第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)

第八章

剛體的平面運(yùn)動(dòng)Planemotionofarigidbody§8-1剛體平面概述Introductiontoplanemotionofarigidbody共同特點(diǎn)：在運(yùn)動(dòng)中剛體上任意一點(diǎn)與某固定平面始終保持相等距離。說明顯然，許多作平動(dòng)或作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體也滿足剛體作平面運(yùn)動(dòng)的定義。它們是平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況。但是，為了不造成混淆，約定：若作平面運(yùn)動(dòng)的剛體滿足平動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定義，則只稱其作平動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

平面運(yùn)動(dòng)問題研究的簡化

平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程圖示平面有一平面圖形。Oyx可用一條直線O’M確定其位置。而直線O’M的位置可用O’點(diǎn)的位置和直線與x軸的夾角所確定。O’MO’O’MO’MO’MO’O’O’xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)

平面運(yùn)動(dòng)的分解（1）=常量時(shí)，即平面圖形的運(yùn)動(dòng)完全由點(diǎn)

O’

的運(yùn)動(dòng)確定，平面圖形隨點(diǎn)O’

作平動(dòng)；xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)OyxO’M（2） 點(diǎn)O’固定不動(dòng)時(shí)，平面圖形繞O’點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢姡浩矫鎴D形的平面運(yùn)動(dòng)可分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于任意的平面運(yùn)動(dòng)，可在平面圖形上任取一點(diǎn)O’，稱為基點(diǎn)。若把平面圖形的運(yùn)動(dòng)看作絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，它是由圖形隨過基點(diǎn)的動(dòng)系的牽連平動(dòng)和繞基點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。OyxO’Mx’y’平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)

Mx’y’MMx’y’車輪的平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)A的平動(dòng)繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動(dòng)=+ⅠⅡ這一運(yùn)動(dòng)過程可視為圖形先隨基點(diǎn)A作平動(dòng)。同樣，這一運(yùn)動(dòng)過程又可視為圖形先隨基點(diǎn)B作平動(dòng)。再繞基點(diǎn)B’作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過角度為Δ’

。顯然，AA’≠BB’

而Δ=Δ’上述兩種運(yùn)動(dòng)分解方式，得到相同的結(jié)果。而實(shí)際上平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的。再繞基點(diǎn)A’作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過角度為Δ

。當(dāng)Δt→0，將AA’≠BB’,Δ=Δ’

同時(shí)除以Δt并取極限

vA≠vB

A=B

與aA≠aB

A=B

平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可取任意的基點(diǎn)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)；而平面圖形的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無關(guān),一般情況下選運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn)。曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)的分解§8-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法O’MMM選基點(diǎn)O’，∵牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，

∴M點(diǎn)的牽連速度等于

基點(diǎn)O’的速度vO’而點(diǎn)M的相對(duì)速度就是相對(duì)O’點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的平面圖形上

M

點(diǎn)的速度vMO’，顯然vMO’=O’M·vO’vO’vMO’vM即vM=vO’+

vMO’

一、基點(diǎn)法O’vO’vO’vMO’vMO’vO’vO’vMO’vM該方法稱為基點(diǎn)法或叫作速度合成法

通常對(duì)于平面圖形內(nèi)的任意兩點(diǎn)A

和B

有

vB=vA+vBA

注意：

vBA

≠vAB平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。圖示機(jī)構(gòu)，已知vA

水平向左，桿長AB=l。求：vB

及AB桿的角速度

。BAxy例vAvAvBAvB解：

選A點(diǎn)為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的速度，運(yùn)動(dòng)分析

vB=vA+vBA

vAvBvBAvAvBAvBvAvBAvB解得vB=vA

cot

vBA

=vA/sin√√√方向大??？？√故圖示機(jī)構(gòu)，曲柄OA以角速度

=6rad/s

轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)直角板ABC和搖桿BD。已知OA=10cm，AC=15cm，BC=45cm，BD=40cm。圖示位置OA⊥AC，BD∥AC。求該瞬時(shí)點(diǎn)B、C的速度，平板的角速度ABC和BD桿的角速度BD

