第一章 滲流理論基礎(chǔ)3專

§1—6滲流的連續(xù)性方程在滲流區(qū)內(nèi)以P點(diǎn)取一無(wú)限小的平行六面體，其邊長(zhǎng)分別為Δx、Δy、Δz，并且和坐標(biāo)軸平行，設(shè)P點(diǎn)沿坐標(biāo)軸的滲透速度分量為vx、vy、vz，液體密度為ρ，則P點(diǎn)處，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于坐標(biāo)軸方向單位面積的水流質(zhì)量分別為ρvx、ρvy、ρvz。那么，通過(guò)abcd面中點(diǎn)的單位時(shí)間單位面積的水流質(zhì)量為：用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)：略去二階導(dǎo)數(shù)以上的高次項(xiàng)，得Δt時(shí)間內(nèi)由abcd面流入單元體的質(zhì)量為：同理，通過(guò)a′b′c′d′面流出單元體的質(zhì)量為：沿x軸方向流入和流出單元體的質(zhì)量差為：同理，可得到沿y軸和z軸方向流入和流出這個(gè)單元體的液體質(zhì)量差，分別為：在Δt時(shí)間內(nèi)，流入與流出這個(gè)單元體的總質(zhì)量差為：在均衡單元體中，孔隙體積為nΔxΔyΔz，其內(nèi)液體質(zhì)量為ρnΔxΔyΔz，Δt時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)液體質(zhì)量的變化為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，上二式應(yīng)相等，因此，消去Δt得此式為滲流的連續(xù)性方程（研究地下水運(yùn)動(dòng)的基本方程）。§1—7承壓水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程假設(shè)條件：(1)水流服從Darcy定律；(2)K不隨ρ=ρ(p)的變化而變化；(3)μs和K也不受n變化的影響；(4)含水層側(cè)向無(wú)壓縮，即Δx、Δy為常量，只有垂直方向Δz的壓縮。在連續(xù)性方程的右端項(xiàng)中，有三個(gè)變量，隨壓力p的變化而變化。三個(gè)變量隨時(shí)間的變化轉(zhuǎn)化成壓力隨時(shí)間的變化。液體壓縮后，質(zhì)量不變。即密度ρ和體積V變化，二者乘積不變。d(ρV)=ρdV+Vdρ=0得：由水的壓縮系數(shù)：得：所以，dρ=ρβdp前面給出了含水層厚度Δz和孔隙度n隨壓力p的變化關(guān)系：d(Δz)=Δzαdp；dn=(1-n)αdp式中：α為多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)。將三式代入連續(xù)方程右端項(xiàng)得：于是連續(xù)性方程變?yōu)椋簩⒒癁椋阂驗(yàn)椋视校簆=γ（H-z）=ρg（H-z）或：將dρ=ρβdp代入，得：即，因?yàn)樗膲嚎s性很小，βp忽略不計(jì)，代入前式，得第二項(xiàng)ρ非常小，忽略不計(jì)，于是上式變?yōu)椋焊鶕?jù)Darcy定律：1.在各向同性介質(zhì)中，有：代入上式，得因?yàn)镾s=ρg（α+nβ）所以上式變?yōu)椋簝蛇呄卧w體積ΔxΔyΔz，得：此式為非均質(zhì)各向同性介質(zhì)承壓水流微分方程。2.對(duì)于各向異性介質(zhì)：非均質(zhì)各向異性介質(zhì)承壓水流微分方程為：3.對(duì)于均質(zhì)各各向同性介質(zhì)，K為常數(shù)，承壓水流微分方程為：4.地下水流為二維流時(shí)，非均質(zhì)各向同性介質(zhì)承壓水流微分方程為：兩邊乘含水層厚度M，得或5.柱坐標(biāo)：如果能用柱坐標(biāo)表示，則x=rcosθ、y=rsinθ，代入可化成式6.有源匯項(xiàng)，用W表示。源：在垂向上有水流入含水層稱源。W為正。匯：在垂向上有水流出含水層稱匯。W為負(fù)。有源匯項(xiàng)時(shí)，只需在上述方程中左邊加W即可。如各向同性介質(zhì)：7.穩(wěn)定流：水位H不隨時(shí)間變化，即，上述微分方程的右端項(xiàng)等于零，即非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：二維流，去掉上式中左邊第三項(xiàng)。小結(jié)：承壓水三維非穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水二維非穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水三維穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：承壓水二維穩(wěn)定流非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：柱坐標(biāo)表示的三維流方程：井流方程：

