第3章 區(qū)間估計(jì)

§3.1

置信區(qū)間

§3.2樞軸量法

§3.3正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

§3.4非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間第3章區(qū)間估計(jì)§3.1

置信區(qū)間

3.1.1置信區(qū)間概念

定義3.1.1

設(shè)是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為Θ，x1,x2

,

…,xn是來(lái)自該總體的樣本，對(duì)給定的一個(gè)(0<<1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，若對(duì)任意的

∈Θ，有（3.1.1）

則稱隨機(jī)區(qū)間[]為的置信水平為1-的置信區(qū)間，或簡(jiǎn)稱[]是的1-置信區(qū)間.

和分別稱為的（雙側(cè)）置信下限和置信上限.

這里置信水平1-的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時(shí)，至少有100(1-)%的區(qū)間含有

。

例3.1.1

設(shè)x1,x2

,

…,x10是來(lái)自N(,

2)的樣本，則的置信水平為1-的置信區(qū)間為其中，,s分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這個(gè)置信區(qū)間的由來(lái)將在3.1.2節(jié)中說(shuō)明，這里用它來(lái)說(shuō)明置信區(qū)間的含義。若取

=0.10，則t0..95(9)=1.8331，上式化為

現(xiàn)假定=15,

2=4，則我們可以用隨機(jī)模擬方法由N(15,4)產(chǎn)生一個(gè)容量為10的樣本，如下即是這樣一個(gè)樣本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38

由該樣本可以算得從而得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為該區(qū)間包含的真值--15。現(xiàn)重復(fù)這樣的方法100次，可以得到100個(gè)樣本，也就得到100個(gè)區(qū)間，我們將這100個(gè)區(qū)間畫(huà)在圖3.1.1上。

由圖3.1.1可以看出，這100個(gè)區(qū)間中有91個(gè)包含參數(shù)真值15，另外9個(gè)不包含參數(shù)真值。圖3.1.1的置信水平為0.90的置信區(qū)間

取=0.50，我們也可以給出100個(gè)這樣的區(qū)間，見(jiàn)圖3.1.2?？梢钥闯?，這100個(gè)區(qū)間中有50個(gè)包含參數(shù)真值15，另外50個(gè)不包含參數(shù)真值。圖3.1.2

的置信水平為0.50的置信區(qū)間定義3.1.2

沿用定義3.1.1的記號(hào)，如對(duì)給定的(0<<1)，對(duì)任意的∈Θ，有

（3.1.2）

稱為的1-同等置信區(qū)間。

同等置信區(qū)間是把給定的置信水平1-用足了。常在總體為連續(xù)分布場(chǎng)合下可以實(shí)現(xiàn)。定義

若對(duì)給定的(0<<1)和任意的∈Θ，有，則稱為的置信水平為1-的（單側(cè)）置信下限。假如等號(hào)對(duì)一切∈Θ成立，則稱為的1-同等置信下限。若對(duì)給定的(0<<1)和任意的∈Θ，有,則稱為的置信水平為1-的（單側(cè)）置信上限。若等號(hào)對(duì)一切∈Θ成立，則稱為1-同等置信上限。單側(cè)置信限是置信區(qū)間的特殊情形。因此，尋求置信區(qū)間的方法可以用來(lái)尋找單側(cè)置信限。

構(gòu)造未知參數(shù)的置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法，其步驟可以概括為如下三步：1.構(gòu)造一個(gè)樣本和的函數(shù)G=G(x1,x2

,

…,xn,

)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。2.選擇兩個(gè)常數(shù)c,d，使對(duì)給定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-

3.假如能將c≤G

≤d進(jìn)行不等式等價(jià)變形化為

,則[，]是的1-同等置信區(qū)間?！?.２

樞軸量法

關(guān)于置信區(qū)間的構(gòu)造有兩點(diǎn)說(shuō)明：

滿足置信度要求的c與d通常不唯一。若有可能，應(yīng)選平均長(zhǎng)度達(dá)到最短的c與d，這在G的分布為對(duì)稱分布場(chǎng)合通常容易實(shí)現(xiàn)。實(shí)際中，選平均長(zhǎng)度盡可能短的c與d，這往往很難實(shí)現(xiàn)，因此，常這樣選擇c與d，使得兩個(gè)尾部概率各為

/2，即P(G<c)=P(G>d)=

/2，這樣的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。這是在G的分布為偏態(tài)分布場(chǎng)合常采用的方法。例3.1.2

設(shè)x1,x2

,

…,xn是來(lái)自均勻總體U(0,

)的一個(gè)樣本，試對(duì)給定的(0<<1)給出

的1-同等置信區(qū)間。解:（1）取x(n)作為樞軸量，其密度函數(shù)為p(y;

)=nyn-1/

n，0<y<1；

（2）x(n)/

的分布函數(shù)為F(y)=yn,0<y<1，故P(c≤x(n)/

≤d)=dn-cn，因此我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇c和d滿足dn-cn=1-（3）利用不等式變形可容易地給出

的1-同等置信區(qū)間為[x(n)/d，x(n)/c]，該區(qū)間的平均長(zhǎng)度為。不難看出，在0≤c<d≤1及dn-cn=1-的條件下，當(dāng)d=1,c=

時(shí)，取得最小值，這說(shuō)明是

的置信水平

1-為最短置信區(qū)間。3.３

正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

一、

已知時(shí)的置信區(qū)間在這種情況下，樞軸量可選為，c和d應(yīng)滿足P(c≤G≤d)=(d)-(c)=1-，經(jīng)過(guò)不等式變形可得該區(qū)間長(zhǎng)度為。當(dāng)d=-c=u1-/2時(shí)，d-c達(dá)到最小，由此給出了的同等置信區(qū)間為