。例OACBD1、求B點(diǎn)速度

vB=vA+vBAOACBDvAvAvBAvB將上式向BD投影0=vA

－vBA

cos√√√方向大?。?？OA·

故向水平軸投影

vB=vBA·sin=20(cm/s)

例8-2(續(xù)3)2、求C點(diǎn)速度

OACBDvAvCAyxijvCvCvC

vC=vA+vCA

？√√方向大??？OA·

AC·ABCvA例：機(jī)構(gòu)如圖，三角塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)，輪（輪的半徑為r

）。在塊上純滾，A、O、B在同一直線上，求圖示瞬時(shí)輪心O和B點(diǎn)的速度。解：

1、由于輪在三角塊上純滾動(dòng)，所以接觸點(diǎn)A的速度30°AOBv以A點(diǎn)為基點(diǎn)，求O點(diǎn)的速度vAvOvOAvAvAvAvAvAvOvAvOvAvOvOA解得故輪的角速度為

ω

ω

ω

ω√√√方向大??？？2、以A點(diǎn)為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的速度vA30°AOBvvA

ωvOAvBAvBvAvBAvB∴B點(diǎn)的速度為例8-3(續(xù)1)

？√√方向大??？例8-3(續(xù)2)也可以以O(shè)點(diǎn)為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的速度。30oAOByxvOvOvBOvBvBxvByvOvBO向

x

軸投影

vBx=vO

cos30°=v/2向y

軸投影

vBy=vOsin30°+vBOvOvBOvBxvByvOvOvBOvBxvBy

vBx+vBy

=vO+vBO

√√√√方向大??？？二、速度投影法將速度vB

向線段AB投影(

vB)AB=(vA

+vBA

)AB因?yàn)?vBA

)AB=0所以(vB)AB

=(vA

)ABABvAvAvBAvB同一平面上，任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等。上面的定理正好說明剛體上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。所以定理適應(yīng)于剛體作其它任意的運(yùn)動(dòng)。在平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA=100mm，以角速度

=2rad/s

轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿AB帶動(dòng)搖桿CD，并拖動(dòng)輪E沿水平面滾動(dòng)。已知CD=3CB，圖示瞬時(shí)A、B、E三點(diǎn)恰在一條水平線上，且CD⊥ED。試求此瞬時(shí)點(diǎn)E的速度。例60°EDBACO例8-5(續(xù)1)解:畫出A、B、D

和E

點(diǎn)速度。60°EDBACO由速度投影定理，vE

cos30°=vD

；vB

cos30°=vA可得：vEvDvBvA由

vA

=OA·=200（mm/s)可得：vE

=0.8m/s

vDvBvAvDvBvAvEvE§8-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法一、速度瞬心概念

一般情況下，在每一個(gè)瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。證明：設(shè)有一個(gè)平面圖形。取A點(diǎn)為基點(diǎn)。在垂直vA

的直線上一定存在一點(diǎn)C，其上的vCA=vvAA即vC=vA－

vCA=0vAvCACvAvCACvAvCACvAvA這一速度為零的點(diǎn)稱為速度瞬心。若取速度瞬心C

為基點(diǎn)，則圖形內(nèi)任意一點(diǎn)M的速度

vM=vMC=CM·可見，平面圖形歸結(jié)為繞瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)問題。CMM’vMvM’注意：瞬心可以在圖形內(nèi)，也可以在圖形外，其位置不固定，隨時(shí)間變化。不同瞬時(shí)具有不同的瞬心。剛體上任意點(diǎn)的速度總是垂直于該點(diǎn)至瞬心的連線。CMM’vMCMM’vM二、幾種速度瞬心的確定方法（1）在某瞬時(shí)，已知圖形上A、B兩點(diǎn)的速度方向，但速度方向不與AB連線垂直。速度瞬心即在垂直于vA的直線上，又在垂直于vB的直線上。表明速度瞬心C在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)AABBvBvAvAvBC點(diǎn)為速度瞬心C該瞬時(shí)剛體作瞬時(shí)平動(dòng)AABBvBvAvAvBCCC(2)在某瞬時(shí)，已知圖形上A、B兩點(diǎn)的速度大小，而速度方向與AB連線垂直。AAABBBCC瞬時(shí)平動(dòng)vAvAvAvBvBvBAAABBBvAvAvAvBvBvBvA