非穩(wěn)定流：穩(wěn)定流：思考題§1—8越流含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程

越流含水層（半承壓含水層）：當(dāng)承壓含水層的上、下巖層（或一層）為弱透水層時(shí)，承壓含水層可通過(guò)弱透水層與上、下含水層發(fā)生水力聯(lián)系，該承壓含水層為越流含水層。

越流：當(dāng)承壓含水層與相鄰含水層之間存在水頭差時(shí)，地下水便會(huì)從高水頭含水層通過(guò)弱透水層流向低水頭含水層，這種現(xiàn)象稱越流。

假設(shè)條件：(1)水流服從Darcy定律；(2)K不隨ρ=ρ(p)的變化而變化；

(3)Ss和K也不受n變化的影響；(4)含水層側(cè)向無(wú)壓縮，即Δx、Δy為常量，只有垂直方向Δz的壓縮。(5)當(dāng)弱透水層的滲透系數(shù)K1比主含水層的滲透系數(shù)K小很多時(shí)，近似認(rèn)為水基本上是垂直地通過(guò)弱透水層，折射90o后在主含水層中基本上是水平流動(dòng)的。(如K1與K相差較小時(shí)，用等效滲透系數(shù)，非越流)。(6)弱透水層和主含水層釋放的水及相鄰含水層的越流量相比，弱透水層本身釋放的水量小到可以忽略不計(jì)。越流含水層的微分方程：如圖，主含水層的厚度為M，水頭為H；上、下各有一厚度為m1和m2、滲透系數(shù)為K1和K2的弱透水層。上覆潛水含水層的水位為H1，下伏承壓含水層的水位為H2。在含水層全厚度上取一單元體。水平長(zhǎng)，寬為Δx，Δy。單元體的中點(diǎn)為P，在P點(diǎn)沿x方向單位時(shí)間，通過(guò)P點(diǎn)，面積ΔyM的流量為Qx，沿x軸流量的變化率為。則沿x軸流入單元體的水量為：沿x軸流出單元體的水量為：沿x軸單位時(shí)間流入流出單元體的水量差為：同理，可得沿y軸單位時(shí)間流入流出單元體的水量差為：在Z軸方向：由下部承壓含水層單位時(shí)間流入越流含水層單元體的水量為：Qz2=v2Δx·Δy向上部含水層單位時(shí)間流出越流含水層單元體的水量為：Qz1=v1Δx·Δy單位時(shí)間內(nèi)沿Z軸方向流入和流出單元體的水量為：(v2-v1)Δx·Δy

由質(zhì)量守恒定律有：因?yàn)椋捍肷鲜?，得消去ΔxΔy，得：此式為非均質(zhì)各向同性越流含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的基本微分方程。對(duì)于非均質(zhì)各向異性介質(zhì)，有：

對(duì)于均質(zhì)各向同性介質(zhì)，有：有源、匯項(xiàng)的情況下：非均質(zhì)各向同性非均質(zhì)各向異性均質(zhì)各向同性

上式中的K/m（用σ?表示）為越流系數(shù)。越流系數(shù)：當(dāng)主含水層和供給越流的含水層間水頭差為一個(gè)長(zhǎng)度單位時(shí)，通過(guò)主含水層和弱透水層間單位面積界面上的水流量。

稱為越流因素，量綱為[L]。

§1—9研究潛水運(yùn)動(dòng)的基本微分方程一、Dupuit假設(shè)潛水面是彎曲的，等水頭面也是彎曲的，潛水流的運(yùn)動(dòng)不是水平的。實(shí)際上潛水面的坡角很小。

Dupuit假設(shè)：假設(shè)潛水面比較平緩，等水頭面鉛直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量。同一剖面各點(diǎn)的滲透速度相等。

