2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE6．2垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線與平面垂直,平面與平面垂直的性質(zhì)定理。2。能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題。3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系．知識點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿．一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？梳理性質(zhì)定理文字語言如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線________符號語言eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a⊥α，b⊥α)）?a∥b圖形語言知識點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?梳理性質(zhì)定理文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在______________垂直于它們________的直線________于另一個平面符號語言α⊥β,α∩β＝l,________，________?a⊥β圖形語言類型一線面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例1如圖所示，正方體A1B1C1D1－ABCD中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1。反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．（2）利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直。(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖，α∩β＝l，PA⊥α,PB⊥β，垂足分別為A、B，aα,a⊥AB.求證:a∥l。類型二面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB。反思與感悟證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時,要注意以下三點(diǎn)：（1)兩個平面垂直；（2)直線必須在其中一個平面內(nèi);(3)直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證：（1）BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用eq\x（命題角度1線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化)例3如圖,在四棱錐P－ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：（1）PA⊥底面ABCD；（2)BE∥平面PAD；（3)平面BEF⊥平面PCD.反思與感悟（1）證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理,本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點(diǎn)：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC。求證：平面ABD⊥平面ACD。eq\x(命題角度2垂直中的探索性問題）例4已知在三棱錐A－BCD中,∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°，E,F分別是AC，AD上的動點(diǎn),且eq\f(AE，AC)＝eq\f（AF，AD)＝λ(0＜λ＜1）．（1）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC;（2)當(dāng)λ為何值時,平面BEF⊥平面ACD？反思與感悟解決開放性問題一般先從結(jié)論入手，分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等價的條件，此種類型題考查空間想象能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：AE⊥DA1;(2）在線段AA1上是否存在一點(diǎn)G,使得AE⊥平面DFG？并說明理由．1．在空間中，下列命題正確的是(）A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．平行于同一條直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行2．平面α⊥平面β，直線a∥α，則（)A．a(chǎn)⊥β B．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)與β相交 D．以上都有可能3．已知直線l⊥平面α，直線m平面β.有下面四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個命題是（)A．①②B．③④C．①③D．②④4．如圖，在三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.5.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC.1．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直"與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．2．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直"間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考平行．梳理平行知識點(diǎn)二思考容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直．梳理一個平面內(nèi)交線垂直aαa⊥l題型探究例1證明如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1。∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD＝D,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理,BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C。又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1。跟蹤訓(xùn)練1證明∵PA⊥α，lα,∴PA⊥l。同理PB⊥l?！逷A∩PB＝P，∴l(xiāng)⊥平面PAB。又∵PA⊥α,aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB,PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.例2證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC。又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB。跟蹤訓(xùn)練2證明(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD?！郆G⊥平面PAD.(2)由（1)可知BG⊥AD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD。又BG∩PG＝G,∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG,∴AD⊥PB.例3證明（1）∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD。（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD.又AD平面PAD，BE平面PAD,∴BE∥平面PAD。(3)在平行四邊形ABED中,由AB⊥AD，可得ABED為矩形,故有BE⊥CD。①由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn),可得EF∥PD，∴CD⊥EF.②而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF。由于CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.跟蹤訓(xùn)練3證明∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC,在平面ABC內(nèi)，作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，則AE⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE，BC平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又AB平面ABC，∴AB⊥CD.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC、CD平面ACD.∴AB⊥平面ACD。又AB平面ABD,∴平面ABD⊥平面ACD.例4（1)證明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD?！逜B⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵eq\f（AE，AC）＝eq\f(AF,AD)，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC。故不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC.(2）解由（1)，得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，∴EF⊥BE。要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝eq\r(2).又∵AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°，∴AB＝eq\r(6），AC＝eq\r(7)，∴BE＝eq\f（AB·BC,AC)＝eq\f（\r(42),7）,∴AE＝eq\f（6\r(7），7),∴λ＝eq\f（AE,AC）＝eq\f（6,7）.故當(dāng)λ＝eq\f（6,7）時，平面BEF⊥平面ACD。跟蹤訓(xùn)練4(1）證明連接AD1，BC1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB,又AB∩AD1＝A,∴DA1⊥平面ABC1D1。又AE平面ABC1D1,∴DA1⊥AE。（2)解如圖所示A1點(diǎn)即為G點(diǎn)，證明如下：連接A1F由（1)可知AE⊥DA1，取CD的中點(diǎn)H，連接AH，EH,由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可證DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