2017-2018版高中數(shù)學第一章計數(shù)原理2排列第2課時排列的應用學案2-3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時排列的應用學習目標1。進一步加深對排列概念的理解。2.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題．知識點排列及其應用1．排列數(shù)公式Aeq\o\al（m，n)＝n（n－1)（n－2）…(n－m＋1)（n,m∈N＋，m≤n）＝eq\f（n！，n－m！)。Aeq\o\al(n,n)＝n（n－1)（n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。?。2．應用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟類型一無限制條件的排列問題例1（1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法?反思與感悟典型的排列問題，用排列數(shù)計算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用分步乘法計數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清楚，要從“n個不同的元素中取出m個元素”．即在排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中,元素可以重復選取．跟蹤訓練1某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示多少種不同的信號？類型二排隊問題命題角度1元素“相鄰"與“不相鄰”問題例23名男生,4名女生，這7個人站成一排在下列情況下,各有多少種不同的站法．(1)男、女各站在一起;(2）男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；（4）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．反思與感悟處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部"的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．跟蹤訓練2排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種?（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？（3)5個歌唱節(jié)目中A，B必須相鄰，C，D，E也必須相鄰，則排列的方法有多少種？命題角度2定序問題例37人站成一排．（1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法?(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法?反思與感悟這類問題的解法是采用分類法．n個不同元素的全排列有Aeq\o\al（n,n)種排法，m個不同元素的全排列有Aeq\o\al（m，m）種排法．因此Aeq\o\al（n，n)種排法中，關于m個元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m）類,而且每一種分類的排法數(shù)是一樣的．當這m個元素順序確定時，共有eq\f（A\o\al（n，n），A\o\al（m,m）)種排法．跟蹤訓練37名師生排成一排照相，其中老師1人,女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按從高到低的順序站，有多少種不同的站法?命題角度3特殊元素與特殊位置問題例4從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題：（1)甲不在首位的排法有多少種？（2）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？（3)甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？反思與感悟“在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1)原則:解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手,原則是誰特殊誰優(yōu)先．（2）方法：從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解題時，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底．不能一會考慮元素，一會考慮位置，造成分類、分步混亂，導致解題錯誤．跟蹤訓練4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育,最后一節(jié)不排數(shù)學,那么共有多少種不同的排課程表的方法？類型三數(shù)字排列問題例5用0,1，2,3，4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的(1)能被5整除的五位數(shù)；（2）能被3整除的五位數(shù);（3）若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an｝，則240135是第幾項．反思與感悟數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路．常見附加條件有:（1）首位不能為0.（2）有無重復數(shù)字．（3)奇偶數(shù)．（4）某數(shù)的倍數(shù)．(5）大于(或小于）某數(shù)．跟蹤訓練5（1)由數(shù)字0，1，2,3，4,5組成的奇偶數(shù)字相間且無重復數(shù)字的六位數(shù)有多少個?（2)由0，1，2，3,4,5六個數(shù)字組成的六位數(shù)中，數(shù)字1排在奇數(shù)位上的數(shù)有多少個？（注：本題中提到的“奇數(shù)位”按從最高位開始從左到右依次為奇數(shù)位、偶數(shù)位來理解)1．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講,則不同的演講次序共有（)A．240種B．360種C．480種D．720種2．有6道選擇題，答案分別為A，B，C，D，D，D,在安排題目順序時，要求3道選D的題目任意兩道不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為(）A．72B．144C．288D．363．計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一種畫必須連在一起,并且水彩畫不能放在兩端，那么不同的陳列方式的種數(shù)為（）A．Aeq\o\al(2，2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al（5，5) B．Aeq\o\al(2，3）Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(5，5）C．Aeq\o\al（4,4）Aeq\o\al(5,5）Aeq\o\al（3，3） D．Aeq\o\al（4，4）Aeq\o\al(5,5）4．從6名短跑運動員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案．5．用數(shù)字0,1,2,3,4，5可以組成沒有重復數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共________個．求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法答案精析知識梳理知識點1．n（n－1）(n－2）…(n－m＋1)eq\f（n!,n－m！)n(n－1）(n－2）…2·1n！1題型探究類型一例1解（1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列，所以共有Aeq\o\al(3,7)＝7×6×5＝210（種）不同的送法．（2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有7×7×7＝343(種)不同的送法．跟蹤訓練1解第1類:掛1面旗表示信號，有Aeq\o\al(1，3）種不同的方法；第2類：掛2面旗表示信號，有Aeq\o\al(2，3)種不同的方法;第3類：掛3面旗表示信號，有Aeq\o\al（3,3)種不同的方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理,得可以表示的信號共有Aeq\o\al（1,3）＋Aeq\o\al（2，3）＋Aeq\o\al（3，3）＝3＋3×2＋3×2×1＝15(種）．