Dupuit假設(shè)是忽略了滲流速度的垂直分量vz，但是，有些地段垂向分速度較大，不能采用Dupuit假設(shè)。也就是說(shuō)，垂向分速度不能忽略。

此外，還有降深較大的抽水井附近，二、Boussinesq方程

在Dupuit假設(shè)和不考慮水的壓縮性的條件下。考慮二維問(wèn)題（含水層不水平），在滲流場(chǎng)內(nèi)取一土體。如圖。水平寬為Δx，Δy。

單元體的中點(diǎn)為P，在P點(diǎn)沿x方向單位時(shí)間，通過(guò)面積Δyh的流量為Qx，沿x軸流量的變化率為。則沿x軸流入單元體的水量為：沿x軸流出單元體的水量為：沿x軸單位時(shí)間流入流出單元體的水量差為：同理，可得沿y軸單位時(shí)間流入流出單元體的水量差為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，垂直方向的補(bǔ)給量為：WΔxΔyΔt時(shí)間流入流出單元體的水量差為：土體內(nèi)的水量變化引起潛水面的升降。假設(shè)潛水面的變化速率為：，則Δt時(shí)間內(nèi)，土體內(nèi)水的增量為：

據(jù)質(zhì)量守恒原理，兩個(gè)增量應(yīng)相等。即將：代入上式，得消去ΔxΔyΔt，得：此式為非均質(zhì)各向同性潛水二維運(yùn)動(dòng)的微分方程。非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：隔水底板水平時(shí)非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：均質(zhì)各向同性：隔水底板水平時(shí)，潛水一維流：非均質(zhì)各向同性：均質(zhì)各向同性：從微分方程中可知，潛水運(yùn)動(dòng)的微分方程是非線性的。

對(duì)于三維流，這是考慮垂向分速度，其微分方程同承壓水流微分方程。非均質(zhì)各向同性：

非均質(zhì)各向異性：

對(duì)于穩(wěn)定流：二維流：非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：三維流：非均質(zhì)各向同性：非均質(zhì)各向異性：§1—10雙重介質(zhì)滲流學(xué)說(shuō)一、基本假定（“孔隙—裂隙二重性”假定）（1）具有原生孔隙的巖層中廣泛發(fā)育有隨機(jī)分布的裂隙，二者都充滿著整個(gè)研究區(qū)，形成兩個(gè)重疊的連續(xù)系統(tǒng)。即孔隙和裂隙的分布彼此連續(xù)。（2）孔隙以貯水為主，裂隙以導(dǎo)水為主，水自孔隙經(jīng)裂隙流向別處，其總的滲透性決定于裂隙的滲透性，水在裂隙中的流動(dòng)服從Darcy定律。（3）孔隙和裂隙的初始水頭相等。他們之間交換的水量與其水頭差成正比，即（4）含水層骨架可以壓縮，但其固體顆粒的壓縮性忽略不計(jì)，看成剛性的。二、微分方程的建立根據(jù)上述假定和連續(xù)性原理，建立裂隙含水層的微分方程。根據(jù)第二個(gè)假定，這個(gè)單元體中水通過(guò)裂隙流入、流出，并服從Darcy定律。在時(shí)段內(nèi)沿x軸方向流入單元體與流出單元體的水量差（凈流入單元體的水量）為同理。在y軸方向在z軸方向裂隙中流入水量因此，在時(shí)間內(nèi)單元體中總的水量變化（凈流入量）為這個(gè)時(shí)間內(nèi)，單元體內(nèi)貯存量的變化量為在單元體內(nèi)，對(duì)裂隙有