=vBCCCCCC(3)平面圖形沿固定曲線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。因?yàn)闆]有相對(duì)滑動(dòng)，接觸點(diǎn)C的速度等于零，C為速度瞬心。CCCC圖示機(jī)構(gòu)，曲柄OA以角速度=6rad/s

轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)直角板ABC和搖桿BD。已知OA=10cm，AE=15cm，BE=45cm，BD=40cm。圖示位置OA⊥AE，BD∥AE。用速度瞬心法求該瞬時(shí)點(diǎn)B、E的速度。平板的角速度A和BD桿的角速度BD

。例OAEBD例8-6(續(xù)1)解：找三角板的速度瞬心。OAEBD三角板的角速度

A=vA/AC=4/3(rad/s)vB=BC·A

=20(cm/s)vE=EC·A

=AE=15cm;EB=45cmvBvACvBvACCvBvACvA

=OA·=60cm/svEvEvE機(jī)構(gòu)如圖，三角塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)，輪在塊上純滾，A、O、B在同一直線上，試用速度瞬心法求圖示瞬時(shí)輪心和B點(diǎn)的速度。例v30°AOB解：確定速度瞬心。CvAvBvOE由瞬心C和B點(diǎn)可畫出速度vB

的方向并求出其大小。CvAvBvOCvAvBvO例：下列四個(gè)平面圖形的速度分布情況是否可能？為什么？45°（1）不可能（2）可能（3）不可能（由速度投影定理便知）（4）不可能（正確應(yīng)該是紅線所畫）CCCCCC1歡迎繼續(xù)學(xué)習(xí)本章

第2部分

導(dǎo)出速度瞬心法稱為平面圖形的角速度。

稱為平面圖形的角加速度。所謂繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上是指相對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)鉸接于基點(diǎn)的平動(dòng)參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)，故

和

是相對(duì)角速度和相對(duì)角加速度。當(dāng)注意到動(dòng)參考系作平動(dòng)時(shí)，可見和

又是絕對(duì)角速度和絕對(duì)角加速度。這正是把

和

分別稱為平面圖形的角速度和平面圖形的角加速度的原因。

一點(diǎn)注意速度、加速度對(duì)點(diǎn)而言，角速度、角加速度對(duì)圖形或剛體而言。長為l的曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圖示瞬時(shí)擺桿O1B的角速度1

。例OO1AEBbOO1AEBb例8-4(續(xù)1)解：以桿EA為研究對(duì)象1、以A點(diǎn)為基點(diǎn)，

求E點(diǎn)的速度。

vE=vA+vEA

(1)

vE

—大小、方向

皆未知

vEA

—大小未知vAvEAvAvEA由于三個(gè)未知量，E點(diǎn)的速度光由式（1）還無法確定，需借助其它方程。(見后續(xù)）vAvAvEAvAvEAvAOO1AEBbvEAvA例8-4(續(xù)2)2、選滑塊E為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與擺桿O1B固結(jié)。

v

a=ve+vr(2)

vA

cos

=ve

即ve

=l

cos

vrvevrvevrvevrxve因?yàn)椋簐E=v

a

所以

vA+vEA=ve

+v

r將上式向x軸投影例8-4(續(xù)3)若OO1AEBb你能計(jì)算出：嗎？怎么計(jì)算？套筒O以角速度O

繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿AB穿在套筒內(nèi)，其A端保持沿水平直線運(yùn)動(dòng)，問（1）AB作什么運(yùn)動(dòng)？（2）AB桿瞬心在哪里？（3）AB

為何值？

例CABOO’（1）AB作平面運(yùn)動(dòng)（2）當(dāng)選套筒的E點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，（3）由幾何關(guān)系知

=’OACCEEE動(dòng)系與AB桿固結(jié)，可知瞬心在OE延長線上。瞬心如圖。

例8-8討論例8-8告訴我們，若平面圖形上的線段與某條直線之間的夾角隨時(shí)間的變化規(guī)律（運(yùn)動(dòng)方程）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中可知，則將對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)便可求得平面圖形的角速度和角加速度。這是因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)論述過：因?yàn)閯傮w平面運(yùn)動(dòng)中，隨基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)參考系作平動(dòng)，所以，和