例2解（1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起,即把3名男生進行全排列,有Aeq\o\al(3,3）種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進行全排列，有Aeq\o\al(4,4）種排法，全體男生、女生各看作一個元素全排列有Aeq\o\al(2，2)種排法,由分步乘法計數(shù)原理知共有Aeq\o\al（3，3)·Aeq\o\al(4,4）·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)排法．(2）(捆綁法）把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al(5，5)＝720（種）不同的排法．（3)(不相鄰問題插空法）先排女生有Aeq\o\al(4,4）種排法,把3名男生安排在4名女生隔成的5個空中，有Aeq\o\al(3，5)種排法,故有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440（種)不同的排法．(4)先排男生有Aeq\o\al（3，3）種排法．讓女生插空，有Aeq\o\al(3，3)Aeq\o\al（4，4）＝144（種)不同的排法．跟蹤訓練2解(1)先排歌唱節(jié)目有Aeq\o\al(5，5)種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個空位，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al(4,6)種方法，所以任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al（5，5）·Aeq\o\al（4,6)＝43200(種)方法．（2)先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4，4）種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al（4，4）·Aeq\o\al(5，5）＝2880(種）方法．（3）將AB捆綁一起，CDE也捆綁一起，應用捆綁法共有Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（3,3）Aeq\o\al(6,6)＝8640（種）方法．例3解（1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f(A\o\al(7,7）,A\o\al(2，2）)＝2520(種）不同的排法．(2）甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的eq\f(1，A\o\al（3,3)).故有eq\f（A\o\al(7,7)，A\o\al(3，3))＝840（種)不同的排法．跟蹤訓練3解7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al（4,4）種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法，所以共有2·eq\f(A\o\al(7,7）,A\o\al（4,4））＝420（種)不同的站法．例4解(1）方法一把同學作為研究對象．第一類：不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中取出5名放在5個位置上，有Aeq\o\al(5,6)種．第二類：含有甲，甲不在首位：先從4個位置中選出1個放甲,再從甲以外的6名同學中選出4名排在沒有甲的位置上，有Aeq\o\al(4，6)種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,含有甲時共有4×Aeq\o\al（4，6)種排法．由分類加法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al（5，6）＋4×Aeq\o\al（4,6）＝2160(種）排法．方法二把位置作為研究對象．第一步,從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有Aeq\o\al（1,6）種方法．第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上,有Aeq\o\al（4，6）種方法．由分步乘法計數(shù)原理，可得共有Aeq\o\al（1，6)·Aeq\o\al（4，6)＝2160（種）排法．方法三（間接法)：即先不考慮限制條件,從7名同學中選出5名進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．不考慮甲不在首位的要求,總的可能情況有Aeq\o\al（5,7）種；甲在首位的情況有Aeq\o\al(4,6)種，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7）－Aeq\o\al（4，6)＝2160（種)．（2)把位置作為研究對象，先滿足特殊位置．第一步,從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有Aeq\o\al（2,6）種方法．第二步，從未排上的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有Aeq\o\al（3,5)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有Aeq\o\al(2,6）·Aeq\o\al(3,5）＝1800（種)方法．(3)把位置作為研究對象．第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有Aeq\o\al（2，5）種方法．第二步,從未排上的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有Aeq\o\al(3，5）種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,5）·Aeq\o\al（3，5）＝1200（種）方法．（4）用間接法．總的可能情況是Aeq\o\al（5,7)種,減去甲在首位的Aeq\o\al（4,6）種，再減去乙在末位的Aeq\o\al（4，6）種．注意到甲在首位同時乙在末位的情況被減去了兩次，所以還需補回一次Aeq\o\al（3,5)種，所以共有Aeq\o\al（5,7）－2Aeq\o\al（4,6)＋Aeq\o\al（3，5）＝1860(種)排法．跟蹤訓練4解6門課總的排法是Aeq\o\al(6，6），其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有Aeq\o\al(5,5)種排法；數(shù)學排在最后一節(jié)，有Aeq\o\al(5，5)種排法，但這兩種方法,都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學排在最后一節(jié)，這種情況有Aeq\o\al(4，4)種排法．因此符合條件的排法有Aeq\o\al(6,6）－2Aeq\o\al(5，5）＋Aeq\o\al(4,4)＝504（種)．例5解（1)個位上的數(shù)字必須是0或5.個位上是0，有Aeq\o\al(4,5）個;個位上是5，若不含0，則有Aeq\o\al（4，4)個;若含0，但0不作首位，則0的位置有Aeq\o\al（1,3)種排法,其余各位有Aeq\o\al（3,4)種排法,故共有Aeq\o\al（4,5)＋Aeq\o\al（4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4）＝216（個）能被5整除的五位數(shù)．（2）能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除，則5個數(shù)可能有｛1，2，3,4,5}和｛0，1，2，4，5}兩種情況,能夠組成的五位數(shù)分別有Aeq\o\al（5，5)個和Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4，4）個．故能被3整除的五位數(shù)有Aeq\o\al(5,5）＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（4，4）＝216(個)．(3)由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al（5,5)個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個,有3Aeq\o\al（4，4)個數(shù)，∴240135的項數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4）＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項．跟蹤訓練5解（1)第一類，首位為奇數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復數(shù)字的六位數(shù)．第一步：把1,3，5三個數(shù)排列在奇數(shù)位上，有Aeq\o\al（3，3）種方法．第二步：把0,2，4三個數(shù)排列在偶數(shù)位上,有Aeq\