對(duì)孔隙有由于孔隙中的水力坡度很小，可以認(rèn)為故有式中：稱為承壓水遷移系數(shù)。這是關(guān)于（H-Hf）的一階線性微分方程，按已知公式，求其通解為：利用初始條件代人上式，可得C=0。由此求其解為只包括裂隙水頭（Hf）的方程：上式是描述承壓雙重介質(zhì)裂隙水流的基本微分方程。在二維情況下可簡(jiǎn)化為物理意義為單位時(shí)間內(nèi)單位體積含水層（二維情況下為單位面積的柱體）中從孔隙流入裂隙的水量。它是一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的量。延遲彈性釋水項(xiàng)中包含一個(gè)新的參數(shù)—承壓水遷移系數(shù)。根據(jù)定義，其中比例常數(shù)C是反映孔隙和裂隙之間水量交換特征的參數(shù)，與孔隙的滲透系數(shù)K及多孔巖塊的幾何特征有關(guān)。C=K/L值取決于K,L,Ss等，它是反映孔隙、裂隙發(fā)育情況及其連通程度的特征量。對(duì)無(wú)壓含水層，二維流情況下為式中：稱為遷移系數(shù)；h為含水層厚度，方程右端第二項(xiàng)的物理含義為延遲彈性釋水量與延遲重力排水量之和?！?—11定解條件前面我們給出了，不同類型地下水的微分方程。分類有：微分方程是描述地下水運(yùn)動(dòng)的方程，不同類型的地下水有相應(yīng)的微分方程。也就是說(shuō)，如果只有微分方程，每一類微分方程描述的是這一類地下水運(yùn)動(dòng)的所有情況。如：承壓水一維穩(wěn)定流?；蛘咭虼?，僅用微分方程是不能夠確切的描述某一地區(qū)的地下水運(yùn)動(dòng)的。必須同時(shí)考慮其它條件的限制。如，補(bǔ)給、徑流、排泄條件，以及邊界性質(zhì)、邊界形狀等。因此，除微分方程外，我們還應(yīng)給出下列條件：

(1)方程中有關(guān)參數(shù)的值。主要有：滲透系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)、給水度、貯水率、貯水系數(shù)、越流系數(shù)，還有源、匯項(xiàng)等。(2)滲流區(qū)的范圍和形狀。(3)邊界條件：滲流區(qū)邊界所處的條件。(三維流是一個(gè)封閉的曲面；二維流是一條封閉的曲線)(4)初始條件：在某一選定的初始時(shí)刻(t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭H的分布情況。

定解條件：就是指邊界條件和初始條件。非穩(wěn)定流既有邊界條件又有初始條件；穩(wěn)定流只有邊界條件。

數(shù)學(xué)模型：一個(gè)或一組數(shù)學(xué)方程與其定解條件加在一起，構(gòu)成一個(gè)描述某實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。一、邊界條件邊界條件分為三類：1.第一類邊界(也叫給定水頭邊界)條件：在某一部分邊界上，各點(diǎn)在每一時(shí)刻的水頭都是已知的。用下列式子表示：三維流：二維流：式中：H—表示S1或Γ1某點(diǎn)(x,y,z)或(x,y)在t時(shí)刻的水頭；φ1、φ2為已知函數(shù)。可作為第一類邊界邊界的有：(1)與含水層水力聯(lián)系好的河流或湖泊；(2)泉和抽水井；（3）含水層無(wú)限延伸時(shí)，影響范圍以外的邊界。注意：區(qū)別給定水頭邊界和定水頭邊界。2.第二類邊界(也叫給定流量邊界)條件：某一部分邊界單位面積上流入（或流出）的流量是已知的。用下列式子表示：三維流：二維流：式中：n—邊界外法線方向；q1、q2為已知函數(shù)。常見(jiàn)的二類邊界有：①零流量邊界：，有隔水邊界、分水嶺和流線。②抽水井和注水井：③泉水。3.第三類邊界(混合邊界)條件：某邊界上水位和法向水力坡度的線性組合是已知的。即如圖，當(dāng)含水層的邊界上有一弱透水層與其它水體或含水層相隔時(shí)，常為三類邊界。越過(guò)邊界單位面積的流量為單位面積越流量為：

二者相等，并化簡(jiǎn)得4.潛水面邊界在三維流中，潛水面作為邊界處理。①穩(wěn)定流浸潤(rùn)曲線上壓強(qiáng)等于大氣壓，任意一點(diǎn)的水頭等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。為一類邊界。②非穩(wěn)定流二類邊界：非穩(wěn)定流中，地下水位是隨時(shí)間變化的，如圖。當(dāng)浸潤(rùn)曲線下降時(shí)，從浸潤(rùn)曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量q為：二、初始條件初始條件：指某一選定時(shí)刻滲流區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的水頭值。用下列式子表示：三維流：

