2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章算法初步1.3中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。3中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解割圓術(shù)中無限逼近的數(shù)學(xué)思想．2．理解更相減損術(shù)的含義，了解其執(zhí)行過程．3．掌握秦九韶算法的計(jì)算過程，并了解它提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)．［知識(shí)鏈接］1．20和30的最大公約數(shù)為10.2．已知函數(shù)f（x)＝x2＋2x－1，計(jì)算f（1）的值時(shí)用了2次乘法和2次加法運(yùn)算；當(dāng)函數(shù)變?yōu)閒(x）＝(x＋2）x－1，求f（1）時(shí)，用了1次乘法運(yùn)算和2次加法運(yùn)算．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．更相減損術(shù)第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步．第二步,以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．2．割圓術(shù)的算法思想劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步逼近圓面積,最后求出圓周率的近似值．用劉徽自己的話概括就是“割之彌細(xì)，所失彌少,割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”．3．秦九韶算法把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成如下形式：（…（（anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0,求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1＝v0x＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…vn＝vn－1x＋a0。這樣，求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.要點(diǎn)一求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)例1用更相減損術(shù)求261和319的最大公約數(shù)．解319－261＝58，261－58＝203,203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29,29－29＝0，所以319與261的最大公約數(shù)是29.規(guī)律方法利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一般步驟是:首先判斷兩個(gè)正整數(shù)是否都是偶數(shù)．若是,用2約簡．也可以不除以2，直接求最大公約數(shù)，這樣不影響最后結(jié)果．跟蹤演練1用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù)．解80÷2＝4036÷2＝1840÷2＝2018÷2＝920－9＝1111－9＝29－2＝77－2＝55－2＝33－2＝12－1＝11×2×2＝4所以80與36的最大公約數(shù)為4。要點(diǎn)二秦九韶算法例2已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f（x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1。7x－0.8，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝5時(shí)的值．解將f(x)改寫為f（x）＝(（(（4x＋2）x＋3.5)x－2。6)x＋1。7)x－0。8，由內(nèi)向外依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝5時(shí)的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22;v2＝22×5＋3。5＝113.5；v3＝113.5×5－2。6＝564。9；v4＝564。9×5＋1.7＝2826。2；v5＝2826。2×5－0.8＝14130.2.∴當(dāng)x＝5時(shí),多項(xiàng)式的值等于14130。2.規(guī)律方法1.先將多項(xiàng)式寫成一次多項(xiàng)式的形式，然后運(yùn)算時(shí)從里到外,一步一步地做乘法和加法即可．這樣比直接將x＝5代入原式大大減少了計(jì)算量．若用計(jì)算機(jī)計(jì)算,則可提高運(yùn)算效率．2．注意：當(dāng)多項(xiàng)式中n次項(xiàng)不存在時(shí)，可將第n次項(xiàng)看作0·xn。跟蹤演練2用秦九韶算法計(jì)算f（x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或減法)與乘法運(yùn)算的次數(shù)分別為(）A．5,4 B．5,5C．4，4 D．4，5答案D解析n次多項(xiàng)式需進(jìn)行n次乘法;若各項(xiàng)均不為零,則需進(jìn)行n次加法，缺一項(xiàng)就減少一次加法運(yùn)算．f（x)中無常數(shù)項(xiàng)，故加法次數(shù)要減少一次，為5－1＝4。故選D。1．我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之利用割圓術(shù)所得的圓周率π是（）A．準(zhǔn)確值 B．近似值C．循環(huán)小數(shù) D．有理數(shù)答案B2．自然數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)為（）A．37 B．23C．47 D．111答案A解析利用更相減損之術(shù)可得它們的最大公約數(shù)為37。3．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值時(shí)，v4的值為(）A．－57 B．220C．－845 D．3392答案B解析v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79,v4＝v3x－8，∴v4＝220.4．用更相減損之術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需做減法的次數(shù)是（)A．2 B．3C．4 D．5答案C解析∵（294，84)→（210,84)→（126，84)→(42，84）→（42，42），∴需做4次減法．5．用更相減損術(shù)求36與134的最大公約數(shù)，第一步應(yīng)為__________．答案先除以2，得到18與67解析∵36與134都是偶數(shù)，∴第一步應(yīng)為：先除以2，得到18與67.1．更相減損之術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)時(shí),當(dāng)兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多．2．秦九韶算法用于計(jì)算高次多項(xiàng)式的值，它能把高次式的和轉(zhuǎn)化成一次式的積．在使用秦九韶算法時(shí)，如果缺少某