[，]。（3.３.1）這是一個(gè)以為中心，半徑為的對(duì)稱區(qū)間，常將之表示為。3.３.1正態(tài)均值的置信區(qū)間例3.３.1

用天平秤某物體的重量9次，得平均值為（克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區(qū)間。解：此處1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是該物體重量的0.95置信區(qū)間為，從而該物體重量的0.95置信區(qū)間為

[15.3347，15.4653]。例3.３.2

設(shè)總體為正態(tài)分布N(,1)，為得到的置信水平為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)1.2，樣本容量應(yīng)為多大？解：由題設(shè)條件知的0.95置信區(qū)間為

其區(qū)間長(zhǎng)度為，它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無(wú)關(guān)?，F(xiàn)要求，立即有n(2/1.2)2u21-/2.現(xiàn)1-=0.95，

故u1-/2=1.96，從而n(5/3)21.962=

10.6711。即樣本容量至少為11時(shí)才能使得的置信水平為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)1.2。二、

2未知時(shí)的置信區(qū)間

這時(shí)可用t統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，因此t可以用來(lái)作為樞軸量。完全類似于上一小節(jié)，可得到的1-置信區(qū)間為

此處是

2的無(wú)偏估計(jì)。例3.３.3

假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測(cè)得它們的壽命（單位：萬(wàn)公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬(wàn)公里）

在實(shí)際問(wèn)題中，由于輪胎的壽命越長(zhǎng)越好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構(gòu)造單邊的置信下限。由于由不等式變形可知的1-置信下限為

將t0.95(11)=1.7959代入計(jì)算可得平均壽命的0.95置信下限為4.5806（萬(wàn)公里）。三、

2的置信區(qū)間

取樞軸量，由于

2分布是偏態(tài)分布，尋找平均長(zhǎng)度最短區(qū)間很難實(shí)現(xiàn)，一般都用等尾置信區(qū)間：采用

2的兩個(gè)分位數(shù)

2

/2(n-1)和21-

/2(n-1)，在

2分布兩側(cè)各截面積為/2的部分，使得由此給出

2的1-置信區(qū)間為3.３.2正態(tài)方差的置信區(qū)間例3.３.4某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布N(,

2)，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中抽取9個(gè)，測(cè)得其重量為（單位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6

試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的0.95置信區(qū)間。解：由數(shù)據(jù)可算得s2=0.0325，(n-1)s2=80325=0.26.

查表知

20.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得

2的0.95置信區(qū)間為

從而的0.95置信區(qū)間為:[0.1218，0.3454]。

設(shè)x1

,…,xm是來(lái)自N(1,12)的樣本，y1

,…,yn是來(lái)自N(2,22)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。與分別是它們的樣本均值，和分別是它們的樣本方差。下面討論兩個(gè)均值差和兩個(gè)方差比的置信區(qū)間。3.３.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間一、1-2的置信區(qū)間1、

12和

22已知時(shí)的兩樣本u區(qū)間

2、

12=22=

2未知時(shí)的兩樣本t區(qū)間

3、

22/12=已知時(shí)的兩樣本t區(qū)間

4、當(dāng)m和n都很大時(shí)的近似置信區(qū)間

5、一般情況下的近似置信區(qū)間其中例3.３.9

為比較兩個(gè)小麥品種的產(chǎn)量，選擇18塊條件相似的試驗(yàn)田，采用相同的耕作方法作試驗(yàn)，結(jié)果播種甲品種的8塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量和播種乙品種的10塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：千克/畝）分別為：甲品種628583510554612523530615

乙品種535433398470567480498560503426

假定畝產(chǎn)量均服從正態(tài)分布，試求這兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量差的置信區(qū)間.(=0.05）。解：以x1

,…,x8記甲品種的畝產(chǎn)量，y1,…,y10記乙品種的畝產(chǎn)量，由樣本數(shù)據(jù)可計(jì)算得到

=569.3750，sx2=2140.5536，m=8=487.0000，sy2=3256.2222，n=10

下面分兩種情況討論。(1)若已知兩個(gè)品種畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差相同，則可采用兩樣本t區(qū)間。此處故1

-2的0.95置信區(qū)間為(2)若兩個(gè)品種畝產(chǎn)量的方差不等，則可采用近似t區(qū)間。此處

s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，

s0=24.2784

于是1-2的0.95近似置信區(qū)間為

[31.3685，133.3815]二、

12/22的置信區(qū)間由于(m-1)sx2/12

2(m-1),(n-1)sy2/22

2(n-1)，且sx2與sy2相互獨(dú)立，故可仿照F變量構(gòu)造如下樞軸量,對(duì)給定的1-，由經(jīng)不等式變形即給出

12/22的如下的置信區(qū)間例3.３.10

某車(chē)間有兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一類套筒，假設(shè)套筒直徑服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從兩個(gè)班次的產(chǎn)品中分別檢查了5個(gè)和6個(gè)套筒，得其直徑數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）：甲班：5.065.085.035.005.07

乙班：4.985.034.974.995.024.95

試求兩班加工套筒直徑的方差比甲2/

乙2的0.95置信區(qū)間。解：

由數(shù)據(jù)算得sx2=0.00037,sY2=0.00092，故置信區(qū)間[0.0544，3.7657]

一、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)§3.４

非正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自指數(shù)總體E(λ)的樣本,則二、0-1分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(方法1)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自0-1分布總體B(1,p)的樣本,則當(dāng)n充分大時(shí)，例3.4.1

設(shè)從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽查了100件，發(fā)現(xiàn)其中有