二維流：§1—11描述地下水運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其解法一、地下水流問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型分隨機(jī)模型和確定性模型。

隨機(jī)模型：數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的模型。確定性模型：數(shù)學(xué)模型中各變量之間有嚴(yán)格確定的關(guān)系。本書(shū)討論的模型為確定性模型。描述實(shí)際地下水流的確定性模型的必備條件：①有一個(gè)或一組描述地下水運(yùn)動(dòng)規(guī)律的偏微分方程；②相應(yīng)的定解條件；③識(shí)別模型（或校正模型）。2.建立數(shù)學(xué)模型的步驟①查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件；②確定研究區(qū)的范圍和形狀；③對(duì)研究區(qū)的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化；④給出微分方程和定解條件，以及模型中需要的參數(shù)；⑤模型識(shí)別。3.數(shù)學(xué)模型必須滿足的三個(gè)條件：①解的存在性；②解的唯一性；③解的穩(wěn)定性，指當(dāng)參數(shù)和定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所引起的解的變化也是微小的。4.例題例1，研究區(qū)地質(zhì)情況如圖，W(x,y,t)代表單位時(shí)間、單位面積上的垂向補(bǔ)給量，P(x,y,t)為計(jì)劃開(kāi)采區(qū)單位面積上的抽水流量，試寫出它的數(shù)學(xué)模型。①查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件；②確定研究區(qū)的范圍和形狀；③對(duì)研究區(qū)的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化；④給出微分方程和定解條件；數(shù)學(xué)模型為：例2，其它條件同例1，在河底有一弱透水層，河水與地下水無(wú)直接的水力聯(lián)系，只是通過(guò)弱透水層越流補(bǔ)給地下水。其數(shù)學(xué)模型為：另外，此時(shí)的河流可作為二類邊界處理（略）。

5.正問(wèn)題和逆問(wèn)題正問(wèn)題：在數(shù)學(xué)模擬中，給定含水層的水文地質(zhì)參數(shù)和定解條件，求解水頭H，這類問(wèn)題叫正問(wèn)題或水頭預(yù)報(bào)問(wèn)題。逆問(wèn)題：根據(jù)動(dòng)態(tài)觀測(cè)資料或抽水試驗(yàn)資料反過(guò)來(lái)確定水文地質(zhì)參數(shù)，為逆問(wèn)題或反求參數(shù)問(wèn)題。二、地下水流問(wèn)題的解法三種解法：解析法、數(shù)值法、模擬法。本章總結(jié)一、滲流的基本概念1多孔介質(zhì)，實(shí)際應(yīng)用中能夠區(qū)分：孔隙介質(zhì)、裂隙介質(zhì)、巖溶（Karst）介質(zhì)。地下水的流動(dòng)類型可歸納為兩類：滲流和流動(dòng)。2地下水和多孔介質(zhì)的性質(zhì)（1）地下水的狀態(tài)方程（2）多孔介質(zhì)的某些性質(zhì)①多孔介質(zhì)的孔隙性：孔隙度、有效孔隙、有效孔隙度。

②多孔介質(zhì)的壓縮性。3貯水率和貯水系數(shù)

貯水率、貯水系數(shù)、二者關(guān)系、說(shuō)明(4點(diǎn))4滲流（1）滲流

假想水流應(yīng)有以下特點(diǎn)(4點(diǎn))，滲流區(qū)或滲流場(chǎng)（2）典型單元體5滲流速度過(guò)水?dāng)嗝?、滲流速度、滲流速度與實(shí)際流速的關(guān)系。6地下水的水頭和水頭坡度

地下水的水頭和水位、等水頭面、等水頭線、水力坡度。7地下水運(yùn)動(dòng)特征的分類穩(wěn)定流、非穩(wěn)定流、一維運(yùn)動(dòng)、二維運(yùn)動(dòng)和三維運(yùn)動(dòng)。8地下水流態(tài)的判斷層流和紊流。二、滲流基本定律1