全解為全解一階導數(shù)為令y(t)、y’(t)兩式中的t=0+，結(jié)合已知初始條件，得故系統(tǒng)微分方程全解為

齊次解（自由響應）

特解（強迫響應）已知激勵信號e(t)=sin2t(t≥0)，初始時刻，電容端電壓均為零，求輸出信號v2(t)。例(1)列微分方程2.1.2關(guān)于系統(tǒng)t=0-與t=0+狀態(tài)的討論我們來進一步討論的條件。

當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數(shù)項。

一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，狀態(tài)就會發(fā)生跳變。說明由伏安關(guān)系當有沖激電流或階躍電壓作用于電容時：1．電容電壓的突變?nèi)绻麨橛邢拗?，沖激電壓或階躍電流作用于電感時：2．電感電流的突變配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數(shù)應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

3．沖激函數(shù)匹配法（沖激平衡法）確定初始條件在中時刻有

中的表示到的相對跳變函數(shù)，所以，分析設則代入方程得出所以得即即數(shù)學描述（1）將x(t)代入微分方程，得例方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是，因而有代入微分方程(2)求得因而有例§2.2零輸入響應和零狀態(tài)響應

自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態(tài)響應

(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應

(Transient+Steady-state)

也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。

是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。

(1)自由響應：(2)暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：強迫響應：(3)零輸入響應：零狀態(tài)響應：各種系統(tǒng)響應定義2.2.1零輸入響應零輸入響應是在初始狀態(tài)不為零而輸入為零時的響應。由于輸入為零，系統(tǒng)微分方程為齊次方程，零輸入響應解的形式與齊次解的形式相同。

某LTI系統(tǒng)微分方程為y’’(t)+5y’(t)+4y(t)=e(t)已知y’(0-)=1,y(0-)=2。試求該系統(tǒng)零輸入響應yzi(t)。例

由微分方程可得特征方程為

λ2+5λ+4=0求得特征根為λ1=-1，λ2=-4。此系統(tǒng)零輸入響應可寫為yzi(t)=C1e-t+C2e-4tt≥0結(jié)合系統(tǒng)的初始狀態(tài)y’(0-)=1,y(0-)=2，可得故此系統(tǒng)的零輸入響應為此例中，若激勵信號為，求齊次解。有代入微分方程求得因而有結(jié)合系統(tǒng)的初始條件y’(0+)=2,y(0+)=2，可得故此系統(tǒng)的齊次解為2.2.2零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即y(0-)=y’(0-)=y’’(0-)=…=y(n-1)(0-)=0，但激勵不為零時的響應。此時系統(tǒng)的微分方程是非齊次方程，解的本身包含齊次解和特解兩部分。實際上，求解零狀態(tài)響應就是求解系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下的系統(tǒng)全響應。例例

系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即求解過程分析2.3.1沖激響應當系統(tǒng)的激勵信號為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱作單位沖激響應，簡稱為沖激響應，常用“h(t)”表示。沖激響應h(t)反映了系統(tǒng)的特性，同時也是利用卷積積分進行系統(tǒng)時域分析的基礎?！?.3沖激響應與階躍響應（1）抽樣性

（2）奇偶性

（3）比例性

（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶

（6）卷積性質(zhì)

沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)系統(tǒng)的沖激響應線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號作用下的響應，簡稱沖激響應，且用表示。2.3.2階躍響應當激勵信號e(t)為單位階躍信號ε(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱作單位階躍響應，簡稱階躍響應，常用“g(t)”表示。

例§2.4卷積積分2.4.1卷積的定義例例2.4.2卷積運算的圖形解釋

用圖解法直觀，尤其是對于分段函數(shù)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確。

例兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

0

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限0，上限t

，t

為移動時間;0<t

3t

>3卷積結(jié)果例浮動坐標：下限上限t-3t-0t：移動的距離t=0f2(t-)

未移動t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-11浮動坐標兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t

，t

為移動時間;-1<t

1即1<t21<t

2即2<

t42<t

4即t>4t-3>1t

>4卷積結(jié)果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般規(guī)律：-1+1卷積結(jié)果區(qū)間的確定例兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-2，上限t-1，t

為移動時間;-1<t

11<t

33<

t

5t

>5卷積結(jié)果2.4.3借助沖激響應與疊加原理求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應1、連續(xù)信號的時域分解2、利用卷積積分求解零狀態(tài)響應

當系統(tǒng)在任意波形信號x(t)激勵下的零狀態(tài)響應y(t)。對于線性時不變系統(tǒng)來說，若系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，則以下推理成立：將上式與卷積積分的定義式比較可以看出，系統(tǒng)在激勵信號x(t)作用下的零狀態(tài)響應為x(t)與系統(tǒng)沖激響應h(t)的卷積積分，即在一般情況下，由于激勵信號與沖激響應都為因果信號，所以上式可寫為這樣對于一個系統(tǒng)（微分方程），它的零輸入響應為微分方程的齊次解。而零狀態(tài)響應可以通過求輸入信號與沖激響應卷積的方法得到，這樣可以避免當輸入信號較復雜時，通過微分方程直接求解的困難。同時這種求解思想也是變換域系統(tǒng)分析的基礎。例§2.4卷積積分的性質(zhì)卷積的代數(shù)運算卷積的微分與積分函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積卷積的時移特性1．交換律1、卷積的代數(shù)運算

交換律表明兩函數(shù)在卷積積分時的次序是可以任意交換的。在圖解法求卷積時，無論f1(t)和f2(t)中的那一個倒置都可以。對于不同情況，倒置不同的信號對解題的難度會有影響。n個信號相加作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，等于這n個信號分別作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應之和。2．分配律系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。系統(tǒng)并聯(lián)3．結(jié)合律系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。

系統(tǒng)級聯(lián)圖(a)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應如圖(b)所示。求復合系統(tǒng)的沖激響應，并畫出它的波形。(a)(b)例2、卷積的微分與積分例

試求f(t)=ε(t)*ε(t)(1)根據(jù)卷積微積分性質(zhì)，有(2)根據(jù)卷積積分的定義，有推廣：3.函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積——重現(xiàn)特性例例已知f1(t)與f2(t)波形如圖，求f1(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1

(t)*[δ(t+2)+δ(t-2)]=f1

(t+2)+f1

(t-2)

也就是說，只需在每個沖激信號出現(xiàn)的位置處重畫信號f1

(t)即可，卷積結(jié)果。例例例已知某系統(tǒng)激勵信號x(t)=e-tε(t)，系統(tǒng)沖激響應h(t)=ε(t)-ε(t-2)，試求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。根據(jù)卷積的微分性質(zhì)yzs(t)=x(t)*h(t)=x(-1)(t)*h’(t)=x(-1)(t)*[ε(t)-ε(t-2)]’=x(-1)(t)*[δ(t)-δ(t-2)]=x(-1)(t)-x(-1)(t-2)卷積的重現(xiàn)特性設單個脈沖信號f0(t)的波形如圖a所示。另一個周期為T的周期性單位脈沖序列δT(t)如圖b所示，其表達式為計算f0(t)與δT(t)的卷積積分，得例

已知一個周期信號fT(t)的波形如圖所示，試寫出fT(t)的函數(shù)表達式。周期信號fT(t)的周期為T=5，可將周期信號表示為常用信號的卷積公式4.卷積的時移特性例例例已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)的數(shù)學模型為y”(t)+7y’(t)+12y(t)=2x’(t)+3x(t)

已知：激勵x(t)=2e-2tε(t)，初始狀態(tài)：y(0-)=1，y’(0-)=2，試求：(1)系統(tǒng)零輸入響應；

(2)系統(tǒng)的沖激響應；

(3)系統(tǒng)的零狀態(tài)